許得杰，潘星，鞏亮，胡晨皓，王雪鑫

(1.蘭州交通大學(xué)，交通運輸學(xué)院，蘭州 730070；2.中鐵第一勘察設(shè)計院集團有限公司，西安 710064)

0 引言

隨著我國城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)化運營的不斷深入，長大線路和復(fù)雜線型的多交路共線運營、多網(wǎng)融合的貫通運營和互聯(lián)互通跨線運營已成為我國軌道交通發(fā)展的重要方向。因此，研究多交路共線運營客流分配理論，對城市軌道交通復(fù)雜交路設(shè)計、開行方案優(yōu)化調(diào)整和票務(wù)清分等具有重要意義。

目前，針對常規(guī)公交系統(tǒng)共線運行的客流分配方法經(jīng)歷了從解決共線問題到網(wǎng)絡(luò)均衡配流兩個階段。乘客對共線運行線路的路徑選擇行為稱為共線問題，最早由CHRIQUI 等[1]提出，并將共線問題抽象為以乘客期望旅行時間最短為目標的優(yōu)化問題。隨后，NGUYEN等[2]將共線問題轉(zhuǎn)化為公交網(wǎng)絡(luò)的最短超路徑問題，提出基于圖論的公交網(wǎng)絡(luò)變分不等式客流分配模型。COMINETTI 等[3]考慮擁擠效應(yīng)對乘客路徑選擇行為的影響，構(gòu)建擁擠條件下的共線問題及其客流分配模型。在共線運行網(wǎng)絡(luò)配流方面，SPIESS等[4]定義了乘客路徑選擇問題的優(yōu)化策略概念，并假定乘客選擇乘坐優(yōu)化出行策略中的第1趟到站列車，構(gòu)建非擁擠條件下公交網(wǎng)絡(luò)的客流分配線性規(guī)劃模型。CEPEDA等[5]考慮擁擠效應(yīng)和能力約束，構(gòu)建擁擠條件下基于發(fā)車頻率的客流分配模型。CODINA等[6]考慮擁擠條件下具有嚴格能力約束的網(wǎng)絡(luò)配流問題，構(gòu)建基于變分不等式和不動點理論的均衡客流分配模型，研究不同擁擠程度下交通分配模型的有效性和可靠性。上述研究將公交服務(wù)頻率和運行時間定義為關(guān)于流量的函數(shù)，而軌道交通服務(wù)頻率和運行時間一般不隨流量變化，故上述方法不能直接用于軌道交通。

近年來，隨著軌道交通互聯(lián)互通和多網(wǎng)融合的發(fā)展，針對網(wǎng)絡(luò)化運營條件下的客流分配越來越受到關(guān)注。SCHMOCKER 等[7]將乘客路徑選擇中是否有座位的因素引入乘客路徑選擇模型中，設(shè)計共線運行網(wǎng)絡(luò)上的馬爾可夫式客流加載機制，構(gòu)建基于發(fā)車頻率的軌道交通客流分配模型。倪少權(quán)等[8]構(gòu)建無隱性連接的3層多制式軌道交通拓撲網(wǎng)絡(luò)，并考慮乘客路徑選擇影響因素對廣義出行費用的影響，建立基于Logit 模型的多制式軌道交通客流分配模型。許得杰等[9]針對多交路共線運營線路，提出基于發(fā)車頻率和乘客出行區(qū)段劃分的客流分配方法。為增強客流分配方法適用性，進一步提出基于超路徑出行策略的軌道交通多交路客流分配方法。REN 等[10]通過定義乘客出行選擇行為中的線路策略和節(jié)點策略，構(gòu)建變分不等式用戶均衡客流分配模型。繭敏等[11]根據(jù)AFC 數(shù)據(jù)和列車時刻表數(shù)據(jù)，提出基于乘客出行時空路徑推算的網(wǎng)絡(luò)客流分配方法。當(dāng)城市軌道交通多交路運行時，乘客會面臨不同交路列車的選擇問題。對具有高服務(wù)頻率(發(fā)車間隔小于10 min)的城市軌道交通系統(tǒng)，乘客路徑選擇是建立在共線問題的出行策略(備選路徑集合)上的，即乘客在出行前不能確定選擇哪條路徑，而是在出行前確定一個出行策略，并在出行過程中根據(jù)列車的到站情況選擇策略中的一條路徑，而上述研究忽略了軌道交通共線運行時乘客路徑選擇行為的特殊性，在配流模型中也并未考慮這一問題?；陂_行方案和列車時刻表的客流分配方面，李文卿等[12]基于高鐵旅客出行選擇行為，通過設(shè)計基于開行方案搜索的兩階段尋路算法，提出基于列車開行方案的客流分配方法。史峰等[13]構(gòu)建基于列車時刻表的高鐵出行時空網(wǎng)絡(luò)，將離散客流高鐵均衡分配問題等價于具有列車席位能力約束的多個OD離散需求的最小費用流問題，并建立基于列車時刻表的客流分配模型。上述研究均認為高速鐵路不允許超員或少量超員，不需考慮車廂內(nèi)的擁擠度，即路徑廣義費用不受乘客擁擠感知的影響，但城市軌道交通列車高峰期擁擠現(xiàn)象明顯，路徑廣義費用與乘客擁擠感知緊密相關(guān)，因此，上述方法與城市軌道交通客流分配方法存在差異。

綜上，本文運用網(wǎng)絡(luò)客流分配理論，研究軌道交通共線運行乘客路徑選擇行為，并提出共線運營客流分配模型和求解算法，旨在解決基于復(fù)雜多交路共線運營開行方案的客流分配問題。

1 多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建及共線問題

1.1 多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

典型多交路共線運營線路及列車開行方案如圖1所示。該線路包括6個車站，分別為S1～S6；列車停站方案采用站站停模式，交路計劃包含3條交路，各交路列車發(fā)車頻率fi=10 對·h-1，i=1,2,3，fi表示交路i的發(fā)車頻率，交路1 列車編組n1=6 輛；交路2 和交路3 列車編組n2=n3=3 輛。在多交路運營時，不可避免地會出現(xiàn)列車共線運營的情形，例如，區(qū)段S1～S3由交路1 和交路2 列車共線運行。由于共線區(qū)段的乘客會選擇乘坐不同交路的列車，相當(dāng)于乘客的路徑選擇行為。為刻畫乘客路徑選擇行為，關(guān)鍵是將多交路共線運營列車開行方案轉(zhuǎn)化為共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)。

圖1 典型多交路共線運營線路及列車開行方案Fig.1 Typical railway of common-line operation with multi-routing and train plan

假定多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)表示為G=(N,E)，N和E分別表示節(jié)點集合和弧段集合。其中，N包括車站節(jié)點集合Ns和交路節(jié)點集合Nr，即N=Ns∪Nr；E包括候車弧、下車弧和乘車弧，弧的權(quán)重分別表示候車、下車和乘車阻抗。以圖1中的車站S2為例，應(yīng)用共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點表示方法(僅上行方向)，如圖2所示，可以將車站轉(zhuǎn)化為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點。按照該方法，可將共線運營多交路的所有車站轉(zhuǎn)化為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，即可得到多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)。為方便后續(xù)算法中的遞歸調(diào)用，節(jié)點標號采用頭節(jié)點小于尾節(jié)點的方式。該服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中，任意車站節(jié)點可視為不同交路列車間的換乘節(jié)點。

1.2 軌道交通共線問題及其數(shù)學(xué)描述

城市軌道交通多交路共線運營時，乘客在共線區(qū)段的路徑(交路)選擇是客流分配的重點，即相鄰兩節(jié)點間路徑選擇的共線問題。考慮僅有1個OD對(o,d)和m條線路的簡單網(wǎng)絡(luò)，如圖3(a)所示。令E為線路ei的集合，即E={ei|i=1,2,…,m}，ei為從o至d的第i條線路。假定乘客以期望總出行時間最少為目標選擇路徑，則乘客期望總出行時間為

圖3 共線問題及出行策略Fig.3 Common-line problem and trip strategy

圖4 超路徑及弧段客流分配概率Fig.4 Hyperpath and passengers'assignment probabilities of arcs

2 基于發(fā)車頻率的超路徑客流分配方法

對于多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，乘客的路徑選擇行為不僅包含相鄰兩節(jié)點間的共線路徑選擇問題，還包括非相鄰兩節(jié)點間的路徑選擇問題，即文獻[2]中的超路徑問題。在路徑選擇過程中，出行策略(即有效路徑)的確定是關(guān)鍵。在多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中，出行策略的確定可以轉(zhuǎn)化為求解服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的最短超路徑問題。最短超路徑是乘客期望出行時間最短的路徑集合(即出行策略)，相關(guān)理論見文獻[9]，此處不再贅述。以下給出在獲得最短超路徑之后，將客流分配在超路徑弧段上的方法。

3 多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)客流分配模型構(gòu)建

在多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上，考慮站間OD 需求和流量守恒約束，構(gòu)建共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)客流分配模型。

3.1 服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點流量守恒約束

服務(wù)網(wǎng)絡(luò)G中有多個OD對需求，且需求僅在車站節(jié)點之間存在。令目的節(jié)點集合D?Ns，對任意車站節(jié)點i,d∈D且i≠d，有需求≥0 。令V=[0,∞)E×D表示弧段流量向量v的空間，弧段e上流向目的節(jié)點d的流量≥0。對任意弧e∈，有=0，則滿足以下節(jié)點流量守恒約束條件，即

圖5 流量守恒約束條件Fig.5 Constraints of flow conservation

圖6 局部網(wǎng)絡(luò)共線問題Fig.6 Common-line problem of local network

3.2 網(wǎng)絡(luò)平衡模型構(gòu)建

Wardrop平衡條件為

式(11)表示節(jié)點i的流入量與流出量相等；式(12)表示共線線路上的流量為各出行策略分配到該線路的流量之和；式(13)中表示從i到d的最小期望旅行時間，該時間可以在求解最短超路徑時同時得到。出行策略s的旅行時間為

式中：左側(cè)第1項為i至d各線路總在車旅行時間；第2項為總候車時間；右側(cè)為總期望旅行時間。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)達到平衡狀態(tài)時，等式成立。因此，可將求解平衡解轉(zhuǎn)化為求解差值函數(shù)的最小值，即

4 求解算法

軌道交通共線客流分配模型包括：共線問題、最短超路徑問題及客流分配模型，具體算法如下。

4.1 共線問題求解算法

針對軌道交通共線問題，其決策變量為xl，該問題本質(zhì)上為(0,1)雙曲規(guī)劃問題(Hyperbolic Programming Problem)的特殊形式(a0=α,b0=0)。該問題可以采用枚舉法、遺傳算法和貪婪算法求解。由于貪婪算法思路簡單，易于實現(xiàn)，因此，被廣泛應(yīng)用，該算法的核心思想是：將m條共線線路按乘車時間長短依次排序(t1＜t2＜…＜tm)，并令初始解X*==(1,0,…,0)，其中，xei=1，表示第i條線路ei被乘客選擇，=0，表示該線路未被選擇。令期望出行時間Ts(X*)=(X*)+t1；然后，依次加入共線線路2，即令X=(1,1,…,0)，若Ts(X)＞Ts(X*)，則停止；否則，令X*=X，重復(fù)計算，直至停止，Ts(X*)即為最優(yōu)解，X*即為乘客出行策略。

4.2 客流分配模型求解算法

客流分配模型的核心是加載流量最短超路徑的獲取，故在模型求解中將最短超路徑算法嵌入連續(xù)平均算法(Method of Successive Average,MSA)中，形成混合MSA算法。對多OD對軌道交通服務(wù)網(wǎng)絡(luò)G，客流在網(wǎng)絡(luò)上的加載需要求解任意OD對之間的最短超路徑。由于最短超路徑算法需要任意OD 對之間的子服務(wù)網(wǎng)絡(luò)G′，首先，需要從網(wǎng)絡(luò)G中提取子網(wǎng)絡(luò)G′，然后，再將子網(wǎng)絡(luò)輸入SFT(Shortest Forward Tree)算法中得到最短超路徑。在求解過程中，需要判斷超路徑中基本路徑的有效性。本文設(shè)定有效性判斷規(guī)則為：①乘客一次出行換乘次數(shù)至多為2 次；②一次出行中不能重復(fù)乘坐同一交路列車，即乘客如果由本交路列車換乘到其他交路列車，則不能再換入本交路列車；③路徑無圈。SFT 算法在文獻[9]中給出，此處不再贅述。MSA算法具體步驟如下：

Step 1 初始化

Step 2 迭代計算差值函數(shù)G(vk)的值

Step 2.2 應(yīng)用SFT 算法計算OD 對最短超路徑，并根據(jù)超路徑弧段客流計算方法計算附加流量。

Step 2.4 令k=k+1，根據(jù)式(17)計算G(vk)。

Step 3 收斂性判斷

若G(vk)＞ε，則返回Step 2；如果G(vk)≤ε，則輸出平衡狀態(tài)流量vk，結(jié)束。

5 算例研究

5.1 算例驗證及分析

由圖7可知，車站9—車站1的乘客選擇了兩條路徑。其中，路徑1 為直達路徑：9→8→2→1，流量為100.7；路徑2 為換乘路徑：9→7→6→5→4→3→1，流量僅為19.3。由于換乘存在二次候車，因此，換乘路徑的阻抗一般要大于直達路徑的阻抗。對于共線運營區(qū)段的跨交路乘客，會優(yōu)先選擇直達路徑，當(dāng)直達路徑的阻抗大于換乘路徑的阻抗時，換乘路徑也會被選擇，這種針對跨交路出行乘客對直達路徑的選擇偏好在求解最短超路徑中可以體現(xiàn)。兩條路徑的流量分別為100.7 和19.3，在車旅行時間分別為49.6 min和55.6 min(車站5的換乘時間為6 min)，候車時間為6 min，期望出行時間=55.6 min，根據(jù)式(17)可得，G(v)=0，滿足平衡解算法精度，驗證了本文模型和算法的有效性。

圖7 服務(wù)網(wǎng)絡(luò)算例及配流結(jié)果Fig.7 Service network and its assignment results

為對比分析多編組與多交路和固定編組與多交路兩種開行方案下的客流適應(yīng)性和分布情況，以圖1 所示多交路運營線路為基礎(chǔ)，設(shè)計兩種開行方案。為便于對比分析，兩種方案的列車交路形式和發(fā)車頻率均保持相同，僅編組方案有所差異。方案1為多編組方案，3 條交路的列車編組為(6,3,3)；作為對比方案，考慮車輛總數(shù)保持不變，設(shè)計方案2 為固定編組方案，列車編組為(4,4,4)，具體如表1 所示。多交路共線服務(wù)網(wǎng)絡(luò)如圖8 所示，有6個車站，3條交路，包含20個節(jié)點，33條弧段。車輛座位數(shù)和定員分別為c1=31 個·輛-1，c2=310 人·輛-1；擁擠感知參數(shù)和相對誤差ε取值同上。各弧段時間為：乘車弧時間如圖8 所示，共線運營乘車弧時間相等，例如，==8 min ；候車弧時間=0.5 min，ei∈,j∈Ns；下車弧時間=0,ei∈,j∈Ns。車站客流需求為OD(i,d)=4500人次，i≠d且?i,d∈Ns。算例求解采用Matlab 2014(b)編程，CPU 為i5-4440，內(nèi)存為4 G 的電腦執(zhí)行，求解耗時為25.2 s，客流分配結(jié)果分析如表1所示。

表1 客流分配結(jié)果分析Table 1 Analysis of passenger assignment result

對比多編組和單一編組兩種運營模式，可以發(fā)現(xiàn)，編組為(6,3,3)時，列車平均斷面滿載率最大值為斷面2的129.46%，而編組為(4,4,4)時，同一斷面的滿載率高達145.24%，與實際不符；在斷面1、斷面4 和斷面5，多編組下的列車平均滿載率均低于單一編組下的值，在斷面3，兩種編組模式下的滿載率基本相等，可見多編組模式的客流適應(yīng)性較單一編組模式強。因此，在相同的服務(wù)頻率下，合理安排列車編組可以更好地適應(yīng)客流需求，使運力與需求更加匹配，服務(wù)水平更高。

5.2 不同客流分配方法對比分析

為研究不同客流分配方法的優(yōu)劣，選取文獻[9]中基于超路徑的客流增量分配方法(方法1)和本文配流方法(方法2)，以圖7所示多交路共線運營服務(wù)網(wǎng)絡(luò)為例進行對比分析，其中，列車開行方案(表1)和基礎(chǔ)參數(shù)均與圖7 算例相同，方法1 和方法2 的模型參數(shù)與文獻[9]相同。兩種客流分配方法的配流結(jié)果如表2所示。

表2 兩種客流分配方法的配流結(jié)果Table 2 Results of two passenger assignment methods

由表2可知，多編組開行方案下，方法1 和方法2 所得配流結(jié)果的滿載率相對偏差最大值分別為4.00%和4.54%，兩者相差0.54%。造成滿載率相對偏差增加的原因在于本文采用的MSA求解方法中的客流加載過程為反饋迭代計算過程，以滿足服務(wù)網(wǎng)絡(luò)達到平衡狀態(tài)。服務(wù)網(wǎng)絡(luò)達到平衡狀態(tài)時要求網(wǎng)絡(luò)的總體平衡程度更高，即滿載率相對偏差之和更小，而不要求斷面的滿載率相對偏差是否變化。單一編組開行方案下，滿載率相對偏差最大值分別為1.63%和3.26%，兩者相差1.63%，可見兩種方法滿載率相對偏差差異較小，表明兩種方法均可以實現(xiàn)運量與運力的較好匹配。但從全部斷面的滿載率相對偏差之和來看，多編組和單一編組開行方案下，方法1 分別為6.07%和3.94%，方法2 分別為5.84%和3.70%，方法2的相對滿載率偏差之和減少0.23%和0.24%。相對滿載率偏差值之和越小，說明由分配結(jié)果所得的滿載率與理論計算滿載率越接近，運量與運力的匹配越好，表明網(wǎng)絡(luò)的平衡程度越高，可見，方法2優(yōu)于方法1。

造成相對滿載率偏差之和減少的原因在于兩種客流分配方法的客流加載機制不同。一是，既有基于超路徑的客流增量分配方法所達到的平衡狀態(tài)與客流分割次數(shù)和分割比例相關(guān)；二是，既有方法的客流加載過程可以認為是一種相對“直接”的方法，即客流加載在完成給定的分割次數(shù)后，則停止計算，不論網(wǎng)絡(luò)是否達到所要求的平衡狀態(tài)。本文采用的MSA 方法中存在反饋迭代計算過程，若網(wǎng)絡(luò)未能達到平衡解誤差值(收斂判斷條件)，則會迭代計算，直至滿足收斂條件。因此，本文方法所得結(jié)果在客流分布上更加均衡。

6 結(jié)論

本文以典型共線運營多交路列車開行方案為基礎(chǔ)，構(gòu)建了基于列車開行方案的客流分配用戶均衡模型，并提出了軌道交通多交路共線問題求解算法和客流分配模型的MSA算法，研究結(jié)果表明：

(1)本文提出的基于列車開行方案的客流分配方法可以適應(yīng)多編組和單一編組模式下的多交路共線運營客流分配。算例研究表明，共線區(qū)段列車平均滿載率與理論計算所得斷面滿載率最大差值為3.17%，滿載率相對偏差最大值為4.54%，可以實現(xiàn)客流需求與列車運力的合理匹配。

(2)相同服務(wù)頻率下，多編組與多交路組合運營的列車開行方案較單一編組多交路列車開行方案具有更強的客流適應(yīng)性。多編組運營模式下的最大斷面滿載率較單一編組的最大斷面滿載率低15.64%，且各區(qū)間滿載率更加均衡。因此，在保持發(fā)車頻率不變的條件下，合理安排列車編組可以使運力與需求更加匹配，且服務(wù)水平更高。

(3)與既有客流分配方法相比，本文方法所得的滿載率相對偏差最大值雖稍有增加，但多編組和單一編組開行方案下的相對滿載率偏差之和分別減少0.23%和0.24%，總體上優(yōu)于既有方法，可為列車開行方案編制及優(yōu)化調(diào)整提供依據(jù)。