董雪明, 王敏林, 杜美林

(北京長城計量測試技術研究所，北京 100095)

1 引 言

由于傳感器實際使用環(huán)境和校準環(huán)境的差異,傳感器的校準結果與實際應用表現(xiàn)往往存在一定的差異。而來自載體及傳感單元內部和外部的振動干擾是影響加速度計精度的主要因素,這種干擾在加速度計實際使用環(huán)境中往往是無處不在的。整流誤差作為衡量外部振動對加速度計[1,2]影響的重要指標之一,越來越受到研究人員的重視。通過構建高精度的校準手段, 得到加速度計誤差因素的變化規(guī)律,從而能夠補償使用環(huán)境對加速度計的干擾,是實現(xiàn)加速度計高精度應用的關鍵途徑[3～6]。

整流誤差是指在直線振動和沖擊作用下,加速度輸出信號中出現(xiàn)虛假的直流分量,是一種在加速度計時間平均輸出中由于振動干擾而產生的穩(wěn)態(tài)誤差[7,8]。通常由振動臺產生的一維正弦或隨機振動信號對被測加速計在固定方向進行校準[9]。然而,在大多數(shù)實際情況下,慣性加速計收到的振動干擾不是單一方向的,而是由來自多個方向的振動加速度同時激勵[10～12]。為了在實際中徹底評估振動的影響,有必要考慮來自不同方向的振動加速度引起的綜合效應[13]。因此,本文對多方向振動輸入引起的加速度計整流誤差進行分析和測試。

一般而言,整流誤差的基本測試方法是:在相同時間長度內,計算施加振動產生的加速度計輸出時域平均值與不施加振動情況下的加速度計輸出時域平均值之差[14]。由于輸入信號和輸出信號都是周期信號,且要求進行整周期平均,所以需要進行高精度的整周期采樣。整周期采樣是指在電壓和電流等交流量的采樣過程中,通過設置采樣周期和采樣區(qū)間,使得采樣方式同時滿足下列條件:1)信號周期是采樣周期的整數(shù)倍,且滿足采樣定理;2)采樣時間長度等于信號周期的整數(shù)倍。若采樣方式不能同時滿足這2個條件,則稱為非整周期采樣。非整周期采樣的直接表現(xiàn)是,實際采樣時間長度與理想采樣時間長度不相等。研究表明,周期信號特征量(包括頻譜、幅值、相角)的誤差與非整周期采樣密切相關,取決于周期時間長度的相對誤差[15～17]。并且在加速度計整流誤差測試中,諧波干擾、同步誤差等問題將使得非整周期采樣問題影響明顯。非整周期采樣會給整流誤差的分析帶來很大難度,會導致整周期采樣整流誤差特性的改變,從而影響加速度計整流誤差的校準精度,降低校準結果的可靠性。因此必須要研究在非整周期采樣下的加速度計整流誤差校準問題。

本文針對非整周期采樣問題,分別建立了單方向振動加速度和多方向振動加速度情況下的整流誤差模型,并比較和分析了非整周期采樣對單方向振動加速度和多方向振動加速度整流誤差的影響。主要內容如下:1) 首次建立了非整周期采樣下多方向振動加速度引起的整流誤差數(shù)學模型,分析了振動頻率、振動幅值以及整周期比例因子與整流誤差之間的關系,更加真實地模擬加速度計的測試與校準環(huán)境。2) 與非整周期采樣對單方向整流誤差的影響相比,非整周期采樣對多方向整流誤差的影響較為顯著,尤其當各個方向振動頻率不同時,整流誤差的規(guī)律較為復雜。但可以通過增大整周期比例因子和整周期采樣時間減小這種影響。3) 引入相對測量誤差對非整周期采樣下的整流誤差進行仿真驗證,分析了非整周期采樣時間長度與采樣整周期數(shù)和輸入振動加速度幅度的關系,驗證了非整周期采樣下單方向振動加速度和多方向振動加速度整流誤差模型的有效性。

2 單方向振動加速度引起的整流誤差

2.1 加速度計模型

根據(jù)IEEE 836—2009以及IEEE 1293—1998,加速度計模型可表示為:

(1)

式中:Y為加速度計輸出;R0為加速度計零偏;Ri為加速度計標度因數(shù);Rii為二階非線性系數(shù);Riii為三階非線性系數(shù);Rio,Rip為是交叉耦合系數(shù);Roo,Rpp為二階非線性系數(shù);ε為測量噪聲;Xi,Xo和Xp為輸入加速度在加速度計IA,OA,PA軸上的分量,單位是重力加速度,G。

本文以式(1)所示模型為例分析加速度計的整流誤差,如果采用其他的加速度計模型,本文所述的分析方法依然適用。

2.2 整周期采樣的整流誤差

在整周期采樣的情況下,考慮單方向振動加速度引起的整流誤差,給定IA輸入正弦信號:

(2)

式中:xi為加速度計輸入軸IA上的振動加速度的幅度;ωi為IA上的振動加速度的頻率;φi為IA上的振動加速度的相位。將式(2)帶入式(1)可得:

Y=R0+Roo+Rixisin(ωit+φi)

+Rii[xisin(ωit+φi)]2

+Riii[xisin(ωit+φi)]3+ε

(3)

經過整周期平均:

(4)

靜止時的輸入為:

(5)

經過整周期平均,輸出的直流量為:

(6)

所以整流誤差可表示為:

(7)

通過式(7)可知,單方向振動加速度引起的整流誤差,與振動頻率和振動相位均無關,只與二階非線性系數(shù)Rii有關。

2.3 非整周期采樣的整流誤差

(8)

式中:T=NTv,N為正整數(shù)。

根據(jù)周期信號特性,可令采樣起始時刻t0=0,則在TΔ時間內,被測加速度計輸出的時域平均值可表示為:

(9)

由于Y是周期信號,所以:

(10)

則(9)可改寫為:

(11)

因此根據(jù)(3)式計算非整周期的加速度計輸出平均值:

(12)

將式(12)代入式(11),得到直流量為:

-sin2(ωiT1+φi)cos(ωiT1+φi))

(13)

考慮加速度計靜止時的輸入為式(5),則靜止狀態(tài)下的直流分量是:

(14)

則非整周期的加速度計輸出平均值為:

(15)

所以,整流誤差表達式為:

-sin2(ωiT1+φi)cos(ωiT1+φi))

(16)

為進一步簡化,根據(jù):

(17)

整流誤差可改寫為:

(18)

根據(jù)式(18)可知,在單方向振動加速度幅度不變的情況下,非整周期采樣所引起的整流誤差與振動頻率無關,只與振動加速度幅值和相位以及模型系數(shù)相關。

3 多方向振動加速度引起的整流誤差

3.1 整周期采樣的整流誤差

考慮加速度計3個軸都輸入振動加速度,則輸入加速度可表示為:

(19)

式中:xi、xo和xp為加速度計輸入軸IA、輸出軸OA和擺軸PA上的振動加速度的幅度;ωi、ωo和ωp是IA、OA和PA上的振動加速度的頻率;φi、φo和φp是IA、OA和PA上的振動加速度的相位。

將式(19)帶入式(1)可得:

Y=R0+Rixisin(ωit+ωi)+Rii[xisin(ωit+φi)]2

+Riii[xisin(ωit+φi)]3

+Rioxixosin(ωit+φi)×sin(ωot+φo)

+Ripxixpsin(ωit+φi)×sin(ωpt+φp)

+Roo[xosin(ωot+φo)]2

+Rpp[xpsin(ωpt+φp)]2+ε

(20)

對各項進行整周期平均:

(21)

得到直流量:

(22)

當加速度計處于靜止狀態(tài)時,受重力加速度的影響,靜止狀態(tài)下的直流分量為:

(23)

結合式(22)和式(23),整流誤差的表達式為:

(24)

由式(24)可知,整周期采樣所引起的整流誤差,是受到各方向振動頻率之間的相互關系影響的,各方向振動的相位之間的關系也對整流誤差有一定的影響。

3.2 非整周期采樣的整流誤差

由多方向振動加速度引起的非整周期采樣加速度計輸出計算方法可參考式(8)～式(12)。則根據(jù)式(21)計算非整周期采樣的加速度計輸出平均值:

(25)

考慮加速度計靜止時的輸入為式(5),根據(jù)式(11),則非整周期采樣的加速度計輸出平均值為:

(26)

因此結合式(25)和式(26),整流誤差表示為:

(27)

則整流誤差的表達式最終可表示為:

-sin2(ωiT1+φi)cos(ωiT1+φi))]

(28)

+0.5xi[Rioxo+Ripxp]-Roo

(29)

根據(jù)式(29)可知:1) 多方向振動加速度引起的整流誤差主要由加速度計的二階非線性系數(shù)和交叉耦合系數(shù)的大小決定,受標度因數(shù)和三階非線性系數(shù)影響較小,與加速度計零偏無關;2) 多方向振動引起的整流誤差是與振動頻率和采樣周期無關的函數(shù),只與振動幅值以及整周期比例因子有關。

對式(29)求極限:

+0.5xi[Rioxo+Ripxp]=E

(30)

由式(30)可以看出,多方向振動加速度引起的非整周期采樣整流誤差退化為整周期采樣整流誤差。因此可以通過增大整周期比例因子k和整周期采樣時間倍數(shù)N,從而降低非整周期采樣產生的影響。

4 仿真結果

4.1 單方向振動加速度整流誤差的數(shù)值仿真

采用MATLAB仿真軟件實現(xiàn)對單方向振動加速度整流誤差的數(shù)值仿真。

選取加速度計參數(shù)如表1所示,振動加速度信號如式(2)所示,其中振動加速度頻率為ωi=10 Hz,振動加速度幅度為xi=10 G, 振動加速度相位為φi=0。

表1 加速度計參數(shù)配置Tab.1 Accelerometer parameter configuration

采用相對測量誤差er來評價非整周期采樣對單方向振動加速度整流誤差的影響,可表示為:

(31)

在仿真過程中,保持振動加速度幅度不變,并固定振動頻率,考察整周期比例因子k對非整周期采樣誤差的影響,仿真結果如圖1所示。根據(jù)圖1可知:1)隨著整周期數(shù)的增加,最大相對測量誤差峰值減小;2)隨著整周期數(shù)的增加,最大相對測量誤差對應的k值減小;3)相對測量誤差與k值的關系不是單調的,而是單峰的。

從圖1可見,最大相對測量誤差對于較小的k,可適當取值以進一步觀察。為分析不同振動加速度幅度對最大相對測量誤差的影響,進一步調整仿真條件:振動加速度幅度為xi∈{10 G～100 G}, 整周期比例因子為k∈{1～5},整周期數(shù)N=20,其余條件保持不變。得到的仿真結果如圖2所示。由圖2可見隨著振動加速度幅度的增加,最大相對測量誤差峰值減小。

圖2 振動加速度幅度對相對測量誤差的影響Fig.2 Influence of vibration acceleration amplitude on relative measurement error

4.2 多方向振動加速度整流誤差的數(shù)值仿真

在多方向振動加速度整流誤差的數(shù)值仿真中,為了方便分析,暫不考慮振動加速度相位對整流誤差的影響,即φi=φo=φp=0,則式(28)所示非整周期采樣多方向振動加速度整流誤差可改寫為:

+0.5Ripxixp-Roo+0.5Rioxixo

-sin2(ωiT1)cos(ωiT1))]+Rioxixo+Ripxixp

(32)

保持加速度計參數(shù)不變,選取振動加速度信號如(19)式,其中振動加速度頻率為ωi=ωo=ωp=10 Hz,振動加速度幅度為xi=xo=xp=10G。

同樣采用相對測量誤差er來評價非整周期采樣對多方向振動加速度整流誤差的影響,仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 不同整周期數(shù)下比例因子對相對測量誤差的影響Fig.3 Influence of scale factor on relative measurement error under different integer periods

圖4 振動加速度幅度對相對測量誤差的影響Fig.4 Influence of vibration acceleration amplitude on relative measurement error

從圖3和圖4可見,非整周期采樣對多方向整流誤差的影響和對單方向整流誤差的影響基本一致,一定程度上驗證了本方法的有效性。

為分析不同方向振動加速度幅度對最大相對測量誤差的影響,引入與重力方向垂直的振動加速度和與重力方向平行的振動加速度,其幅度在0～10 G內變化, 整周期比例因子為k=5,整周期數(shù)N=20,其余條件保持不變,結果如圖5所示。

圖5顯示隨著兩方向振動加速度幅值的增加,相對測量誤差逐漸減小,趨近于零。并且兩方向的相對測量誤差與k值的關系與單方向的基本一致,也是單峰的。

為了進一步分析非整周期采樣對多方向振動加速度引起整流誤差的影響,同時調節(jié)整周期比例因子和整周期數(shù)來觀察相對測量誤差的變化,其仿真結果如圖6所示。

圖6 整周期比例因子和整周期數(shù)對相對測量誤差的影響Fig.6 Influence of integer period scale factor and integer period number on relative measurement error

由圖6可以看到隨著整周期比例因子的增加,相對測量誤差增加到峰值就下降,因此相對測量誤差與整周期比例因子的關系仍是單峰的。而整周期數(shù)增加會導致相對測量誤差的增加,但并不會影響其單峰關系。因此在多方向振動加速度引起整流誤差的影響中,應格外留意整周期比例因子的調節(jié),盡量使其遠離峰值點,從而使得整流誤差可以顯著減小。

4.3 結果分析

通過在整周期和非整周期采樣下,對幾種不同的加速度輸入分別建立其整流誤差模型,從模型方程可以清楚看到:

1)單方向純振動下產生的整周期整流誤差只與輸入軸的二階非線性系數(shù)有關,而與振動的頻率和相位無關;

2)單方向純振動下產生的非整周期整流誤差與振動頻率無關,只與振動加速度幅值和相位以及模型系數(shù)相關;

3)多方向振動下產生的整周期整流誤差不僅與輸入軸、輸出軸和擺軸的二階非線性系數(shù)有關,還與交叉耦合系數(shù)有關,也與振動的頻率和相位相關;

4)多方向振動下產生的非整周期整流誤差則比較復雜,在各方向振動加速度頻率相同情況下,整流誤差與振動頻率和采樣周期無關,只和振動幅值、振動相位以及整周期比例因子有關,而各方向振動加速度頻率不同時,整流誤差則與所有參量均相關。

5 結 論

非整周期采樣對加速度計整流誤差的影響是較為顯著的,無論是單方向還是多方向振動加速度引起的整流誤差都會與振動幅值、相位有較大關系,而振動頻率對整流誤差的影響較小。因此,為了減小非整周期采樣的影響,可以適當增大整周期比例因子和整周期采樣時間,從而減小非整周期采樣對加速度計整流誤差的影響。為評價非整周期采樣對加速度計整流誤差測試的影響,本文首先建立單方向振動加速度引起的加速度計整流誤差模型,并分析了非整周期采樣對整流誤差的影響。在此基礎上推導出非整周期采樣對多方向振動加速度整流誤差影響的一般化數(shù)學模型,并分析比較了單方向和多方向振動加速度分別在整周期和非整周期采樣下的整流誤差特點,給出了振動頻率影響較小,而振動幅值和相位影響較大的結論。本文的分析過程和結論可以為加速度計整流誤差測試數(shù)據(jù)采集與處理提供理論指導,具有一定的應用價值。