徐光明，盧春宇，鐘林環(huán)，鄧連波

(中南大學(xué)，交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

0 引言

目前，我國(guó)城市軌道交通的總運(yùn)營(yíng)里程和總客運(yùn)量均居世界首位，但城軌系統(tǒng)有限的基礎(chǔ)設(shè)施和運(yùn)輸能力與乘客出行需求的矛盾依然突出，部分線路的客流時(shí)空分布出現(xiàn)不均衡現(xiàn)象。線路部分站點(diǎn)乘客的候車(chē)時(shí)間長(zhǎng)，車(chē)內(nèi)擁擠程度高，同時(shí)，非高峰期運(yùn)輸能力利用水平低，企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益和系統(tǒng)服務(wù)水平亟待提高。

為緩解線路客流高峰壓力，提高運(yùn)輸服務(wù)水平和運(yùn)營(yíng)效益，當(dāng)前研究主要針對(duì)城市軌道交通列車(chē)開(kāi)行方案、城市軌道交通票價(jià)策略以及客流控制策略的優(yōu)化展開(kāi)。孫元廣等[1]提出基于雙層規(guī)劃模型的城市軌道交通快慢車(chē)開(kāi)行方案優(yōu)化方法，上層模型以乘客出行時(shí)間和列車(chē)周轉(zhuǎn)時(shí)間最小化為目標(biāo)，下層模型設(shè)計(jì)考慮乘客換乘行為的客流分配方法。鄧連波等[2]基于彈性需求建立雙層規(guī)劃模型，綜合優(yōu)化列車(chē)編組長(zhǎng)度、列車(chē)開(kāi)行對(duì)數(shù)以及列車(chē)開(kāi)行時(shí)段。孫夢(mèng)霞等[3]在軌道交通網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)條件下，優(yōu)化線網(wǎng)中各線路發(fā)車(chē)間隔和各線路間發(fā)車(chē)時(shí)刻相位差，最小化企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本和乘客廣義出行成本。

在動(dòng)態(tài)票價(jià)策略方面，LAN等[4]通過(guò)研究在臺(tái)北實(shí)施的動(dòng)態(tài)票價(jià)方案發(fā)現(xiàn)，地鐵乘客對(duì)票價(jià)水平較為敏感，特別是對(duì)于高峰期收取附加費(fèi)用。馬銘遙等[5]針對(duì)北京地鐵八通線的研究表明，實(shí)施城軌動(dòng)態(tài)票價(jià)策略可以使高峰客流需求轉(zhuǎn)移至低谷期，使峰谷差縮小35%。TANG等[6]在保證運(yùn)營(yíng)企業(yè)車(chē)票收入的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)票價(jià)激勵(lì)策略，緩解城軌站點(diǎn)排隊(duì)擁堵和車(chē)內(nèi)擁擠。值得說(shuō)明的是，保證企業(yè)的票價(jià)收入對(duì)于票價(jià)策略的實(shí)施至關(guān)重要，例如，PERONE等[7]研究美國(guó)新澤西州實(shí)施的乘客非高峰期免費(fèi)出行方案發(fā)現(xiàn)，實(shí)施該方案最終導(dǎo)致企業(yè)票價(jià)收入降低近25%，限于運(yùn)營(yíng)企業(yè)有限的資金，該方案因此被終止。

在客流控制策略方面，現(xiàn)有研究多結(jié)合列車(chē)開(kāi)行方案和列車(chē)時(shí)刻表進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化。孟凡婷等[8]從城軌系統(tǒng)優(yōu)化角度出發(fā)，提出考慮跳停策略的城軌列車(chē)運(yùn)行圖與車(chē)站限流協(xié)同優(yōu)化方法，最小化列車(chē)服務(wù)時(shí)間和乘車(chē)延誤人數(shù)。盧亞菡等[9]研究考慮換入客流影響下的城軌列車(chē)時(shí)刻表與客流控制優(yōu)化方法，最小化乘車(chē)延誤人數(shù)。SHI 等[10]建立整數(shù)線性規(guī)劃模型協(xié)同優(yōu)化列車(chē)時(shí)刻表和客流控制策略，提高系統(tǒng)服務(wù)水平，降低運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)?？党缛实萚11]針對(duì)客流過(guò)飽和條件下的地鐵網(wǎng)絡(luò)，提出客流控制策略與列車(chē)運(yùn)行圖協(xié)同優(yōu)化方法，最小化乘客平均等待時(shí)間。

綜合既有研究成果來(lái)看，協(xié)同優(yōu)化城軌多時(shí)段客流控制方案、列車(chē)開(kāi)行方案及票價(jià)方案的理論研究相對(duì)較少，并且，現(xiàn)有關(guān)于城軌客流控制方案的研究主要針對(duì)固定需求下乘客服務(wù)水平的優(yōu)化，鮮有考慮控流方案對(duì)乘客出行選擇行為和企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益的影響。因此，本文提出城軌多時(shí)段控流方案與列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)一體化優(yōu)化方法，其中，基于車(chē)站的控流方案制定各時(shí)段車(chē)站的允許上車(chē)人數(shù)。結(jié)合彈性需求描述一體化優(yōu)化方案下乘客的出行費(fèi)用和出行選擇行為，最大化包括企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益(企業(yè)票價(jià)收入與運(yùn)營(yíng)成本之差)和消費(fèi)者剩余在內(nèi)的社會(huì)福利。通過(guò)一體化優(yōu)化方案實(shí)現(xiàn)多時(shí)段客流有效均衡及運(yùn)力合理分配，提高運(yùn)輸服務(wù)水平并兼顧企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益。設(shè)計(jì)嵌套Logit隨機(jī)用戶(hù)客流分配方法的遺傳算法求解模型，基于南昌地鐵一號(hào)線某工作日客流數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證模型與算法的適用性和有效性。

1 問(wèn)題分析

1.1 符號(hào)定義

本文以貫通直線型城市軌道交通線路為研究對(duì)象，考慮線路單方向的高峰客流需求。記城市軌道交通線路為L(zhǎng)={N,E}，N和E分別表示線路車(chē)站集和區(qū)間集，其中，N={1,2,…,n} 為按研究方向排序的車(chē)站集，n為車(chē)站總數(shù)。定義W為乘客出行需求的OD 對(duì)集合，(i,j)表示起點(diǎn)為i終點(diǎn)為j的OD對(duì)，(i,j)∈W且1 ≤i＜j≤n。

基于城市軌道交通客流需求在時(shí)間維度上的分布特點(diǎn)，將研究的城軌運(yùn)營(yíng)時(shí)間范圍劃分為若干個(gè)等長(zhǎng)的運(yùn)營(yíng)時(shí)段。定義T={1,2,…,m} 為運(yùn)營(yíng)時(shí)段集合，m為時(shí)段總數(shù)，記每個(gè)運(yùn)營(yíng)時(shí)段的時(shí)長(zhǎng)為Δt。為使優(yōu)化方案與各時(shí)段出行需求特點(diǎn)相匹配，本文基于多時(shí)段研究城市軌道交通系統(tǒng)客流控制方案、列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)的一體化優(yōu)化。

城市軌道交通一體化優(yōu)化方案直接影響乘客在各時(shí)段的出行費(fèi)用，進(jìn)而影響不同時(shí)段內(nèi)的客流出行需求。對(duì)于OD對(duì)(i,j)，將潛在出行需求記為Q(i,j)，彈性客流需求(實(shí)際客流需求)記為q(i,j)，時(shí)段t內(nèi)的彈性客流需求記為。對(duì)于站點(diǎn)i，時(shí)段t內(nèi)從該站出行的客流需求為

為便于模型構(gòu)建，對(duì)本文的優(yōu)化問(wèn)題做出如下基本假設(shè)：

(1)城軌線路各OD 對(duì)之間的潛在客流需求已知且固定，不考慮乘客在本線與其他線路間的換乘行為。

(2)線路開(kāi)行具有相同車(chē)型和編組數(shù)的列車(chē)，且所有列車(chē)均采取全線站站停的停站方式，以滿(mǎn)足所有OD對(duì)的出行需求。

1.2 乘客廣義出行費(fèi)用

城市軌道交通乘客的出行時(shí)段選擇直接受時(shí)段內(nèi)廣義出行費(fèi)用的影響。給定列車(chē)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間和停站時(shí)間，乘客的廣義出行費(fèi)用包括4 部分：時(shí)段固定費(fèi)用、車(chē)票費(fèi)用、候車(chē)時(shí)間費(fèi)用以及車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用。

由于乘客選擇在城軌系統(tǒng)各運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)出行的偏好程度不同，從而各時(shí)段內(nèi)的客流出行需求存在差異，即產(chǎn)生時(shí)段固定費(fèi)用。表達(dá)OD 對(duì)(i,j)在時(shí)段t內(nèi)出行的固定費(fèi)用，該費(fèi)用體現(xiàn)客流需求的內(nèi)在特征，受出行人群類(lèi)別、出行者職業(yè)及出行者不同出行目的分布的影響，與出行客流量大小無(wú)直接聯(lián)系。

一體化優(yōu)化方案決策不同時(shí)段內(nèi)的票價(jià)率，從而調(diào)控多時(shí)段客流需求。乘客的車(chē)票費(fèi)用由OD基礎(chǔ)票價(jià)與時(shí)段票價(jià)率決定，OD對(duì)(i,j)的乘客在時(shí)段t內(nèi)出行的車(chē)票費(fèi)用為

式中：?t為時(shí)段t內(nèi)的票價(jià)率；F(i,j)為OD 對(duì)(i,j)的基礎(chǔ)票價(jià)。

乘客的候車(chē)時(shí)間費(fèi)用由在車(chē)站的候車(chē)時(shí)間量化表達(dá)?；谲?chē)站的城軌控流方案將根據(jù)時(shí)段內(nèi)車(chē)站的客流需求和系統(tǒng)運(yùn)能，制定各車(chē)站在每個(gè)時(shí)段允許的上車(chē)人數(shù)，優(yōu)化運(yùn)輸能力配置，提高服務(wù)水平和運(yùn)營(yíng)效益。

時(shí)段t內(nèi)列車(chē)在i站的剩余能力為

有別于WU 等[12]對(duì)乘客個(gè)體等待時(shí)間的精確計(jì)算，本文描述多時(shí)段控流方案下乘客選擇在時(shí)段內(nèi)出行的平均候車(chē)時(shí)間。乘客的平均候車(chē)時(shí)間與時(shí)段內(nèi)的出行需求成正相關(guān)，與時(shí)段內(nèi)乘客占用的列車(chē)運(yùn)能成負(fù)相關(guān)。由于乘客占用的列車(chē)運(yùn)能可能為0，故時(shí)段內(nèi)的平均候車(chē)時(shí)間為

式中：α為站點(diǎn)乘客平均候車(chē)時(shí)間參數(shù)，一般取為0.5；M為足夠大的正數(shù)，表示當(dāng)乘客占用列車(chē)運(yùn)能為0時(shí)，候車(chē)時(shí)間極大。

除了候車(chē)時(shí)間和票價(jià)費(fèi)用，車(chē)內(nèi)擁擠度也是影響乘客出行選擇行為的重要因素。文獻(xiàn)[13]發(fā)現(xiàn)，乘客在車(chē)廂內(nèi)的感知擁擠度與乘客在車(chē)時(shí)間呈正相關(guān)的特點(diǎn)，因此，本文參考道路交通BPR 函數(shù)構(gòu)建城市軌道交通車(chē)內(nèi)擁擠度計(jì)算函數(shù)。在時(shí)段t內(nèi)區(qū)間k的擁擠度為

綜上所述，OD 對(duì)(i,j)的乘客在時(shí)段t內(nèi)的廣義出行費(fèi)用為

式中：μ1、μ2為費(fèi)用轉(zhuǎn)換系數(shù)。

2 雙層規(guī)劃模型構(gòu)建

基于對(duì)城市軌道交通運(yùn)營(yíng)企業(yè)和乘客雙方利益的考慮，企業(yè)需根據(jù)乘客在各時(shí)段的出行需求特點(diǎn)制定相匹配的多時(shí)段一體化優(yōu)化方案，最大限度的提高社會(huì)福利；乘客將根據(jù)制定的多時(shí)段一體化優(yōu)化方案調(diào)整出行時(shí)段選擇，使出行費(fèi)用盡可能降低。因此，本文構(gòu)建雙層規(guī)劃模型描述城軌系統(tǒng)中供需雙方的相互作用，實(shí)現(xiàn)對(duì)城市軌道交通多時(shí)段客流控制方案、列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)水平的一體化優(yōu)化。其中，上層模型以最大化社會(huì)福利為優(yōu)化目標(biāo)，以多時(shí)段列車(chē)開(kāi)行頻率、票價(jià)率及控流比為決策變量；下層模型描述一體化優(yōu)化方案下乘客的出行選擇行為，構(gòu)建基于彈性需求的多時(shí)段隨機(jī)客流分配模型，得到乘客選擇在各時(shí)段的出行流量。

2.1 下層模型基于彈性需求的多時(shí)段隨機(jī)客流分配模型

上層模型給定一體化優(yōu)化方案，影響乘客在各時(shí)段的出行費(fèi)用，進(jìn)而影響乘客的出行選擇行為。同一OD對(duì)的乘客根據(jù)各時(shí)段內(nèi)出行費(fèi)用的差異，可以選擇在不同運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)出行。根據(jù)式(1)～式(7)計(jì)算乘客的出行費(fèi)用，基于乘客在時(shí)段內(nèi)的出行費(fèi)用構(gòu)建效用函數(shù)，采用Logit 模型刻畫(huà)乘客的出行時(shí)段選擇行為，OD對(duì)(i,j)的乘客選擇在時(shí)段t內(nèi)出行的概率為

式中：θ為將出行費(fèi)用轉(zhuǎn)換為效用的參數(shù)。

時(shí)段內(nèi)的出行費(fèi)用越低，則乘客選擇在該時(shí)段內(nèi)出行的概率越高。記為OD 對(duì)(i,j)的最小期望出行費(fèi)用，即

基于彈性需求函數(shù)表達(dá)彈性客流需求與乘客廣義出行費(fèi)用之間的關(guān)系。OD 對(duì)(i,j)的彈性客流需求為

式中：η(i,j)為OD 對(duì)(i,j)的彈性系數(shù)，與其他存在競(jìng)爭(zhēng)的交通方式(道路公共交通或網(wǎng)約車(chē)等)以及乘客的社會(huì)經(jīng)濟(jì)屬性有關(guān)；彈性客流需求q(i,j)隨著最小期望出行費(fèi)用的增加而減少。

結(jié)合乘客出行時(shí)段選擇的Logit 模型，OD 對(duì)(i,j)的乘客選擇在時(shí)段t內(nèi)出行的流量為

基于彈性需求的多時(shí)段隨機(jī)客流分配模型可以構(gòu)建為非線性互補(bǔ)問(wèn)題(NCP)模型，即

2.2 上層模型一體化優(yōu)化方案決策模型

基于城軌的定位和特征，運(yùn)營(yíng)企業(yè)在制定多時(shí)段一體化優(yōu)化方案時(shí)應(yīng)綜合考慮企業(yè)效益和乘客服務(wù)水平，其中，以企業(yè)票價(jià)收入與維持列車(chē)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需的運(yùn)營(yíng)成本之差表示企業(yè)效益，以消費(fèi)者剩余表示一體化優(yōu)化方案所能提供的乘客服務(wù)水平。上層模型通過(guò)制定一體化優(yōu)化方案(包括列車(chē)開(kāi)行頻率ft、票價(jià)率?t及站點(diǎn)控流比)最大化社會(huì)福利Z，包括企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益Z1以及消費(fèi)者剩余Z2。上層模型基于下層模型得到的出行流量計(jì)算相關(guān)指標(biāo)，具體計(jì)算如下。

(1)企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益Z1

企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益等于票價(jià)收入與運(yùn)營(yíng)成本之差。票價(jià)收入由運(yùn)營(yíng)時(shí)間內(nèi)所有乘客的票價(jià)費(fèi)用組成；運(yùn)營(yíng)成本可表示為列車(chē)單位時(shí)間運(yùn)營(yíng)成本dt與運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)τ的乘積，即

(2)消費(fèi)者剩余Z2

消費(fèi)者剩余是衡量消費(fèi)者福利水平或系統(tǒng)服務(wù)水平的重要指標(biāo)之一，在本文所構(gòu)建的彈性需求函數(shù)形式下，表示為實(shí)際出行客流量q(i,j)與彈性系數(shù)η(i,j)之比[14]，即

因此，上層模型構(gòu)建為

綜上所述，城軌多時(shí)段控流方案與列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)一體化優(yōu)化模型由式(1)～式(23)組成。其中，式(18)～式(23)組成上層模型，以最大化社會(huì)福利為目標(biāo)，決策多時(shí)段控流方案、開(kāi)行頻率與票價(jià)率；式(1)～式(17)組成下層模型，描述一體化優(yōu)化方案下乘客的出行選擇行為，得到乘客的各時(shí)段出行流量。

3 算法設(shè)計(jì)

雙層規(guī)劃問(wèn)題是典型的NP 難問(wèn)題，一般根據(jù)問(wèn)題和模型特點(diǎn)設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法求解。作為經(jīng)典啟發(fā)式算法之一的遺傳算法通過(guò)模擬生物自然進(jìn)化過(guò)程中染色體的交叉變異和選擇過(guò)程搜索最優(yōu)解，具有較強(qiáng)的適用性?，F(xiàn)有關(guān)于列車(chē)開(kāi)行方案和票價(jià)方案問(wèn)題的研究常采用該算法求解。因此，針對(duì)本文模型特征，設(shè)計(jì)嵌套Logit 隨機(jī)用戶(hù)客流分配方法的遺傳算法求解雙層規(guī)劃模型。首先，對(duì)上層模型中的列車(chē)開(kāi)行頻率、票價(jià)率及控流比變量進(jìn)行編碼；然后，通過(guò)解碼規(guī)則將種群所有個(gè)體解碼輸入下層模型，使用Logit 隨機(jī)用戶(hù)客流分配方法得到給定一體化優(yōu)化方案下的各時(shí)段乘客出行流量，并作為輸入反饋給上層模型；通過(guò)上下層模型的反復(fù)迭代得到一體化優(yōu)化方案。

3.1 Logit隨機(jī)用戶(hù)客流分配算法

輸入：收斂精度ζ、最大迭代次數(shù)Ψ1；城市軌道交通線路{N,E}、運(yùn)營(yíng)時(shí)段集合T、OD對(duì)(i,j)的潛在客流需求Q(i,j)；乘客平均候車(chē)時(shí)間參數(shù)α、車(chē)內(nèi)擁擠度參數(shù)β1和β2、列車(chē)額定載客人數(shù)C、額定載客系數(shù)ω、費(fèi)用轉(zhuǎn)換系數(shù)μ1和μ2、效用轉(zhuǎn)換系數(shù)θ、彈性系數(shù)η(i,j)及目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)ε。

輸出：OD 對(duì)(i,j)的彈性需求q(i,j)，OD 對(duì)(i,j)在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)的出行需求。

Step 1 初始化

置迭代次數(shù)ψ1=0，初始化OD 對(duì)(i,j)的彈性需求q(i,j)=0，OD 對(duì)(i,j)在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)的出行需求=0。

Step 2 Logit隨機(jī)用戶(hù)均衡分配

根據(jù)式(1)～式(7)計(jì)算OD 對(duì)(i,j)在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)的出行費(fèi)用

根據(jù)式(8)計(jì)算OD 對(duì)(i,j)的乘客選擇在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)出行的比例

根據(jù)式(9)計(jì)算OD 對(duì)(i,j)的最小期望出行費(fèi)用

根據(jù)式(10)計(jì)算OD 對(duì)(i,j)的彈性需求

根據(jù)式(11)計(jì)算OD對(duì)(i,j)的乘客選擇在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)出行的需求

Step 3 基于相繼平均算法更新流量

OD對(duì)(i,j)的彈性需求更新為

OD對(duì)(i,j)的乘客選擇在運(yùn)營(yíng)時(shí)段t內(nèi)的出行需求更新為

Step 4 收斂性檢查

以式(26)判斷各時(shí)段出行流量是否收斂，或算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)Ψ1。是，則停止運(yùn)算；否則，令ψ1=ψ1+1，返回Step 2。

3.2 遺傳算法

(1)編碼及解碼規(guī)則

編碼規(guī)則：根據(jù)一體化優(yōu)化方案中多時(shí)段列車(chē)開(kāi)行頻率ft、票價(jià)率?t及站點(diǎn)控流比變量的離散特征，對(duì)染色體采用0-1 二進(jìn)制編碼方式進(jìn)行編碼。

解碼規(guī)則：利用區(qū)間占比解碼各決策變量二進(jìn)制字符串，得到對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)值，轉(zhuǎn)化式為

式中：ιj，κj，χj分別為開(kāi)行頻率基因、票價(jià)率基因及控流比基因?qū)?yīng)二進(jìn)制字符串。

(2)遺傳算法流程

Step 1 初始化

置初始迭代次數(shù)ψ2=0，最大迭代次數(shù)Ψ2，種群規(guī)模Θ，染色體交叉和變異概率分別為Pc和Pm。根據(jù)式(21)～式(23)和編碼規(guī)則隨機(jī)生成Θ個(gè)染色體作為初始種群Φ0。

Step 2 計(jì)算染色體適應(yīng)度

根據(jù)解碼規(guī)則式(27)～式(29)得到解碼后的一體化優(yōu)化方案。計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值，由于模型目標(biāo)函數(shù)求最大化，本文直接將目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度計(jì)算函數(shù)。

Step 3 交叉操作

生成隨機(jī)數(shù)δ∈(0,1)，若δ≤Pc，則進(jìn)行交叉操作：從種群Φ(ψ2)中隨機(jī)選擇2 個(gè)染色體，隨機(jī)交換2 個(gè)染色體的同位基因，得到2 個(gè)新的子代染色體，放入集合Φˉ(ψ2)。

Step 4 變異操作

生成隨機(jī)數(shù)τ∈(0,1)，若τ≤Pm，則進(jìn)行變異操作：隨機(jī)選取種群Φ(ψ2)中個(gè)體的某些基因進(jìn)行二進(jìn)制0-1替換。若變異后的染色體不滿(mǎn)足決策變量約束式(21)～式(23)，則對(duì)其進(jìn)行調(diào)整，直至滿(mǎn)足條件，調(diào)整后的染色體放入集合(ψ2)；若變異后的染色體滿(mǎn)足相關(guān)約束，則直接放入集合(ψ2)。

Step 5 選擇操作

執(zhí)行輪盤(pán)賭選擇操作，根據(jù)適應(yīng)度大小從集合Φ(ψ2)∪(ψ2)中選出Θ個(gè)個(gè)體構(gòu)成下一代種群Φ(ψ2+1) 。置ψ2=ψ2+1。

Step 6 終止條件判斷

若ψ2＞Ψ2，停止計(jì)算，輸出最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)至Step 2。

4 算例分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

為分析一體化優(yōu)化方案與求解算法的有效性，以南昌市地鐵一號(hào)線某工作日出行客流為基礎(chǔ)進(jìn)行算例分析。線路全長(zhǎng)28.84 km，24 個(gè)車(chē)站，以雙港站至瑤湖西站為研究的列車(chē)開(kāi)行方向，對(duì)應(yīng)站間區(qū)間以編號(hào)1～23 依次排序，線路站間距如表1 所示?；诳土鞯臅r(shí)間分布特征，以1 h 為時(shí)間間隔將線路運(yùn)營(yíng)時(shí)間范圍7:00-10:00劃分為3個(gè)運(yùn)營(yíng)時(shí)段，其中，時(shí)段2 為高峰時(shí)段。本文將換乘站的換入和換出客流視為乘客在本研究線路站點(diǎn)上的出行客流。參考陳治亞等[15]的參數(shù)設(shè)置，模型部分參數(shù)取值如表2所示。

表1 線路站間距Table 1 Station spacing

表2 參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

使用Visual Studio 2022 進(jìn)行編程求解。各運(yùn)營(yíng)時(shí)段票價(jià)率和列車(chē)開(kāi)行頻率優(yōu)化結(jié)果如表3 所示，對(duì)比優(yōu)化前后不同運(yùn)營(yíng)時(shí)段客流分布情況，結(jié)果如圖1所示。

圖1 各時(shí)段優(yōu)化前后客流量對(duì)比Fig.1 Comparison of passenger flow before and after optimization in each period

表3 各時(shí)段票價(jià)率與列車(chē)開(kāi)行頻率優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of fare rate and service frequency

由表3可知，優(yōu)化后高峰時(shí)段2票價(jià)率為1.27，非高峰時(shí)段1 和時(shí)段3 票價(jià)率分別為0.67 和0.65。結(jié)合圖1 可以看出，優(yōu)化后，各運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)客流量增降情況與時(shí)段內(nèi)票價(jià)率增降趨勢(shì)相反。時(shí)段2票價(jià)率提升，使該時(shí)段部分潛在出行需求向其他低票價(jià)水平時(shí)段轉(zhuǎn)移，該時(shí)段內(nèi)客流量降低；時(shí)段1和時(shí)段3 則降低票價(jià)率吸引更多潛在客流需求出行，有效提高該時(shí)段內(nèi)出行流量。由此可以看出，通過(guò)對(duì)線路票價(jià)水平進(jìn)行調(diào)整，可以降低高峰時(shí)段客流需求，均衡其他時(shí)段客流量，緩解客流在時(shí)間層面分布不均衡的現(xiàn)象。同時(shí)，優(yōu)化后，時(shí)段1和時(shí)段3 的列車(chē)開(kāi)行頻率由11 輛· h-1分別降低到9輛·h-1和10 輛·h-1，高峰時(shí)段2 的列車(chē)開(kāi)行頻率則保持15輛·h-1不變，以滿(mǎn)足巨大的高峰客流需求。

對(duì)比優(yōu)化前后各OD客流需求變化情況如圖2和圖3所示。

圖2 原始情況各OD客流需求分布Fig.2 Original OD demand distribution

圖3 實(shí)施一體化優(yōu)化方案后各OD客流需求分布Fig.3 Distribution of OD demand after integrated optimization scheme

由圖2 和圖3 可知，各時(shí)段OD 客流量變化情況與時(shí)段內(nèi)票價(jià)率變化趨勢(shì)相反。優(yōu)化后，時(shí)段2票價(jià)率提升，使該時(shí)段OD客流量降低；時(shí)段1和時(shí)段3 票價(jià)率降低，吸引更多客流需求。由此表明，優(yōu)化城軌票價(jià)，可以降低各OD 高峰時(shí)段客流量；同時(shí)，吸引更多OD需求選擇城市軌道交通非高峰期出行，滿(mǎn)足更多客流需求。

線路站點(diǎn)各運(yùn)營(yíng)時(shí)段控流比優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。

圖4 各時(shí)段控流方案優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results of passenger flow control scheme

由圖4 可知，時(shí)段1～時(shí)段3 的站點(diǎn)平均控流比分別為0.85、0.75 和0.88。由于選擇在時(shí)段1 和時(shí)段3 出行的客流需求較少，優(yōu)化后，時(shí)段1 和時(shí)段3的列車(chē)開(kāi)行頻率(運(yùn)輸能力)基本能滿(mǎn)足客流需求，控流比較高，控流強(qiáng)度處于較低水平。相反，由于時(shí)段2為客流出行高峰時(shí)段，乘客對(duì)該時(shí)段內(nèi)運(yùn)輸資源的競(jìng)爭(zhēng)加劇，為避免上游車(chē)站乘客占用過(guò)多列車(chē)能力，導(dǎo)致后續(xù)車(chē)站部分乘客無(wú)法登車(chē)引發(fā)滯留現(xiàn)象，控流方案對(duì)高峰時(shí)段2內(nèi)線路上游車(chē)站實(shí)施較高的控流強(qiáng)度，為中下游車(chē)站預(yù)留一定列車(chē)能力，優(yōu)化列車(chē)運(yùn)力使用。因此，對(duì)城軌線路實(shí)施控流方案能夠更加合理地利用列車(chē)運(yùn)輸能力，優(yōu)化系統(tǒng)運(yùn)輸能力在各站點(diǎn)的配置。

為進(jìn)一步體現(xiàn)一體化優(yōu)化方案下客流需求與列車(chē)運(yùn)輸能力間的關(guān)系，對(duì)比原始情況下和實(shí)施一體化優(yōu)化方案后各時(shí)段區(qū)間斷面需求與列車(chē)運(yùn)輸能力之比，如圖5和圖6所示。

圖5 原始情況下區(qū)間斷面需求與列車(chē)運(yùn)輸能力之比Fig.5 Ratio of original section demand and train capacity

圖6 實(shí)施一體化優(yōu)化方案后區(qū)間斷面需求與列車(chē)運(yùn)輸能力之比Fig.6 Ratio of section demand and train capacity after integrated optimization scheme

由圖5可知，原始情況下，時(shí)段2的列車(chē)運(yùn)輸能力難以匹配巨大的高峰客流需求，區(qū)間5～區(qū)間20的斷面客流需求均遠(yuǎn)大于時(shí)段內(nèi)的列車(chē)運(yùn)輸能力；同時(shí)，時(shí)段1 和時(shí)段3 內(nèi)的列車(chē)運(yùn)輸能力均大于各區(qū)間斷面需求，列車(chē)運(yùn)力利用水平較低，造成運(yùn)輸資源浪費(fèi)。

由圖6 可知，實(shí)施一體化優(yōu)化方案后，高峰時(shí)段2的客流運(yùn)輸壓力得到緩解，區(qū)間斷面需求與列車(chē)運(yùn)輸能力之比的最大值由2.06 降低至1.81；同時(shí)，時(shí)段1和時(shí)段3的列車(chē)運(yùn)力利用水平得到提升，列車(chē)運(yùn)輸能力基本匹配時(shí)段內(nèi)的客流需求。

對(duì)求得的一體化優(yōu)化方案與原始方案進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4 所示。企業(yè)票價(jià)收入增加11.81%，企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本降低8.11%，消費(fèi)者剩余提升5.94%，目標(biāo)函數(shù)值增加39.14%。對(duì)比優(yōu)化前后結(jié)果可以看出：對(duì)城軌多時(shí)段票價(jià)率與列車(chē)開(kāi)行頻率及控流方案進(jìn)行一體化優(yōu)化，能夠提高系統(tǒng)服務(wù)水平，吸引更多乘客選擇城市軌道交通出行方式，有效提高企業(yè)票價(jià)收入和消費(fèi)者剩余；同時(shí)，能夠提升系統(tǒng)運(yùn)輸能力利用效率，降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本。表明本文所提一體化優(yōu)化方法能充分考慮企業(yè)和乘客的利益。

表4 優(yōu)化方案與原始方案對(duì)比Table 4 Comparison between optimization scheme and original scheme

4.3 實(shí)施控流方案前后優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

城軌控流方案直接決定列車(chē)分配給各站點(diǎn)的運(yùn)輸能力，影響乘客的候車(chē)時(shí)間和車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用，進(jìn)而影響系統(tǒng)服務(wù)水平。為更好地體現(xiàn)城軌控流方案對(duì)乘客的影響，在優(yōu)化得到的一體化優(yōu)化方案中，通過(guò)保持優(yōu)化后的票價(jià)率和列車(chē)開(kāi)行頻率不變，同時(shí)，將控流比設(shè)置為1，得到無(wú)控流方案下的乘客出行費(fèi)用。對(duì)比實(shí)施控流方案前后乘客的平均候車(chē)時(shí)間和平均車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用，如表5所示。

表5 實(shí)施控流方案前后平均費(fèi)用對(duì)比Table 5 Comparison of average cost before and after passenger flow control

由表5 可知，通過(guò)實(shí)施控流方案，可以使乘客的平均候車(chē)時(shí)間由3.69 min降低至3.54 min，同時(shí)，可以使乘客的平均車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用由5.07 元降低至4.86 元。因此，通過(guò)實(shí)施控流方案，優(yōu)化列車(chē)運(yùn)輸能力在線路各站點(diǎn)的配置，可以在一定程度上降低乘客的候車(chē)時(shí)間和車(chē)內(nèi)擁擠程度，提高系統(tǒng)運(yùn)輸服務(wù)水平。

為進(jìn)一步說(shuō)明控流方案對(duì)非高峰時(shí)段乘客車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用的影響，結(jié)合圖4～圖6 進(jìn)行說(shuō)明。如圖5所示，原始情況下，非高峰時(shí)段1和時(shí)段3的運(yùn)輸能力利用率較低，對(duì)比圖6 可以看出，實(shí)施一體化優(yōu)化方案后，非高峰時(shí)段1 和時(shí)段3 的列車(chē)開(kāi)行頻率由11輛·h-1分別降低至9輛·h-1和10輛·h-1，使企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本降低；同時(shí)，運(yùn)輸能力利用水平得到提升，區(qū)間斷面需求與列車(chē)運(yùn)輸能力之比的最大值為1.03，列車(chē)運(yùn)輸能力與客流需求基本匹配。但當(dāng)客流需求接近運(yùn)輸能力時(shí)，車(chē)內(nèi)擁擠程度急劇上升，乘客的擁擠感知成本顯著增大。為緩解車(chē)內(nèi)擁擠，如圖4所示，在非高峰時(shí)段1和時(shí)段3對(duì)線路上游部分站點(diǎn)實(shí)施控流措施，為中下游站點(diǎn)乘客預(yù)留更多運(yùn)輸能力，可以降低乘客的車(chē)內(nèi)擁擠程度。對(duì)比實(shí)施控流方案前后各時(shí)段平均車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用變化情況，如表6所示。

表6 實(shí)施控流方案前后各時(shí)段平均擁擠費(fèi)用對(duì)比Table 6 Comparison of average congestion cost before and after passenger flow control

由表6可知，實(shí)施控流方案能夠在一定程度上降低各時(shí)段乘客的平均擁擠費(fèi)用。同時(shí)，以O(shè)D對(duì)(1,24)為例，該OD 在控流方案前后擁擠費(fèi)用的變化情況如表7 所示，實(shí)施控流方案同樣可以使該OD 各時(shí)段的擁擠費(fèi)用降低。因此，在優(yōu)化后的非高峰時(shí)段1 和時(shí)段3 的開(kāi)行頻率下，通過(guò)實(shí)施控流方案可以進(jìn)一步優(yōu)化運(yùn)輸能力在線路各站點(diǎn)的配置，同時(shí)達(dá)到降低企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本并緩解車(chē)內(nèi)擁擠程度的作用。

表7 實(shí)施控流方案前后OD對(duì)(1,24)擁擠費(fèi)用對(duì)比Table 7 Comparison of congestion cost for OD pair(1,24)before and after passenger flow control

對(duì)比實(shí)施控流方案前后社會(huì)福利各項(xiàng)指標(biāo)變化情況，如表8所示。

表8 實(shí)施控流方案前后優(yōu)化效果對(duì)比Table 8 Comparison of optimization effect before and after passenger flow control

由表8 可知，相較于實(shí)施控流方案前，實(shí)施控流方案后，企業(yè)票價(jià)收入由8.24%提升至11.81%，消費(fèi)者剩余由5.74%提高至5.94%，目標(biāo)函數(shù)值由32.36%增加到39.14%。由此說(shuō)明，在對(duì)城軌列車(chē)開(kāi)行頻率與票價(jià)率進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步實(shí)施控流方案，可以降低乘客的平均候車(chē)時(shí)間和平均車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用，提高運(yùn)輸服務(wù)水平，吸引更多客流需求選擇城市軌道交通出行方式，同時(shí)，可以提高企業(yè)票價(jià)收入。因此，實(shí)施控流方案可以使企業(yè)和乘客的利益得到更好地兼顧，進(jìn)一步提高社會(huì)福利水平。

5 結(jié)論

(1)提出一種城市軌道交通多時(shí)段控流方案與列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)一體化優(yōu)化方法。分析一體化優(yōu)化方案下乘客的出行費(fèi)用和出行選擇行為，基于不同運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)出行需求的差異性，設(shè)計(jì)多時(shí)段一體化優(yōu)化方案，滿(mǎn)足不同時(shí)段的客流需求。

(2)構(gòu)建雙層規(guī)劃模型描述企業(yè)與乘客的相互作用，上層模型以最大化社會(huì)福利為優(yōu)化目標(biāo)，決策一體化優(yōu)化方案，包括：控流方案、列車(chē)開(kāi)行頻率與票價(jià)率；下層模型為基于彈性需求的多時(shí)段隨機(jī)客流分配模型，得到各時(shí)段的出行流量。設(shè)計(jì)嵌套Logit 隨機(jī)用戶(hù)客流分配方法的遺傳算法求解模型。

(3)基于南昌地鐵一號(hào)線進(jìn)行算例分析。結(jié)果表明：城軌多時(shí)段控流方案與列車(chē)開(kāi)行頻率及票價(jià)一體化優(yōu)化方法能夠有效引導(dǎo)和吸引客流需求，降低高峰時(shí)段客流量，均衡不同時(shí)段內(nèi)的出行需求。企業(yè)票價(jià)收入提高11.81%，消費(fèi)者剩余提升5.94%；列車(chē)運(yùn)輸能力與各時(shí)段客流需求更加匹配，企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本降低8.11%；實(shí)施城市軌道交通客流控制方案，可以?xún)?yōu)化系統(tǒng)運(yùn)輸資源在線路各站點(diǎn)的配置，降低乘客的平均候車(chē)時(shí)間和平均車(chē)內(nèi)擁擠費(fèi)用，進(jìn)一步提高運(yùn)輸服務(wù)水平和企業(yè)效益。