佟俊姬

摘 要： 2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷時(shí)代特色鮮明，體現(xiàn)了高考的繼承與發(fā)展、穩(wěn)定與創(chuàng)新、基礎(chǔ)與思維、知識(shí)與能力等之間的密切關(guān)系.整套試題注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本質(zhì)的考查，綜合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法和能力的各項(xiàng)要求，有效貫徹了課標(biāo)理念，積極平穩(wěn)地推進(jìn)了中學(xué)教學(xué)改革.

關(guān)鍵詞： 高考；數(shù)學(xué)；基礎(chǔ)知識(shí)；立德樹人

2023年高考數(shù)學(xué)已經(jīng)落下帷幕，乙卷數(shù)學(xué)命題全面貫徹黨的教育方針，堅(jiān)持“立德樹人”，為華育人，突出數(shù)學(xué)學(xué)科智育屬性，體現(xiàn)時(shí)代德育特征.該試卷是目前使用省份最多的一份試卷，主要包括河南、安徽、江西、山西、陜西、內(nèi)蒙古、新疆、寧夏、吉林、黑龍江、青海、甘肅等12個(gè)省份，也是目前試卷考查與使用考生最多的數(shù)學(xué)試卷之一，影響力大.

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷整套試卷的難度系數(shù)和數(shù)學(xué)思維量等方面，比起2022年高考數(shù)學(xué)乙卷有所變化，而且降低幅度很大，但依然突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)出知識(shí)的基礎(chǔ)性，思維的發(fā)散性，明確體現(xiàn)出分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想等學(xué)生學(xué)科核心思想.

1 夯實(shí)基礎(chǔ)能力，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷通篇難易安排分布合理，選擇題前8題或者前9題，填空題前3道，解答題前2道，以及第19題，第20題，第21題的第一小問都是常規(guī)題目，難度上都進(jìn)行了合理控制，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)性，其中高中數(shù)學(xué)知識(shí)的四條主線，特征鮮明，如解析幾何模塊知識(shí)的考查占32分，立體幾何模塊知識(shí)的考查占22分，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊知識(shí)的考查占22分，數(shù)學(xué)建模+概率與統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查占17分等.而文、理科分別偏向于數(shù)列（文科）、解三角形（理科）等知識(shí)點(diǎn)的側(cè)重考查與應(yīng)用，體現(xiàn)文、理科之間的區(qū)別.

例1 ??（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷文科·11） ：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（ ?）

A. ?1+ 3 2 ?2

B. ?4

C. ?1+3 2

D. ?7

分析： ?以熟知的直線與圓的位置關(guān)系場(chǎng)景，改變創(chuàng)設(shè)形式，通過(guò)代數(shù)式的最值來(lái)合理設(shè)置，熟悉中帶有“陌生”感，形成一個(gè)全新的場(chǎng)景設(shè)置.

解析： ?由x2+y2-4x-2y-4=0配方可得（x-2）2+（y-1）2=9，

則圓心C（2，1），半徑r=3，

設(shè)x-y=k，則圓心C（2，1）到直線x-y=k的距離d= |2-1-k| ?1+1 ?= |1-k| ?2 ?≤r=3，

即|k-1|≤3 2 ，解得1-3 2 ≤k≤1+3 2 ，

所以x-y的最大值是1+3 2 ，故選擇答案： C .

點(diǎn)評(píng)： ?結(jié)合所求代數(shù)式的整體思維與應(yīng)用，引入?yún)?shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，利用點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建相應(yīng)的不等式來(lái)分析與求解.問題比較基礎(chǔ)，考查了基礎(chǔ)能力及其應(yīng)用.當(dāng)然還可以通過(guò)整體思維，借助方程的轉(zhuǎn)化，利用判別式法來(lái)分析與求解；也可以通過(guò)三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)方面來(lái)處理，都可以很好實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

2 試題命制創(chuàng)新，巧妙交匯融合

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷整套試題雖說(shuō)不是很難，但題目比較新穎創(chuàng)新，一部分題目的交匯融合性好，綜合性很強(qiáng)，如第10題數(shù)列題是與函數(shù)相互綜合，第12題可以是平面向量與平面幾何或者平面解析幾何的結(jié)合，體現(xiàn)跨章節(jié)整合能力和知識(shí)的應(yīng)用能力；又如第22題中的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二小問，解答非常創(chuàng)新，需要觀察函數(shù)的定義域進(jìn)行探路后，再來(lái)分析與解決問題；又如第16題，考查對(duì)于導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的本質(zhì)理解，需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行細(xì)致入微地分析，注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)，有一定的思維量.

例2 ??（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·10） ：已知等差數(shù)列{a n}的公差為 2 π ?3 ，集合S={ cos ?a n |n∈ N *}，若S={a，b}，則ab=（ ?）

A. ?-1

B. ?- 1 2

C. ?0

D. ??1 2

分析： ?以集合為問題背景，通過(guò)集合中元素的個(gè)數(shù)來(lái)求解兩元素積的值.而此時(shí)巧妙滲透等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式，三角函數(shù)的關(guān)系式與周期等相關(guān)的概念與基礎(chǔ)知識(shí)，可以形成“不同知識(shí)點(diǎn)的交匯”.

解析： ?依題知，a n=a 1+（n-1）· 2 π ?3 ，則有 cos ?a n= cos ???2 π ?3 n+a 1- 2 π ?3 ?，

則數(shù)列{ cos ?a n}的周期為T= 2 π ??2 π ?3 ?=3，

而集合S={a，b}中僅含兩個(gè)元素，則 cos ?a 1， cos ?a 2， cos ?a 3中必有兩個(gè)相等，

不失一般性，不妨設(shè) cos ?a 1= cos ?a 2，則有 cos ?a 1= cos ??a 1+ 2 π ?3 ?，

可得a 1+ 2 π ?3 =-a 1+2k π ，k∈ Z ，即a 1=- ?π ?3 +k π ，k∈ Z ，

取特殊值a 1=- ?π ?3 ，可得 cos ?a 1= cos ??- ?π ?3 ?= 1 2 ， cos ?a 2= cos ??- ?π ?3 + 2 π ?3 ?= 1 2 ， cos ?a 3= cos ??- ?π ?3 + 2 π ?3 ×2 =-1，此時(shí)S= ?1 2 ，-1 ，

則知ab= 1 2 ×（-1）=- 1 2 ，故選擇答案： B .

點(diǎn)評(píng)： ?此題巧妙設(shè)置中等難度的題型，合理融合了集合、數(shù)列、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)非常創(chuàng)新新穎，通過(guò)創(chuàng)設(shè)不同知識(shí)點(diǎn)之間的“無(wú)縫”鏈接，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)之間的交匯與融合，在同一個(gè)問題中實(shí)現(xiàn)不同基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)之間的碰撞，產(chǎn)生閃亮的火花，是創(chuàng)新應(yīng)用與創(chuàng)新意識(shí)的一大體現(xiàn).

3 注重核心思想，開拓?cái)?shù)學(xué)思維

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷對(duì)于核心思想考查依舊非常突出，如第8題考查空間想象能力，第11題與第12題都側(cè)重于考查數(shù)形結(jié)合能力等，第16題考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與能力，第17題考查建模與實(shí)際應(yīng)用能力，第20題突出考查計(jì)算能力，第21題突出觀察能力與分析能力等.因此想要取得好成績(jī)，不僅僅只是埋頭刷題，更要勤于反思，善于總結(jié)，長(zhǎng)于觀察，強(qiáng)于數(shù)學(xué)計(jì)算，這樣才能更好把握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的本質(zhì)，全面開拓?cái)?shù)學(xué)思維與技巧方法.

例3 ??（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·16） ：設(shè)a∈（0，1），若函數(shù)f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ?????.

分析： ?通過(guò)設(shè)置含參的指數(shù)型函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題.破解問題的關(guān)鍵就是合理的化歸與轉(zhuǎn)化，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知的模型來(lái)分析與處理，實(shí)現(xiàn)問題的破解.

解析： ?依題意，函數(shù)f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

可得f ′（x）=ax ln ?a+（1+a）x ln ?（1+a）＞0（*）在（0，+∞）上恒成立，

令函數(shù)g（x）=ax ln ?a+（1+a）x ln ?（1+a），可得g′（x）=ax ln ?2a+（1+a）x ln ?2（1+a）＞0，

故導(dǎo)函數(shù)f ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)以上不等式（*）恒成立，

則f ′（0）= ln ?a+ ln ?（1+a）≥0，即 ln ?［a（1+a）］ ≥0，亦即a（1+a）≥1，

結(jié)合a∈（0，1），解得 ?5 -1 2 ≤a＜1，即a的取值范圍是 ??5 -1 2 ，1 ，故填答案： ??5 -1 2 ，1 .

點(diǎn)評(píng)： ?此題以指數(shù)型函數(shù)為問題背景，借助函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性來(lái)確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題.破解問題的關(guān)鍵就是借助導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，通過(guò)確定導(dǎo)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上不等式恒成立，引入構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性的化歸與轉(zhuǎn)化，并結(jié)合單調(diào)性與最值的確定來(lái)構(gòu)建不等式，從而實(shí)現(xiàn)參數(shù)的取值范圍的求解.化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解決此類問題的關(guān)鍵.

4 加強(qiáng)教考銜接，增強(qiáng)導(dǎo)向作用

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷試題按照高中課程標(biāo)準(zhǔn)命題，突出數(shù)學(xué)主干知識(shí)，層次上與課程標(biāo)準(zhǔn)一致，題目上追求新穎，穩(wěn)中求變，反對(duì)死記硬背和機(jī)械刷題，反套路，注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)本質(zhì)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思想方法，啟示教師提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，引導(dǎo)學(xué)生全方位的動(dòng)手動(dòng)腦，讓學(xué)生在課堂上有獲得感和成就感，真正有效銜接起教學(xué)與改革的對(duì)接，增加教學(xué)與學(xué)習(xí)的導(dǎo)向作用.

例4 ??（2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)乙卷理科·4；文科·5） ：已知f（x）= xex eax-1 是偶函數(shù)，則a=（ ?）

A. ?-2

B. ?-1

C. ?1

D. ?2

分析： ?以基本的形式來(lái)設(shè)置函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而確定參數(shù)值問題.最基本的方法就是特殊值代入與驗(yàn)證，而定義法的應(yīng)用是解決問題的最基本的技巧與方法.無(wú)論應(yīng)用哪種方法，都應(yīng)給考生更多的切入點(diǎn)與創(chuàng)設(shè)更多的機(jī)會(huì).

解析： ?依題知，f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義，

可知對(duì)任意的x≠0，都滿足f（-x）=f（x），

則有f（-x）= -xe-x e-ax-1 = - x ex ??1 eax -1 = -xeax-x 1-eax = xeax-x eax-1 =f（x），對(duì)比系數(shù)可知，a-1=1，

解得a=2，故選擇答案： D .

點(diǎn)評(píng)： ?抓住含參函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)，借助偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x），綜合冪運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.而在具體解題時(shí)，還可以通過(guò)取特殊值來(lái)驗(yàn)證達(dá)到目的，如f（-1）=f（1），注意對(duì)所求解的參數(shù)值進(jìn)行合理的取舍；還可以利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)嘗試與應(yīng)用，通過(guò)研究f ′（x）是奇函數(shù)來(lái)達(dá)到目的.

2023年高考數(shù)學(xué)乙卷命題整體布局，堅(jiān)持“立德樹人”，堅(jiān)持為華鑄魂.習(xí)近平總書記多次在公開場(chǎng)合或會(huì)議上強(qiáng)調(diào)要加強(qiáng)基礎(chǔ)性學(xué)科培養(yǎng)，如數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科，創(chuàng)新是一個(gè)民族的生命力，國(guó)家科技創(chuàng)新力的根本源泉在于人.

十年樹木，百年樹人.要把教育擺在更加重要位置，全面提高教育質(zhì)量，特別注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.而2023年高考數(shù)學(xué)乙卷試題則有著重要引領(lǐng)示范作用，整套試卷穩(wěn)中求新，難易安排有度，讓扎扎實(shí)實(shí)學(xué)過(guò)來(lái)的孩子有回報(bào)感，讓有天賦的孩子也能夠獲得與別人對(duì)比的自豪感，反套路，反刷題，重在“四基”與核心素養(yǎng)的考查與應(yīng)用.這也將對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)起到非常積極的引導(dǎo)作用，發(fā)揮指揮棒的功能.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 教育部教育考試院.深入考查基礎(chǔ)知識(shí)和能力助力人才選拔和“雙減”落地——2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析［J］.中國(guó)考試，2023（7）：15 21.