李伊昊，紅 霞

(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南 洛陽 471022)

0 引 言

本文所指的圖均為無向簡單圖，沒有給出說明的符號同文獻(xiàn)[1]。設(shè)G=(V，E)是有n個(gè)頂點(diǎn)的簡單連通圖，其中V=V(G)和E=E(G)分別為頂點(diǎn)集和邊集。對于任意2個(gè)頂點(diǎn)u，v∈V(G)，兩點(diǎn)間的距離d(u，v)為u和v之間的最短路徑長度，記為dG(u，v)。1947年，H.Wiener[2]首次提出了指標(biāo)的概念。它不僅是圖論領(lǐng)域中的重要參數(shù)，而且在化學(xué)領(lǐng)域中能夠準(zhǔn)確反映出分子圖的特征和性質(zhì)?；诤芏囝I(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，學(xué)者們開始關(guān)注Wiener指標(biāo)，到目前為止研究了很多相關(guān)結(jié)果。李建喜等[3]給出了單圈圖的Wiener指標(biāo)和外圍Wiener指標(biāo)的計(jì)算公式；邵云[4]研究了單圈圖的平均Wiener指標(biāo)。蘇曉海[5]研究了單圈圖的邊平均Wiener指標(biāo)。吉亞迪[6]等人研究了圖Ln的Wiener指數(shù)和Gutman指數(shù)，這里L(fēng)n表示n個(gè)六邊形和2n個(gè)正方形構(gòu)成的線性結(jié)構(gòu)分子圖。李丹怡等[8]考慮了雙繁星的Wiener指標(biāo)的極值問題，本文主要研究一類廣義Petersen圖的Wiener指標(biāo)的計(jì)算公式。

1 基本概念

定義1[2]Wiener指標(biāo)為圖G中無序點(diǎn)對的距離之和，并記為W(G)，即

W(G)=∑{v，u}?V(G)dG(v，u)

定義2[7]設(shè)廣義Petersen圖G=P(n，k)，n≠2k， 是2n個(gè)頂點(diǎn)的圖，其頂點(diǎn)集和邊集分別為

V(G)={u1，u2，…，un，v1，v2，…，vn}
E(G)={vivi+k(mod n)，uivi，uiui+1(mod n)|i=1，2，…，n}

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G=P(n，2)，n≥5，則

證明設(shè)G=P(n，2)，n≥3，圖G的頂點(diǎn)集合和邊集合如定義2所示。下面分4種情況來討論G的Wiener指標(biāo)W(G)。

情況1當(dāng)n≡0(mod4)且n≥8時(shí)，對于給定頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離有

從而頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)vi(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離有

若uj∈{u(i-k)(mod n)，u(i+k)(mod n)}，1≤k≤4，則dG(ui，uj)=k

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離有

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

綜上所述，有

W(G)=W1+W2+W3

情況2當(dāng)n≡1(mod4)時(shí)，容易計(jì)算，若n=5，則W(G)=75。若n=9，則W(G)=360。

若n≥13，對于給定頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離有

從而頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)vi(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)ui(j≠i)的距離有

若uj∈{u(i-k)(mod n)，u(i+k)(mod n)}，1≤k≤4，則dG(ui，uj)=k

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)， 得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離有

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)， 得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

綜上所述，有

W(G)=W1+W2+W3

情況3 當(dāng)n≡2(mod4)時(shí)，容易計(jì)算，若n=6，則W(G)=135

若n≥10，對于給定頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離有

從而頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)vi(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離有

若uj∈{u(i-k)(mod n)，u(i+k)(mod n)}，1≤k≤4，則dG(ui，uj)=k

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)， 得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離有

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

綜上所述，有

W(G)=W1+W2+W3

情況4 當(dāng)n≡3(mod4)時(shí)，容易計(jì)算，若n=7，則W(G)=189。

若n≥11，則對于給定頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離有

頂點(diǎn)vi到其它頂點(diǎn)vj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)vi(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離有

若uj∈{u(i-k)(mod n)，u(i+k)(mod n)}，1≤k≤4，則dG(ui，uj)=k

頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)uj(j≠i)的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)， 得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

對于給定頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離有

從而頂點(diǎn)ui到其它頂點(diǎn)vj的距離之和為

再由圖G的結(jié)構(gòu)對稱性，走遍所有頂點(diǎn)ui(1≤i≤n)，得出任意2個(gè)不同頂點(diǎn)之間的距離之和為

綜上所述，有

W(G)=W1+W2+W3

根據(jù)以上1、2、3、4情況，定理結(jié)論成立。定理1證畢。

3 結(jié) 論

廣義Petersen圖是一類重要的并被廣泛研究的互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而Wiener指標(biāo)作為一個(gè)重要的拓?fù)渲笖?shù)在化學(xué)研究中用來研究分子的結(jié)構(gòu)。本文主要研究了廣義Petersen圖的Wiener指標(biāo)。該研究方法還可以計(jì)算出更多三正則圖類。同時(shí)也可以啟發(fā)進(jìn)一步探索對稱性較強(qiáng)的圖類的Wiener指標(biāo)的計(jì)算問題。