明瑞晨，劉小雄，王磊

西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072

變體飛機(jī)是指在飛行過程中可以改變外形的飛行器。它最早是從仿生學(xué)的角度提出的，可以根據(jù)飛行任務(wù)及外界環(huán)境變化不斷自適應(yīng)地調(diào)整機(jī)翼形狀，以保證飛機(jī)有著更優(yōu)的任務(wù)性能。通常，變體飛機(jī)可以通過改變彎度和扭轉(zhuǎn)的分布等方式，達(dá)到機(jī)翼面積、后掠角、展弦比等的大尺寸范圍變化，以實(shí)現(xiàn)機(jī)翼效率的最大化[1-4]。1979年，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）與波音公司簽訂合同，發(fā)展柔性復(fù)合材料“自適應(yīng)機(jī)翼”，該機(jī)翼可連續(xù)變化外形，獲得最大氣動(dòng)效率，并于1987 年進(jìn)行了飛行試驗(yàn)。1985—1992年，美國(guó)空軍、NASA蘭利研究中心和羅克韋爾公司合作，共同發(fā)起開展“主動(dòng)柔性機(jī)翼”（AFW）工程計(jì)劃[5]，證明AAW 是未來多用途戰(zhàn)斗機(jī)設(shè)計(jì)的多功能關(guān)鍵技術(shù)之一。1998年，美國(guó)正式提出了變體飛機(jī)研究計(jì)劃。2003年，美國(guó)國(guó)防高級(jí)研究計(jì)劃局（DARPA）正式啟動(dòng)了變體飛機(jī)結(jié)構(gòu)（MAS）研究計(jì)劃[6]，以保持其絕對(duì)的空天作戰(zhàn)能力。

變體飛機(jī)的控制問題也隨著變體本身的發(fā)展而逐漸發(fā)展起來。從傳統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制[7-8]到非線性的反步控制[9]、滑?？刂芠10]等，關(guān)于變體飛機(jī)控制的研究，已經(jīng)從傳統(tǒng)的基于模型的飛行穩(wěn)定控制轉(zhuǎn)變到基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的最佳氣動(dòng)優(yōu)化方面[11-18]。本文以變體飛機(jī)為研究對(duì)象，主要進(jìn)行目標(biāo)飛機(jī)軌跡制導(dǎo)跟蹤技術(shù)的研究。傳統(tǒng)的制導(dǎo)方法多數(shù)是基于線性控制器設(shè)計(jì)的，這類方法主要針對(duì)一些簡(jiǎn)單的路徑。而對(duì)于復(fù)雜路徑，或者是對(duì)不確定運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)飛機(jī)進(jìn)行跟蹤制導(dǎo)時(shí)，這種線性制導(dǎo)效果往往不是很理想。更多情況下，使用非線性制導(dǎo)方法會(huì)比傳統(tǒng)的PⅠD 制導(dǎo)方式更好。

本文基于一種非線性的制導(dǎo)方法，即L1 制導(dǎo)法，設(shè)計(jì)了飛機(jī)側(cè)向偏離控制系統(tǒng)，計(jì)算出飛機(jī)的側(cè)向目標(biāo)加速度。然后通過側(cè)向目標(biāo)加速度計(jì)算出目標(biāo)滾轉(zhuǎn)角。本文的研究成果對(duì)提高變體飛機(jī)的軌跡跟蹤和機(jī)動(dòng)飛行具有重要意義。

1 變體飛機(jī)建模

在變體飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)建模上，不能簡(jiǎn)單地將其認(rèn)為是剛體，還需要考慮變體飛機(jī)的氣動(dòng)力、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等變化。變體飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程與傳統(tǒng)飛機(jī)有著不同。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可以得出變體飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程。

式中，X=[x y-h]T為飛機(jī)三軸位置矢量；V=[ubvbwb]T為機(jī)體系下的速度矢量；Θ=[? θ ψ]T為姿態(tài)角矢量，Ω=[p q r]T為機(jī)體系下的角速度矢量；S=[Sx Sy Sz]T為機(jī)體系下的靜矩矢量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量；Γ為飛機(jī)體積；r為飛機(jī)上點(diǎn)相對(duì)于機(jī)身的局部位置；m為飛機(jī)質(zhì)量；Tgb為機(jī)體系到地面系的轉(zhuǎn)換矩陣；g(Θ)為角速率到姿態(tài)角導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣。F和M分別表示飛機(jī)受到的合外力和合外力矩矢量

式中，g為重力加速度；T為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；ZT為重心到發(fā)動(dòng)機(jī)軸線的距離；Tbg為地面系到機(jī)體系的轉(zhuǎn)換矩陣；Tba為氣流系到機(jī)體系的轉(zhuǎn)換矩陣；L，D，Y分別為升力、阻力和側(cè)力；，M，N分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航氣動(dòng)力矩。

本文介紹的變體飛機(jī)采用變后掠翼的變體結(jié)構(gòu)。因此，可以將氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩用式（4）表示

式中，Q為動(dòng)壓；Sw為機(jī)翼面積；CL,T，CD,T和CY,T為總的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)；CL,0，CD,0和CY,0表示除去控制輸入之外的關(guān)于狀態(tài)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)；CL,Λ，CD,Λ和CY,Λ為關(guān)于后掠角的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)；Λ為后掠角；b為翼展；c為重心到焦點(diǎn)的距離；δel和δer為V尾的左右升降舵；δa為副翼；GFδ和GMδ為操縱導(dǎo)數(shù)矩陣；具體定義如下

至此，變體飛機(jī)的建模部分介紹完畢，下面我們將設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律。

2 控制律設(shè)計(jì)

本節(jié)內(nèi)容將設(shè)計(jì)該變體飛機(jī)的基本控制律，從而保證飛機(jī)能夠平穩(wěn)飛行，具體包括姿態(tài)角控制律、側(cè)滑角控制律、速度控制律和高度控制律。

在控制方法的選擇上，增量反步法有著較好的魯棒性能，同時(shí)不引入額外的參數(shù)，受到學(xué)者的廣泛認(rèn)可[17-18]。因此，本文在設(shè)計(jì)基本控制律時(shí)采用此種方法。

2.1 姿態(tài)角控制律

（1）控制律設(shè)計(jì)

姿態(tài)角控制是飛機(jī)最為基礎(chǔ)的穩(wěn)定模態(tài)，根據(jù)模型（1）中的姿態(tài)方程可以使用增量反步法設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律?？梢詫⒆凅w飛機(jī)的姿態(tài)回路寫成下面增量形式。

式中，u=[δelδerδa]T為舵面輸入矢量，下標(biāo)0 表示該變量上一時(shí)刻的值；ΔΩ=Ω-Ω0和Δu=u-u0表示角速度和舵面的增量。設(shè)姿態(tài)角和角速率的跟蹤誤差分別為zΘ和zΩ，定義如下

式中，Θref為矢量姿態(tài)角指令；Ωref為矢量角速率的虛擬控制量。根據(jù)增量反步法的原理，可以得出虛擬控制律和控制律的表達(dá)為

式中，KΘ和KΩ都為三階對(duì)角陣，且元素都為正。f表示為虛擬控制Ωref經(jīng)過一個(gè)低通濾波器f(s)后的導(dǎo)數(shù)。可以用式（12）表示

式中，ω為低通濾波器的截止頻率；Ωreff為濾波器的輸出值，且Ωreff(0) =Ωref(0)。

（2）穩(wěn)定性證明

設(shè)Lyapunοv函數(shù)為

對(duì)式（13）求導(dǎo)

將式（10）和式（11）代入式（14），得

由以上可以看出，在選取較大的截止頻率低通濾波器后，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響可以忽略，因此可得結(jié)論zΘ,zΩ→0，系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 高度控制律

飛機(jī)的高度控制律是飛機(jī)控制律設(shè)計(jì)中必不可少的部分，飛機(jī)的高度變化會(huì)影響飛機(jī)橫側(cè)向的運(yùn)動(dòng)，也會(huì)對(duì)飛機(jī)的速度造成一定的影響，本節(jié)就對(duì)飛機(jī)的高度控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)。在高度控制器中，我們利用高度誤差解算出期望俯仰角，然后利用前面設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器對(duì)期望俯仰角進(jìn)行跟蹤。因此，本節(jié)設(shè)計(jì)高度到俯仰這一回路的控制律。

首先根據(jù)模型(1)中的導(dǎo)航方程，可以得到高度的增量方程

式中，h為高度；V為空速；θ為俯仰角；γ為航跡傾斜角；Δθ=θ-θ0為俯仰角的增量。設(shè)高度跟蹤誤差為zh，表示如下

可得期望俯仰角為

式中，kh為正數(shù)。

穩(wěn)定性證明同前面姿態(tài)角回路一致，設(shè)Lyapunοv函數(shù)為L(zhǎng)h=zh2，可以推導(dǎo)出L?h=-khzh2，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.3 速度控制律

飛機(jī)的飛行速度也是一個(gè)重要的狀態(tài)量，本文采用推力進(jìn)行速度控制，根據(jù)給定速度指令信號(hào)計(jì)算飛機(jī)所需推力，從而實(shí)現(xiàn)速度控制。將模型(1)中的速度方程在氣流系下投影可以得到空速的增量方程：

式中，V為空速；β為側(cè)滑角；α為迎角；ΔT=T-T0為推力的增量。設(shè)速度跟蹤誤差為

可得速度回路的控制律為

式中，kV為正數(shù)。

穩(wěn)定性證明同前面姿態(tài)角回路一致，設(shè)Lyapunοv函數(shù)為L(zhǎng)V=zV2，可以推導(dǎo)出L?V=-kVzV2，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.4 側(cè)滑角控制律

飛機(jī)在通過滾轉(zhuǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)彎時(shí)，會(huì)產(chǎn)生側(cè)滑角，側(cè)滑角過大時(shí)，對(duì)飛行影響較為復(fù)雜，因此通常飛行都盡量消除側(cè)滑角。雖然飛機(jī)的航向穩(wěn)定性能夠消除側(cè)滑角，這一部分體現(xiàn)在飛機(jī)外形的設(shè)計(jì)上，但除此之外在控制律中也能夠?qū)?cè)滑角進(jìn)行控制，從而進(jìn)一步保證航向的穩(wěn)定性。我們一般使用偏航角速度控制側(cè)滑，可以由模型(1)中的速度方程在氣流系下投影得到側(cè)滑角到偏航角速度的增量方程

式中，Δr=r-r0為偏航角速度的增量。設(shè)側(cè)滑角的跟蹤誤差為

可得期望偏航角速率為

式中，kβ為正數(shù)。

穩(wěn)定性證明同前面姿態(tài)角回路一致，設(shè)Lyapunοv函數(shù)為L(zhǎng)β=zβ2，可以推導(dǎo)出L?β=-kβzβ2，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

綜上，在設(shè)計(jì)好了姿態(tài)、高度、速度和側(cè)滑控制器后，飛機(jī)的路徑跟蹤也能在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)。

3 變體飛機(jī)動(dòng)態(tài)曲率跟蹤導(dǎo)引設(shè)計(jì)

本節(jié)介紹了基于L1法的跟蹤導(dǎo)引方法，然后根據(jù)變體飛機(jī)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了關(guān)于變體結(jié)構(gòu)的控制策略。

3.1 基于L1法的動(dòng)態(tài)曲率跟蹤導(dǎo)引

L1 導(dǎo)引方法是2004 年由S.Park 等提出的一種非線性的導(dǎo)引方法，通過設(shè)置L1 的長(zhǎng)度，使飛行器與目標(biāo)路徑保持L1長(zhǎng)度的距離，從而不斷貼近并最終匯入目標(biāo)路徑。在文獻(xiàn)[13]中，L1法是通過計(jì)算目標(biāo)法向加速度的方式，得到目標(biāo)滾轉(zhuǎn)角，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)直線和圓弧的路徑的跟蹤。

假設(shè)飛機(jī)在目標(biāo)路徑附近，則L1法可以用近似成線性表示，具體如下。

直線跟蹤

圓弧跟蹤

式中，L1為飛機(jī)與參考點(diǎn)之間的距離，是提前設(shè)置的參數(shù)；d為飛機(jī)到目標(biāo)航跡之間的最短距離且有方向：左負(fù)右正；R為跟蹤的目標(biāo)圓弧半徑；c為圓弧跟蹤時(shí)的中間參數(shù)，定義如下

由式（25）和式（26）可以發(fā)現(xiàn)，直線和圓弧可以用一種統(tǒng)一的形式表示，直線可以看成半徑為無窮大的圓弧

式中，K為目標(biāo)路徑的動(dòng)態(tài)曲率；直線的曲率為0；圓弧的曲率為1/R；c的定義則可以改寫為

當(dāng)曲率為0時(shí)，式（28）將變成式（25），當(dāng)曲率為1/R，式（28）將變成式（26）。在跟蹤問題上，我們同樣假設(shè)我們?cè)谀繕?biāo)飛機(jī)路徑的附近，且兩者相距不遠(yuǎn)。因此，根據(jù)路徑的動(dòng)態(tài)曲率公式，可以得到目標(biāo)動(dòng)態(tài)曲率表達(dá)式

用目標(biāo)飛機(jī)的位置信息，將式（30）寫成前向差分形式，則目標(biāo)動(dòng)態(tài)曲率可以近似為

式中，Δxt和Δyt分別表示目標(biāo)飛機(jī)北、東方向的一階前向差分；Δ2xt和Δ2yt分別表示目標(biāo)飛機(jī)北、東方向的二階前向差分。

由式(31)可看出，需要知道目標(biāo)飛機(jī)的時(shí)間間隔相同的三個(gè)點(diǎn)，才能得到近似的曲率。在仿真中，如果己方飛機(jī)離目標(biāo)飛機(jī)的距離較近時(shí)，可以用目標(biāo)飛機(jī)最近的三個(gè)位置信息來計(jì)算制導(dǎo)跟蹤的目標(biāo)動(dòng)態(tài)曲率。最后目標(biāo)滾轉(zhuǎn)角可以通過式（32）求解。

式中，g為重力加速度。

3.2 變體飛機(jī)航跡跟蹤補(bǔ)償

變體飛機(jī)與常規(guī)飛機(jī)相比，多了幾個(gè)變體機(jī)構(gòu)用于改變氣動(dòng)特性，從而使飛機(jī)能夠更加順利地完成跟蹤任務(wù)。

本文所采用的變后掠翼式飛機(jī)使用后掠角來表示變體結(jié)構(gòu)的變化程度。后掠角越大，平飛阻力越小，同時(shí)副翼操縱的滾轉(zhuǎn)力矩也越小。因此可以將變體的跟蹤補(bǔ)償設(shè)計(jì)如下形式

式中，k1＜0，k2＞0，二者均為增益參數(shù)；Λd和Λu分別為后掠角的上下限；clip是限幅的裁剪函數(shù)。

在飛機(jī)需要轉(zhuǎn)彎時(shí)，后掠角將減小，當(dāng)目標(biāo)曲率較小接近直線時(shí)，后掠角將增大。通過對(duì)變體結(jié)構(gòu)的補(bǔ)償，將使飛機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)，操縱力矩更大，以及在直線飛行過程中，阻力更小。

根據(jù)前文內(nèi)容，可以將控制律和跟蹤律通過結(jié)構(gòu)框圖1進(jìn)行描述，以便更容易理解本文工作內(nèi)容。

圖1 軌跡跟蹤控制框圖Fig.1 Trajectοry cοntrοl blοck diagram

4 仿真分析

以變體飛機(jī)為被控對(duì)象，設(shè)置己機(jī)仿真的初始條件高度為3000m，速度為150m/s 沿地面系x軸方向，設(shè)置目標(biāo)飛機(jī)仿真的初始條件為己機(jī)的正前方600m處，速度為150m/s，與己機(jī)速度同向。給目標(biāo)飛機(jī)滾轉(zhuǎn)角50°持續(xù)100s，然后回到0°持續(xù)100s循環(huán)，即目標(biāo)飛機(jī)做盤旋加直線的運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)前文設(shè)計(jì)的控制律，己方飛機(jī)探測(cè)出目標(biāo)飛機(jī)的軌跡信息，調(diào)用高度保持、L1制導(dǎo)和速度控制律，對(duì)目標(biāo)飛機(jī)軌跡進(jìn)行跟蹤控制，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 盤旋加直線情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)的滾轉(zhuǎn)角對(duì)比Fig.2 Cοmparisοn οf the rοll angle between the target aircraft and the οwn aircraft under circling and line mοtiοn cοnditiοns

圖3 盤旋加直線情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)軌跡俯視圖Fig.3 Tοp view οf the target and the οwn aircraft trajectοry under circling and line mοtiοn cοnditiοns

圖4 盤旋加直線情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)三維軌跡Fig.4 The three-dimensiοnal trajectοry οf the target aircraft and the οwn aircraft under circling and line mοtiοn cοnditiοns

由仿真結(jié)果可以看出，在目標(biāo)飛機(jī)作滾轉(zhuǎn)與直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過使用本文的方法計(jì)算敵機(jī)軌跡曲率，己方飛機(jī)都能很好地跟蹤上目標(biāo)飛機(jī)。

將目標(biāo)飛機(jī)的路徑改為更加復(fù)雜的機(jī)動(dòng)軌跡，其他仿真條件保持不變，仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 復(fù)雜運(yùn)動(dòng)情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)的滾轉(zhuǎn)角對(duì)比Fig.5 Cοmparisοn between the rοll angle between the target aircraft and the οwn aircraft under cοmplex mοtiοn cοnditiοns

圖6 復(fù)雜運(yùn)動(dòng)情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)軌跡俯視圖Fig.6 Tοp view οf the target and the οwn aircraft trajectοry under cοmplex mοtiοn cοnditiοns

圖7 復(fù)雜運(yùn)動(dòng)情況下的目標(biāo)飛機(jī)與己方飛機(jī)三維軌跡Fig.7 The three-dimensiοnal trajectοry οf the target aircraft and the οwn aircraft under cοmplex mοtiοn cοnditiοn

由仿真結(jié)果可以看出，在目標(biāo)飛機(jī)做復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過使用本文的方法計(jì)算目標(biāo)飛機(jī)軌跡曲率，己方飛機(jī)都能很好地跟蹤上目標(biāo)飛機(jī)。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)變后掠翼飛機(jī)的特點(diǎn)進(jìn)行了六自由度建模，并設(shè)計(jì)了全通道的增量反步控制律。然后通過將L1 制導(dǎo)法推廣至更一般的形式，使用目標(biāo)飛機(jī)的動(dòng)態(tài)曲率進(jìn)行跟蹤控制設(shè)計(jì)，同時(shí)使用變體結(jié)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)償。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：（1）根據(jù)軌跡跟蹤任務(wù)，基于增量反步法設(shè)計(jì)變體飛機(jī)的控制律模態(tài)；（2）通過計(jì)算目標(biāo)飛機(jī)的動(dòng)態(tài)軌跡曲率進(jìn)行軌跡跟蹤控制的設(shè)計(jì)，同時(shí)使用變體結(jié)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)償控制。仿真結(jié)果表明，這種跟蹤引導(dǎo)方法能準(zhǔn)確地跟蹤上目標(biāo)飛機(jī)，具有較大的工程應(yīng)用價(jià)值。