楊 帆* 華 濱 陳 帆 陳 剛 劉 兵 張紅衛(wèi) 劉小寧

（武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

單層圓筒形銅制承壓設(shè)備(管道)的靜強(qiáng)度可分為兩種三大類(lèi)，兩種是指靜強(qiáng)度包括屈服壓力與爆破壓力；三大類(lèi)是指靜強(qiáng)度的實(shí)測(cè)值，或考慮有關(guān)因素隨機(jī)性，通過(guò)公式得到靜強(qiáng)度的預(yù)測(cè)值，或不考慮有關(guān)因素隨機(jī)性，用公式得到靜強(qiáng)度的名義值。單層圓筒形銅制承壓設(shè)備的工作介質(zhì)往往是具有一定壓力的液體或氣體，為了保證其靜強(qiáng)度的安全，常常采用有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)規(guī)范其設(shè)計(jì)、制造與檢驗(yàn)過(guò)程[1-2]。

在常規(guī)設(shè)計(jì)方法中，將影響承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的因素視為確定量，采用中徑公式設(shè)計(jì)其靜強(qiáng)度。由于銅材力學(xué)性能、承壓設(shè)備的幾何尺寸等影響靜強(qiáng)度的因素往往是隨機(jī)變量，綜合考慮這些因素的不確定性，建立單層圓筒形銅制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的可靠性設(shè)計(jì)方法[3]，研究單層圓筒形銅制承壓設(shè)備的靜強(qiáng)度概率分布，是建立其可靠性設(shè)計(jì)方法的重要基礎(chǔ)工作。

文中以長(zhǎng)度與直徑之比較大的單層圓筒形銅制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度為研究對(duì)象[4]，將實(shí)測(cè)靜強(qiáng)度與中徑公式名義值之比作為隨機(jī)變量，應(yīng)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)[5-6]，基于文獻(xiàn)[7-8]對(duì)單層圓筒形鋼制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度概率分布進(jìn)行探索，研究了單層圓筒形銅制承壓設(shè)備的靜強(qiáng)度分布規(guī)律與分布參數(shù)，并對(duì)實(shí)測(cè)靜強(qiáng)度的下限進(jìn)行了探討。

1 理論模型

1.1 兩個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)變量之積的概率分布

假設(shè)x，y分別為符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值分別為μx與μy，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σx與σy，變異系數(shù)分別為Cx與Cy。

若z為x與y之積，即：

則隨機(jī)變量z符合正態(tài)分布，并且均值μz、標(biāo)準(zhǔn)差σz與變異系數(shù)Cz分別為：

由概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知，隨機(jī)變量的分布規(guī)律與參數(shù)應(yīng)從無(wú)數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中統(tǒng)計(jì)得到，而工程界只能構(gòu)建具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量，通過(guò)具有有效性與同質(zhì)性的有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)[9-10]，在一定顯著度時(shí)分析隨機(jī)變量的分布規(guī)律，在一定雙側(cè)置信度時(shí)，討論隨機(jī)變量分布參數(shù)的區(qū)間值[11-12]。

1.2 構(gòu)建兩個(gè)具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量

我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用有關(guān)公式預(yù)測(cè)承壓設(shè)備的靜強(qiáng)度，并進(jìn)行靜強(qiáng)度設(shè)計(jì)，可建立以下等式：

式中：pr——承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的實(shí)測(cè)值，MPa；

ur——將有關(guān)因素視為確定量時(shí)，計(jì)算得到的承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的名義值，MPa。

令式（5）中：

由式（6）可以得到：

1.3 隨機(jī)變量zr的分布規(guī)律與分布參數(shù)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假設(shè)在顯著度為δ時(shí)（通常取0.05）通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)的方法證明xr與yr是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在雙側(cè)置信度為（1-α）（通常取α=0.02）時(shí)，得到xr與yr分布參數(shù)的取值區(qū)間。對(duì)于符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其分布參數(shù)包括均值、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)，記xr與yr的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)分別為μxr與μyr，σxr與σyr和Cxr與Cyr，則在雙側(cè)置信度為（1-α）時(shí)的取值區(qū)間分別為：

在式（8）與式（9）中，上標(biāo)l與u分別表示參數(shù)在雙側(cè)置信度為（1-α）時(shí)的下限與上限。

在雙側(cè)置信度為（1-α）時(shí)，將式（8）與式（9）代入式（2）～式（4），可得到符合正態(tài)分布隨機(jī)變量zr的均值μr，標(biāo)準(zhǔn)差σr和變異系數(shù)Cr取值區(qū)間分別為：

其中：

2 基于中徑公式的靜強(qiáng)度概率分布

2.1 計(jì)算靜強(qiáng)度的中徑公式

單層圓筒形銅制或者鋼制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的計(jì)算公式比較多[13]，我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)將影響靜強(qiáng)度的因素視為確定值，采用中徑公式計(jì)算其靜強(qiáng)度名義值[14]：

式中：ur——單層圓筒形銅制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的名義值，MPa；

K——單層圓筒形銅制承壓設(shè)備徑比的名義值，K=Do/Di；

Di——設(shè)備的內(nèi)直徑名義值，mm；

Do——設(shè)備外直徑的名義值，Do=Di+t，mm；

t——設(shè)備壁厚的名義值，mm；

Rr——設(shè)備材料力學(xué)性能的名義值，當(dāng)下標(biāo)分別取p與m時(shí)，Rr分別為材料屈服強(qiáng)度Rp的名義值與抗拉強(qiáng)度Rm的名義值，mm；

式（11）的應(yīng)用范圍為設(shè)備的設(shè)計(jì)壓力不超過(guò)35 MPa，當(dāng)抗拉安全系數(shù)取3 時(shí)[1]，即等同于設(shè)備與管道的實(shí)測(cè)爆破壓力不超過(guò)105 MPa （3×35 MPa），或者容器徑比的名義值K≤1.50。

為保證單層圓筒形銅制承壓設(shè)備的制造質(zhì)量，我國(guó)采用有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)限制靜強(qiáng)度影響因素的制造誤差，將其控制在允許范圍。當(dāng)考慮靜強(qiáng)度影響因素的隨機(jī)性時(shí)，采用中徑公式得到的靜強(qiáng)度預(yù)測(cè)值為：

2.1.1 隨機(jī)變量xr的概率分布

對(duì)于采用我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)、制造與檢驗(yàn)的單層圓筒形銅制承壓設(shè)備，隨機(jī)變量xr可描述其靜強(qiáng)度實(shí)測(cè)值與設(shè)計(jì)公式預(yù)測(cè)值之比的概率分布。

對(duì)于單層圓筒形銅制和鋼制承壓設(shè)備，基于63組爆破壓力實(shí)測(cè)值與中徑公式名義值之比的研究[8]，發(fā)現(xiàn)在顯著度δ= 0.05 時(shí)，xr為基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，xr分布參數(shù)的取值區(qū)間為：

由于屈服壓力產(chǎn)生的機(jī)理也是材料變形，因此可認(rèn)為，式（13）的參數(shù)同樣適用于單層圓筒形銅制和鋼制承壓設(shè)備與管道屈服壓力預(yù)測(cè)或者計(jì)算。

2.1.2 隨機(jī)變量yr的概率分布

當(dāng)單層圓筒形銅制承壓設(shè)備是按我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)、制造與檢驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量yr描述了其靜強(qiáng)度的公式預(yù)測(cè)值與公式名義值之比，反映了我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)的科技發(fā)展水平及新成果在工程中的應(yīng)用。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與概率論方法[5-6]，隨機(jī)變量yr符合正態(tài)分布，其均值為：

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為[15]：

式中：σyr——yr的標(biāo)準(zhǔn)差，與靜強(qiáng)度的種類(lèi)有關(guān)；

σδ，σφ，σDi，σRr——分別為圓筒壁厚、焊接接頭系數(shù)、圓筒內(nèi)直徑、材料機(jī)械性能常數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差；

Cδ，CDi，Cφ，CRr——分別為壁厚、內(nèi)直徑、焊接接頭系數(shù)、材料機(jī)械性能常數(shù)的變異系數(shù)，CRr與靜強(qiáng)度的種類(lèi)有關(guān)。

由于CRr和σyr都與靜強(qiáng)度的種類(lèi)有關(guān)，因此，當(dāng)靜強(qiáng)度為爆破壓力時(shí)，CRr取材料抗拉強(qiáng)度的變異系數(shù)CRm，與yr對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σym；當(dāng)靜強(qiáng)度為屈服壓力時(shí)，CRr取材料屈服強(qiáng)度的變異系數(shù)CRp，與yr對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為σyp。分析表明[15]，Cδ=0.041 67，CDi=0.005，Cφ=0.033 33，1.0＜k≤1.50，由式（15）得：

根據(jù)我國(guó)科技發(fā)展的水平，鋼材抗拉強(qiáng)度與屈服強(qiáng)度的變異系數(shù)分別可取0.05 與0.07[3]；基于對(duì)TP2銅材力學(xué)性能研究[16]，建議取其抗拉強(qiáng)度與屈服強(qiáng)度的變異系數(shù)CRm與CRp分別為：

將式（17）代入式（16）得到y(tǒng)r標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍：

2.2 靜強(qiáng)度的概率分布

2.2.1 爆破壓力的概率分布

當(dāng)用中徑公式計(jì)算爆破壓力的預(yù)測(cè)值或者名義值時(shí)，xr與yr用xm與ym表示，xm與ym都是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，zr用zm表示，根據(jù)式（7）與式（1），zm與z都是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

基于計(jì)算爆破壓力預(yù)測(cè)值或者名義值，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，將式（13）、式（14）與式（18）數(shù)據(jù)代入式（10），得到zm分布參數(shù)的取值區(qū)間為：

根據(jù)式（5）與式（6），爆破壓力實(shí)測(cè)值為：

從工程應(yīng)用的角度，必須對(duì)實(shí)測(cè)爆破壓力下限進(jìn)行嚴(yán)格控制，以保證設(shè)備安全。由于zm基本符合正態(tài)分布，從偏于保守角度，由概率論中隨機(jī)變量正態(tài)分布知識(shí)可知，當(dāng)單側(cè)可靠度為99.865%時(shí)，實(shí)測(cè)爆破壓力下限區(qū)間為：

將式（21）數(shù)據(jù)代入式（22），得：

2.2.2 屈服壓力的概率分布

當(dāng)用中徑公式計(jì)算屈服壓力預(yù)測(cè)值或者名義值時(shí)，隨機(jī)變量xr與yr用xp與yp表示，xp與yp基本符合正態(tài)分布；zr用zp表示，根據(jù)式（7）與式（1），zp也是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

基于計(jì)算屈服壓力預(yù)測(cè)值或者名義值，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，將式（13）、式（14）與式（19）數(shù)據(jù)代入式（10），得到zp分布參數(shù)的取值區(qū)間為：

采用建立式（24）的方法，得實(shí)測(cè)屈服壓力下限位于區(qū)間：

并將式（26）數(shù)據(jù)代入式（27）中，得到：

由概率論知識(shí)可知，從偏于保守角度，實(shí)測(cè)屈服壓力下限滿(mǎn)足式（26）的可靠度也為99.865%。

3 應(yīng)用驗(yàn)證

為建立單層圓筒形銅制承壓設(shè)備靜強(qiáng)度的可靠性設(shè)計(jì)方法，必須應(yīng)用有關(guān)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)靜強(qiáng)度的概率分布進(jìn)行驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)[17-19]提供了32 組外直徑名義值為7.00 ～ 12.70 mm的TP2銅管爆破壓力實(shí)測(cè)值，可在可靠度為99.865%時(shí)，應(yīng)用其對(duì)式（23）進(jìn)行驗(yàn)證?，F(xiàn)將有關(guān)物理量的名義值、爆破壓力實(shí)測(cè)值及其預(yù)測(cè)區(qū)間一并列入表1。

表1 TP2銅管實(shí)測(cè)爆破壓力及下限預(yù)測(cè)

由表1 可知，32 組銅管爆破壓力實(shí)測(cè)值均大于其下限位于區(qū)間內(nèi)，表明式（23）可靠。

式（26）的可靠性已在參考文獻(xiàn)[20]中得到驗(yàn)證。

4 結(jié)論

應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，將單層圓筒形銅制承壓設(shè)備實(shí)測(cè)靜強(qiáng)度與中徑公式得到的名義值之比視為隨機(jī)變量，研究了單層圓筒形銅制承壓設(shè)備實(shí)測(cè)爆破壓力與屈服壓力的概率分布，探索了承壓設(shè)備實(shí)測(cè)爆破壓力下限的取值，得到以下結(jié)論。

（1）單層圓筒形銅制承壓設(shè)備的實(shí)測(cè)靜強(qiáng)度與中徑公式得到的名義值與之比，在顯著度為0.05 時(shí)是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

（2）對(duì)于實(shí)測(cè)爆破壓力與中徑公式得到的名義值與之比的隨機(jī)變量，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.077 90且不大于0.097 90，變異系數(shù)不小于0.078 13且不大于0.101 3。

（3）對(duì)于實(shí)測(cè)屈服壓力與中徑公式得到的名義值與之比的隨機(jī)變量，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，其均值不小于0.966 6 且不大于0.997 0，標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.114 6 且不大于0.130 5，變異系數(shù)不小于0.114 9 且不大于0.135 1。

（4）經(jīng)32 組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)證明，單層圓筒形銅制承壓設(shè)備實(shí)測(cè)爆破壓力與中徑公式名義值與之比不小于0.672 9 的可靠度為99.865%。