芮國勝,崔田田,田文飚

(海軍航空大學(xué) 信號(hào)與信息處理山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 煙臺(tái) 264001)

0 引 言

蒸發(fā)波導(dǎo)[1-2]是由海水蒸發(fā)而引起的濕度隨高度銳減的異常大氣折射結(jié)構(gòu),它既有助于實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離、超視距傳輸和探測,又可能逆向致使自身過早暴露。因此,獲知海上蒸發(fā)波導(dǎo)的分布態(tài)勢對(duì)在未來海戰(zhàn)中占據(jù)主動(dòng)權(quán)具有重要意義。蒸發(fā)波導(dǎo)通常由蒸發(fā)波導(dǎo)的高度、強(qiáng)度和陷獲頻率范圍等特征參數(shù)來描述,這些特征參數(shù)依賴于空氣溫度、海面溫度、相對(duì)濕度、壓強(qiáng)以及風(fēng)速等相關(guān)氣象要素?cái)?shù)據(jù)的準(zhǔn)確獲取[3]。

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[4-6]理論中“少采樣,巧重構(gòu)”[7-8]的思想為蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素?cái)?shù)據(jù)的獲取提供了方法:先以少量的測量值對(duì)相關(guān)氣象要素進(jìn)行觀測,然后通過求解一個(gè)最優(yōu)化問題重構(gòu)出原始數(shù)據(jù),并用于蒸發(fā)波導(dǎo)特征參數(shù)的計(jì)算,最終獲知蒸發(fā)波導(dǎo)的態(tài)勢分布情況[9]。

但在實(shí)際應(yīng)用中,蒸發(fā)波導(dǎo)態(tài)勢的實(shí)時(shí)感知需要對(duì)海面的相關(guān)氣象要素進(jìn)行長時(shí)間、不間斷的監(jiān)測,為減小觀測規(guī)模和計(jì)算復(fù)雜度,通常采用分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing,BCS)[10]技術(shù)。然而,BCS在測量時(shí)沒有考慮到各信號(hào)塊的數(shù)據(jù)特征差異,采用相同的觀測矩陣導(dǎo)致采樣數(shù)目冗余或不足。

針對(duì)這一問題,已經(jīng)有不少學(xué)者提出了自適應(yīng)采樣方法,例如:文獻(xiàn)[11]利用方差度量圖像塊的復(fù)雜度,通過分類采樣取得了較好的重構(gòu)效果;文獻(xiàn)[12]利用熵作為衡量圖像塊稀疏度的參數(shù),自適應(yīng)分配采樣數(shù)目,改善了圖像的重構(gòu)質(zhì)量;文獻(xiàn)[13]利用圖像的紋理信息,自適應(yīng)分配采樣率,提高了圖像的重構(gòu)效果;文獻(xiàn)[14]提出了一種基于幀間相關(guān)性的自適應(yīng)采樣方法,通過預(yù)采樣和自適應(yīng)采樣實(shí)現(xiàn)了采樣率的動(dòng)態(tài)調(diào)整。但是上述的自適應(yīng)采樣方法需要在采集端獲得原始信號(hào),這在實(shí)際的感知過程中不易實(shí)現(xiàn)。因此,考慮利用采集端輸出測量值的數(shù)據(jù)特征指導(dǎo)采樣過程更具現(xiàn)實(shí)意義。

為了更好地重構(gòu)原信號(hào),文獻(xiàn)[15-16]提出了能量自適應(yīng)的方法,即用能量表征各信號(hào)塊的重要性,對(duì)能量較高的信號(hào)塊分配較多的觀測個(gè)數(shù),對(duì)能量較低的信號(hào)塊則分配較少的觀測個(gè)數(shù)。本文借鑒這一思想,結(jié)合蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素感知的實(shí)際特點(diǎn),提出以測量值能量為依據(jù)的自適應(yīng)采樣方法,有效提高了信號(hào)重構(gòu)質(zhì)量。

1 分塊壓縮感知理論模型

1.1 稀疏性分析

壓縮感知理論的前提是信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性,本文選取信號(hào)處理中常用的離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)、快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)及離散小波變換(Discrete Wavelet Transform,DWT)對(duì)蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素的稀疏性進(jìn)行分析。在DWT中,選用了3種不同的堿基,分別是Haar、Daubechies-2(db2)和Symlet-4(Sym4)。在上述稀疏基的基礎(chǔ)上,分析前K項(xiàng)最大稀疏系數(shù)所捕獲能量占總能量的比重:若K越小,且前K項(xiàng)最大稀疏系數(shù)所占能量比重越大,則說明越少的稀疏系數(shù)占據(jù)了越多的能量,即信號(hào)越稀疏。

實(shí)測數(shù)據(jù)利用全球海洋大氣(Tropical Atmosphere Ocean,TAO)項(xiàng)目中的數(shù)據(jù)集,時(shí)間范圍為2011年4月1日0時(shí)—2011年4月8日3時(shí),時(shí)間分辨率為10 min,空間范圍為[165°E,95°W],[8°S,8°N],數(shù)據(jù)集中包含了1 024個(gè)采樣點(diǎn)。由于TAO項(xiàng)目中氣象參數(shù)種類繁多,本文僅對(duì)其中4種較為典型的氣象要素進(jìn)行分析,包括海面上方3 m處的空氣溫度(Air Temperature,AirT)、海面上方3 m處的相對(duì)濕度(Relative Humidity,Rhum)、海面以下1 m處的海面溫度(Sea Surface Temperature,SST)和海面上方4 m處的風(fēng)速(Winds Speed,WS)。

從圖1可以看出,在5種不同的稀疏基下,SST稀疏性最優(yōu),前10個(gè)最大稀疏系數(shù)能捕獲總能量的90%以上;AirT、Rhum稀疏性次之,前10個(gè)最大稀疏系數(shù)均能捕獲總能量的80%左右;WS稀疏性最差,但前10個(gè)最大稀疏系數(shù)也能捕獲總能量的60%左右。這表明,盡管各數(shù)據(jù)集的稀疏性不盡相同,但在所研究的場景中均具有良好的稀疏性或可壓縮性,為后續(xù)的壓縮感知奠定了基礎(chǔ)。

(a)AirT

1.2 分塊壓縮感知模型

蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素分塊壓縮感知的具體過程描述如下:

設(shè)原信號(hào)x的長度為N,分塊間隔大小為n,時(shí)域分塊后的第i個(gè)信號(hào)塊序列為xi=[xi1,xi2,…,xin]T∈n×1,i=1,2,…,l,l=N/n,原信號(hào)x的數(shù)學(xué)模型可描述為

(1)

信號(hào)塊xi經(jīng)過觀測矩陣的線性投影得到長度為m(m?n)的測量值yi,數(shù)學(xué)形式可表示為

yi=ΦBxi。

(2)

式中:ΦB為觀測矩陣或者感知矩陣,大小為m×n。

如果xi在變換域Ψ上是稀疏的,或者是可壓縮的,式(2)也可描述為

yi=ΦBxi=ΦBΨSi。

(3)

式中:Ψ是稀疏基;Si是xi在稀疏基Ψ下的等價(jià)表示。則原始信號(hào)x的總測量矩陣Φ可表示為一個(gè)塊對(duì)角矩陣:

(4)

BCS中,僅需存儲(chǔ)一個(gè)大小為m×n的觀測矩陣,而不是M×N的大規(guī)模觀測矩陣,加快了測量及傳輸速度。第i個(gè)信號(hào)塊的重構(gòu)模型表示為

(5)

(6)

2 自適應(yīng)壓縮采樣

2.1 算法描述

在蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素壓縮感知過程中,原始信號(hào)無法獲取,傳統(tǒng)的自適應(yīng)方法不再適用,考慮利用各信號(hào)塊測量值yi的數(shù)據(jù)特征間接反映原信號(hào)塊xi的數(shù)據(jù)特征。這是因?yàn)閥i作為觀測矩陣ΦB與原信號(hào)塊xi的乘積,必然包含了原信號(hào)塊的大量有效信息。利用觀測矩陣的有限等距性質(zhì)[17](Restricted Isometry Property,RIP)(見2.2節(jié)定義1),可通過計(jì)算測量向量的能量E(yi)近似估計(jì)原信號(hào)塊的能量E(xi)。

本文提出的自適應(yīng)采樣方法步驟如下:

Step1 假設(shè)待采集的蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素表示為x∈N×1,分塊間隔大小設(shè)定為n,則子塊信號(hào)表示為xi∈n×1,i=1,2,…,l,l=N/n,令i=1。

Step2 對(duì)第i個(gè)子塊xi進(jìn)行預(yù)采樣,設(shè)定初始采樣率為R,構(gòu)建相應(yīng)的觀測矩陣ΦB,第i個(gè)子塊的預(yù)采樣數(shù)目m(xi)表示為

m(xi)=R·n。

(7)

Step3 根據(jù)公式(2)獲取xi的測量值yi,并計(jì)算yi的能量E(yi):

(8)

Step4 令i=i+1,重新執(zhí)行Step 2和Step 3,根據(jù)公式(8)和公式(9)計(jì)算測量值的能量差:

(9)

Step5 若Δ>0,則增加第i個(gè)子塊的采樣率以滿足當(dāng)前子塊所需的采樣數(shù)目;若Δ<0,則直接刪去多余的測量值,第i個(gè)子塊的最終采樣率R(xi)及采樣數(shù)目M(xi)設(shè)定為

(10)

(11)

Step6 若i≥l,則終止自適應(yīng)壓縮采樣過程;否則,重新執(zhí)行Step 4和Step 5。

2.2 有效性分析

定義1(RIP)對(duì)于K-稀疏的任意向量x∈n,定義觀測矩陣Φ的等距常量δk為使得成立的最小值,則稱Φ滿足有限等距性質(zhì)。

根據(jù)公式(1)可得

(12)

根據(jù)RIP可得

(13)

即

(1-δ)E(xi)≤E(yi)≤(1+δ)E(xi),0<δ<1。

(14)

根據(jù)RIP特性,可在采集端以觀測值的能量近似估計(jì)原信號(hào)塊的能量[18]。算法Step 5中利用Δ調(diào)整采樣率避免了對(duì)原信號(hào)的依賴,使自適應(yīng)采樣更易與CS理論融合。

2.3 復(fù)雜度分析

算法所消耗時(shí)間主要集中在利用觀測值能量估算原信號(hào)能量(Step 3)及采樣率的自適應(yīng)分配(Step 5)階段,測量和重構(gòu)的總時(shí)間復(fù)雜度為O(nR+n),這里n為迭代次數(shù)。

為保證算法的迭代循環(huán)至少收斂到一個(gè)局部最小點(diǎn),經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,當(dāng)殘差rn滿足‖rn‖2<‖rn-1‖2且‖rn‖2<6×10-5時(shí),可在有限的迭代中取得較好的重構(gòu)效果,即算法是收斂的。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 測試信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

選取長度為N=1 024的一維稀疏測試信號(hào),在不同初始采樣率和不同稀疏度的條件下,將本文方法與3種測量方法進(jìn)行比較。為了降低觀測矩陣隨機(jī)性因素的影響,仿真實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均為100次實(shí)驗(yàn)的平均值。

重構(gòu)信噪比(Reconstruction-SNR,RSNR)用于衡量信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量,RSNR越大說明信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量越好,反之重構(gòu)質(zhì)量較差。RSNR定義為

(15)

實(shí)驗(yàn)1：考察本文方法在不同分塊大小時(shí)的重構(gòu)質(zhì)量,分塊大小n分別設(shè)定為32,64和128。實(shí)驗(yàn)中測試信號(hào)的稀疏度為K=50,重構(gòu)算法是正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法[19]。初始采樣率R由0.2向0.6遞增,步長為0.1。

圖2是不同分塊大小時(shí),本文方法的RSNR隨初始采樣率的變化曲線。從圖中可以看出,隨著分塊大小的增大,本文方法的重構(gòu)性能在變好。但是,如表1和表2所示,n=128時(shí)每個(gè)小塊的平均重構(gòu)時(shí)間和總重構(gòu)時(shí)間卻遠(yuǎn)大于其他兩種。這是因?yàn)樵O(shè)定較大的分塊大小雖能有效地減少塊效應(yīng),卻也增加測量的復(fù)雜度。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出,分塊大小為n=64時(shí),重構(gòu)時(shí)間短且具有較好的重構(gòu)效果。因此,本文在后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)中均設(shè)定分塊大小為n=64。

表1 每個(gè)小塊平均重構(gòu)時(shí)間

表2 總重構(gòu)時(shí)間

圖2 不同分塊大小時(shí)RSNR與R關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)2：考察不同測量方法隨初始采樣率的變化情況,對(duì)比方法分別為非自適應(yīng)方法、基于子塊方差的自適應(yīng)方法(子塊方差)和基于子塊熵的自適應(yīng)方法(子塊熵)。實(shí)驗(yàn)中測試信號(hào)的稀疏度為K=50,分塊大小為n=64,重構(gòu)算法是OMP算法。初始采樣率R由0.2向0.9遞增,步長為0.1。

圖3是相同稀疏度下不同方法的RSNR隨初始采樣率的變化曲線,可以看出,隨著初始采樣率的增加,不同測量方法的重構(gòu)信噪比均呈上升趨勢。其中,與非自適應(yīng)方法相比,自適應(yīng)測量方法的RSNR增益顯著,與對(duì)照組的兩種自適應(yīng)方法相比,本文方法的優(yōu)勢在于原始信號(hào)未知的情況下仍有著較高的重構(gòu)信噪比。

圖3 相同稀疏度下各方法RSNR與R關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)3：考察信號(hào)稀疏性對(duì)重構(gòu)性能的影響。實(shí)驗(yàn)中測試信號(hào)的初始采樣率設(shè)定為R=0.6,分塊大小為n=64,重構(gòu)算法是OMP算法。信號(hào)的稀疏度通過稀疏比K/N(非零元素的個(gè)數(shù)與信號(hào)長度的比值)來表示,稀疏比由0.01向0.11遞增,步長為0.02。

圖4是不同方法的RSNR隨稀疏比的變化曲線,可以看出,不同測量方法的重構(gòu)信噪比均隨著稀疏比的減小而增大,即信號(hào)稀疏性越高重構(gòu)性能越好。其中,本文方法的重構(gòu)性能最好,且稀疏比越低,RSNR增益越明顯。這也從側(cè)面證明了信號(hào)的稀疏性是確保精確重構(gòu)的重要前提之一。

圖4 不同方法的RSNR與稀疏比關(guān)系曲線

3.2 實(shí)測數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用1.1節(jié)的實(shí)測數(shù)據(jù)。為了驗(yàn)證本文方法的有效性,4種類型的氣象要素?cái)?shù)據(jù)集中均包含N=1 024個(gè)采樣點(diǎn),分塊大小均設(shè)定為n=64。由于原始數(shù)據(jù)集的稀疏度未知,本節(jié)采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤[20](Sparse Adaptive Matching Pursuit,SAMP)重構(gòu)算法。

實(shí)驗(yàn)1：考察不同測量方法對(duì)不同數(shù)據(jù)集重構(gòu)性能的影響。初始采樣率R由0.2向0.9遞增,步長為0.1。

圖5是各數(shù)據(jù)集在不同測量方法下RSNR隨初始采樣率變化曲線,可以看出,隨著初始采樣率的增加,不同測量方法的重構(gòu)效果均在變好,且本文方法的重構(gòu)效果優(yōu)勢明顯。對(duì)于不同類型的數(shù)據(jù)集,SST重構(gòu)性能最好,WS重構(gòu)性能最差,AirT和Rhum性能相當(dāng),次于SST,這也與1.1節(jié)中各數(shù)據(jù)集的稀疏性形成呼應(yīng),再次證明了信號(hào)越稀疏重構(gòu)性能越好。

(a)AirT

表3是各數(shù)據(jù)集在不同方法下的測量時(shí)間,總的來說,本文方法的測量時(shí)間低于對(duì)照組的兩種自適應(yīng)方法,但高于非自適應(yīng)方法。因此,本文方法的RSNR增益是以增加采集端的計(jì)算復(fù)雜度為代價(jià)的。

表3 各數(shù)據(jù)集在不同方法下的測量時(shí)間

實(shí)驗(yàn)2：考察本文方法中初始采樣率R的設(shè)定對(duì)重構(gòu)性能的影響。由于R的設(shè)定直接決定了首個(gè)子塊的重構(gòu)性能,且首個(gè)子塊的重構(gòu)性能與數(shù)據(jù)集的在線重構(gòu)性能保持一致,因此本實(shí)驗(yàn)中以首個(gè)子塊的RSNR作為衡量R的設(shè)定對(duì)原始數(shù)據(jù)集重構(gòu)性能影響的標(biāo)準(zhǔn)。初始采樣率由0.2向0.9遞增,步長為0.05。

從圖6可以看出,隨著初始采樣率R的增加,首個(gè)子塊的RSNR先增加后趨于平緩。在R較低(0.20.65)時(shí),由于逐漸逼近首個(gè)子塊的測量飽和狀態(tài),RSNR受R影響較小。這也恰恰解釋了圖5中數(shù)據(jù)集的RSNR變化規(guī)律。

圖6 首個(gè)子塊RSNR與R關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)2表明,對(duì)于在線的自適應(yīng)壓縮感知過程來說,設(shè)定合適的初始采樣率R至關(guān)重要。若R過小,則存在測量不足、重構(gòu)質(zhì)量較低的問題;若R過大,則會(huì)導(dǎo)致測量冗余、資源浪費(fèi)。因此,本文算法的初始采樣率R設(shè)定在0.65左右較為合適,此時(shí)能在算法復(fù)雜度與重構(gòu)精度之間達(dá)到一種平衡。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)現(xiàn)有自適應(yīng)采樣方法無法適用于蒸發(fā)波導(dǎo)相關(guān)氣象要素壓縮測量的問題,提出了一種基于CS測量值的自適應(yīng)采樣方法。該方法并不需要在采集端獲知原始信號(hào),而是利用觀測矩陣的RIP性質(zhì),以測量值能量近似估計(jì)原信號(hào)塊能量,并根據(jù)感知域中測量值的能量變化自適應(yīng)地為各塊設(shè)定合適的采樣數(shù)目。從測試信號(hào)和實(shí)測數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果來看,本文提出的自適應(yīng)采樣方法比傳統(tǒng)自適應(yīng)方法和非自適應(yīng)方法具有更高的重構(gòu)質(zhì)量,且信號(hào)越稀疏,重構(gòu)性能越好。但由于預(yù)采樣環(huán)節(jié)和自適應(yīng)調(diào)整采樣率的過程增加了采集端的計(jì)算量,使得本文方法的測量時(shí)間顯著高于非自適應(yīng)方法,因此如何改進(jìn)方法以減少測量時(shí)間有待進(jìn)一步研究。