張正坤，朱昌鋒，景云，邢進

(1.蘭州交通大學，a.交通運輸學院，b.高原鐵路運輸智慧管控鐵路行業(yè)重點實驗室，蘭州 730070；2.北京交通大學，交通運輸學院，北京 100044；3.南京地鐵運營有限責任公司，南京 210000)

0 引言

城市軌道交通(城軌)憑借正點、快捷及舒適等優(yōu)勢成為城市公共交通中的重要組成部分。城市軌道交通是各部門相互協(xié)同的復雜系統(tǒng)，為了給乘客出行提供優(yōu)質服務，城軌列車按預先制定的運行計劃運營，包括開行方案、時刻表及周轉方案等。因此，制定符合客流需求和設備能力的運行計劃對乘客和企業(yè)雙方具有重要意義。

針對城軌列車運行計劃，部分研究是在既定停站方案、運行交路及編組數量等信息的情況下，根據沿線各站的客流需求，利用數學規(guī)劃等方法優(yōu)化列車時刻表，并在此基礎上進一步確定列車的接續(xù)方案[1]。這種逐步遞進的研究策略分解了問題的復雜性，但也忽略了時刻表與接續(xù)方案的相互協(xié)同，使上下行列車在車底數量受限時有可能出現(xiàn)接續(xù)失敗的情況[2]。為此，史峰等[3]通過耦合時變客流與發(fā)車時間，構建列車時刻表和接續(xù)方案的數學優(yōu)化模型，并設計了雙向關聯(lián)序列化算法和匈牙利算法；WANG 等[4]通過分析列車折返與進出場環(huán)節(jié)的內在關聯(lián)，提出時刻表與周轉方案集成優(yōu)化的多目標非線性混合整數規(guī)劃模型；YUE等[5]從耦合時刻表與接續(xù)方案的角度，建立兩者的雙層規(guī)模模型，該模型采用模擬退火算法求解。整體優(yōu)化策略能夠有效確保系統(tǒng)的全局最優(yōu)性，但上述研究僅以一端設有車場的城軌線路為背景，其研究成果不能適用于兩端各設車場的城軌線路。

相對而言，線路兩端各設車場能夠有效減少列車進出車場的空駛距離，從而為開行匹配客流需求的不成對列車提供保障。針對線路兩端各設車場的運行計劃，張京輝等[6]從列車數量受限角度構建數學優(yōu)化模型，模型求解采用NSGA II(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II)算法；李縱然等[7]考慮高峰時段各方向客流需求差異較大等因素，研究非主客流方向上開行快慢車的運行計劃，提高主客流方向的發(fā)車頻率；ZHAO等[8]從多編組技術角度研究該問題。列車接續(xù)是確保運行計劃順利實施的關鍵，面對兩端各設車場的城軌線路，列車接續(xù)環(huán)節(jié)比較復雜，模型刻畫存在困難。針對該問題，上述研究采用終到列車立即折返或入場待令的接續(xù)策略，降低模型建立和求解的難度，但卻忽略了返線存車能力限制以及由此導致的列車接續(xù)決策，使優(yōu)化得到的結果與實際過程不符，有待進一步完善。

候車時間是影響乘客出行時間成本的主要因素，是編制城軌列車運行計劃需要關注的重點[9]。為兼顧車內舒適性及列車利用率，部分學者還考慮了列車滿載率的均衡性[10]，但滿載率僅是載客人數與列車載客能力的比值，雖能體現(xiàn)列車內載客狀態(tài)，卻不能反映該狀態(tài)在運行區(qū)間的持續(xù)效應，且量綱與候車時間存在較大差異，不便于方案決策和分析。為彌補上述不足，本文引入運營效益概念，即運營企業(yè)根據客票收入、資源投入、運營安全及舒適度評價等因素對列車載客狀態(tài)及時間持續(xù)做出的益損比較。顯然，過少的載客量將造成資源浪費和影響運營收入，而過多的載客量又將容易產生安全隱患和降低服務質量。因此，在列車運行過程中，列車載客過多或過少均導致企業(yè)效益受損，且損失程度與載客狀態(tài)的持續(xù)時間存在正相關性，而鮮有研究考慮此類問題。

綜上，本文將導致運營效益受損的列車載客人數與其區(qū)間運行時間的乘積定義為效益損失。在此基礎上，引入關于列車始發(fā)和終到時間的狀態(tài)變量，刻畫折返站能力受限下的列車接續(xù)及進出場環(huán)節(jié)，強化研究的實用性。特別地，為兼顧運營效益，考慮到斷面客流的不同需求導致運行區(qū)間效益損失的個體差異及其不可避免性，引入調控因子調控決策效益損失的受重視程度，進而以候車時間和效益損失的上確界為優(yōu)化目標，建立兩端配有車場的城軌列車運行計劃優(yōu)化模型，并結合模型特性設計GA(Genetic Algorithm)-Gurobi的混合求解策略。

1 問題描述

在m個車站的城軌線路上，記Sf={1,2,3,…,m} 為f∈F={0,1} 方向依次編號的車站集合，Qf={1,2,3,…,m-1} 為區(qū)間集合，f=0為上行，f=1 為下行。對于s、s′∈Sf，若s=1，s′=m，則s和s′分別表示f方向上配有車場和折返線的首發(fā)站和終點站。設Mf為f方向首發(fā)站車場可提供的列車數，Nf為終點站折返線的最大存車能力，為折返時間，δl′,l,f為表示列車接續(xù)的0-1決策變量。運營過程中，若終點站存車需求大于Nf，則多余列車需存放至該端車場待避，Δtf為進出場時間。

設T1為運營開始時間，T2為結束時間，Df={1,2,3,…,|Df|}為f方向上的備選列車集，nf表示出發(fā)列車數(亦可理解為末班車編號)，為決策變量，則出發(fā)列車集Lf(nf)={l|l∈Df,l≤nf}是經條件l≤nf過濾而生成的關于Df的內P-集合[11]，根據區(qū)間集合Qf和列車集合Lf(nf)，將列車l與其運行區(qū)間q稱為一個(l,q)，記Bf為f方向所有(l,q)組成的集合，表示列車l∈Lf(nf)在首發(fā)站的發(fā)車時間，為決策變量。

城軌客流具有明顯的時變性，但在較短間隔內近似服從均勻分布。據此，將運營時段[T1,T2] 劃分為K個客流時段，對于?s∈Sf，假定時段k內的乘客以客流占比均勻進站，進站人數為τs,f(k)。乘客進站后在站臺上等待列車，期間產生候車時間。上車人數μl,s,f取決于候車乘客和列車剩余載客能力Δcl,s,f，對于未上車的乘客則需要等待下趟列車。根據上車人數便可確定列車的載客人數，計算效益損失。據此，城軌列車運行計劃優(yōu)化問題描述為：運營時段[T1,T2]內，在滿足行車時間、設備能力及列車接續(xù)等約束條件下，依據候車時間和效益損失，優(yōu)化決策變量nf、和δl′,l,f，以期得到兼顧乘客和城軌企業(yè)雙方利益的城軌列車運行計劃。

2 候車時間及效益損失

2.1 候車時間

在考慮乘客滯留的情況下，候車時間可通過最大潛在候車時間與節(jié)省候車時間的差值確定。對于t∈[T1,T2] 時進站的乘客而言，其最大潛在候車時間指該乘客自進站至運營時段結束的時間段，即T2-t。節(jié)省候車時間指乘客自乘車出站至運營時段結束的時間段，即。為進一步描述，給出s站累計進站客流和累計出發(fā)客流曲線如圖1所示。

圖1 s ∈Sf 站累計進站客流和累計出發(fā)客流曲線Fig.1 Cumulative inbound and cumulative outbound passenger flow at station s ∈Sf

顯然，s∈Sf站所有乘客的最大潛在候車時間等于圖1中累計進站客流曲線與時間軸([T1,T2] 段)所圍成的面積(若干梯形面積之和)。據此，運營時段[T1,T2]內，線路上所有乘客的最大潛在候車時間為

式中：τs,f(k)為客流時段k內進入s∈Sf站的乘客人數；為T1時刻已在s站候車的乘客人數；t1(k)和t2(k)分別為時段k的起止時間。

同理，s∈Sf站所有乘客的節(jié)省候車時間等于圖1 中累計出發(fā)客流曲線與時間軸所圍成的面積(若干矩形面積之和)。據此，線路上所有乘客的節(jié)省候車時間為

顯然，s∈Sf站所有乘客的實際候車時間等于圖1中的陰影面積，即最大潛在候車時間與節(jié)省候車時間的差值。因此，線路上所有乘客的實際候車時間Z1為

2.2 效益損失

根據定義，列車載客過多或過少均導致企業(yè)效益損失，且損失程度與導致?lián)p失的乘客人數及其持續(xù)時間有關。為此，引入1 組參考點c1和c2，且c1＞c2。其中，c1表示列車載客過多時因考慮安全隱患及服務質量等因素而使運營效益為0 的載客人數，c2表示列車載客過少時因考慮客票收入及資源投入等因素而使運營效益為0 的載客人數。據此，因列車載客過多而導致效益受損的乘客人數為

式中：cl,q,f為(l,q)∈Bf上的乘客人數。

顯然，對于任意指定的(l,q)及乘客人數cl,q,f，其對應的和均為非負值，且不可能同時取正。因此，可通過取兩者的極值確定導致效益損失的乘客人數Δcl,q,f為

考慮到損失狀態(tài)在列車各區(qū)間運行過程中的持續(xù)效應，結合效益損失的定義，給出效益損失的計算式為

式中：tq,f為列車在區(qū)間q上的運行時間。

3 城軌列車運行計劃優(yōu)化模型

3.1 模型構建

3.1.1 目標函數

以候車時間和效益損失為優(yōu)化目標能夠有效確保乘客時效性和企業(yè)運營效益，且兩者量綱的統(tǒng)一也有利于方案決策和分析。值得注意的是，城市軌道交通客流的時空分布差異，必將導致部分關鍵(l,q)上出現(xiàn)乘客超擁擠或極少的極端情況，使列車運營過程中的效益存在較大損失且無法避免[13]。為此，特別引入調控因子Γf以控制決策關鍵(l,q)，通過賦以不同的權重體現(xiàn)關鍵(l,q)和非關鍵(l,q)上效益損失的差異性。據此，構建基于候車時間和效益損失的城軌列車運行計劃優(yōu)化目標為

式中：Uf為由Γf個關鍵(l,q)構成的集合；BfUf為非關鍵(l,q)所構成的集合；?0為候車時間權重；?1和?2分別為關鍵(l,q)和非關鍵(l,q)上的效益損失權重，且?1＞?2。

3.1.2 約束條件

(1)列車開行數量約束根據備選列車集合Df，列車開行數nf的約束為

(2)時刻表相關約束

①時間遞歸約束

列車在各站的到達時間和發(fā)車時間為

②首末班車時間約束

為避免乘客過早等待早班列車和錯過末班列車，首班車和末班車的發(fā)車時間一般根據乘客出行習慣及線路性質等因素預先確定。根據運營時段[T1,T2]，首班車和末班車時間約束為

式中：Tf為f方向列車的單程運行時間，計算公式為

③列車間隔時間約束

為確保行車安全，相鄰列車間應滿足最小的發(fā)車間隔時間Imin。此外，為避免乘客長時間等待列車，相鄰列車的發(fā)車間隔不應大于間隔時間Imax。

(3)列車接續(xù)相關約束

列車接續(xù)約束是確保運行計劃順利實施的關鍵，包括列車數量約束和接續(xù)時間約束兩部分。為刻畫折返線能力受限下的列車接續(xù)及進出場環(huán)節(jié)，根據列車l在首發(fā)站的發(fā)車時間及其在終到站的到達時間，引入與之相對應的狀態(tài)變量和為

①列車數量約束

兩端配有車場的城軌線路上，f方向的始發(fā)列車由其配屬車場所提供的列車或由1-f方向的終到列車擔任，即

式中：Mf為f方向首發(fā)站車場可提供的列車數。

②接續(xù)時間約束

當1-f方向終到列車l′擔任f方向列車l的運輸任務時，列車l′因折返而產生折返時間當折返線能力飽和時，列車l′在終點站清客后，需前往車場臨時待避。據此，接續(xù)時間約束為

式中：M為充分大的正數；Δt1-f為1-f方向終到列車的進出場作業(yè)時間；δl′,l,f為列車接續(xù)決策變量，若列車l與列車l′存在接續(xù)，δl′,l,f=1，否則，δl′,l,f=0；φl′,1-f為輔助變量，表示列車l′到達終點站后是否因折返線能力限制而前往配屬車場，判斷條件為

式中：N1-f為1-f方向終點站折返線的最大存車能力。若式(22)成立，取φl′,1-f=1；否則，φl′,1-f=0。

綜合上述目標函數和約束條件，即構建城軌列車運行計劃優(yōu)化模型M.1，模型中決策變量為：列車開行數nf、列車始發(fā)時間及列車接續(xù)關系δl′,l,f。

3.2 模型性質及等價變換

模型M.1 中，關于效益損失的目標函數Z2,f是基于關鍵(l,q)集合Uf、非關鍵(l,q)集合及其調控因子Γf而構建，但如何合理劃分關鍵(l,q)和非關鍵(l,q)，模型中未明確說明。此外，模型中的優(yōu)化目標函數只是一種便于理解的形式化表述[14]，不利于模型的直觀求解。綜上考慮，對模型M.1進行等價變換。

定理2 線性規(guī)劃模型式(23)～式(25)的對偶問題為

式中：pf∈R和zl,q,f為式(24)和式(25)所對應的對偶變量。

證明 式(23)所示的目標函數

而該模型的對偶問題為式(26)～式(28)所示的線性規(guī)劃模型，證畢。

根據定理1 和定理2，模型M.1 可等價變換為模型M.2，即

s.t.式(10)～式(14)、式(16)～式(17)、式(20)～式(21)及式(27)～式(28)。

易證得，模型M.2等價于模型M.3，即

s.t.式(10)～式(14)、式(16)～式(17)、式(20)～式(21)及式(27)～式(28)。

模型M.3 中的決策變量為：列車開行數nf、始發(fā)時間、接續(xù)關系δl′,l,f及對偶變量pf和zl,q,f。該模型為非線性混合整數規(guī)劃模型，目標函數Z1部分為二次項，目標函數Z2,f則是對模型M.1中Z2,f部分的等價變換。與模型M.1 相比，模型M.3 增加了一組對偶變量和一個約束條件(非負約束除外)，但解決了關鍵(l,q)和非關鍵(l,q)的劃分問題，同時，其目標函數的標準化表述也方便了模型的直觀求解。

4 基于GA-Gurobi的混合求解策略

模型M.3 是在備選列車集合Df的基礎上，根據關于決策變量nf的出發(fā)列車集合Lf(nf)而構建，其非線性混合整數特性，使計算耗時與集合Df中的備選列車數呈指數增長。特別地，從模型變換過程可以看出，對偶變量pf和zl,q,f是依據預先得到的關于的可行解而確定，故而難以用現(xiàn)有的求解器直接求解模型M.3。為此，本文設計基于GA-Gurobi的混合求解策略，其核心思想為：根據特定的染色體編碼，將有效個體解碼為關于的可行解，經客流加載，確定候車時間Z1和效益損失wl,q,f，然后，根據可行解，利用Gurobi求解式(26)～式(28)所示的線性規(guī)劃模型，得到模型M.3 中的對偶變量pf和zl,q,f，進而確定模型M.3的目標函數值，并據此設計適應度函數評價有效染色體的質量。最后，經有限次遺傳操作便可尋求滿足最優(yōu)準則的相對較優(yōu)解。

4.1 個體編碼及適應度函數

本文采用二進制的雙倍染色體編碼方式，即每個個體G=(X,Y)包含1 對染色體X=(x1,x2,x3,…,xσ)和Y=(y1,y2,y3,…,yσ)對應運行方向f。對于染色體A∈{X,Y}，其基因ai∈{xi,yi} 采用0-1 編碼，若基因i對應的時刻有該方向列車始發(fā)，ai=1；否則，ai=0。

定義1 對于染色體A∈{X,Y}，將基因值標記為“1”及其后繼連續(xù)標記為“0”的若干個基因稱為染色體A的一個基因片段，并將其基因個數稱為基因片段的長度。

根據定義1，將染色體上的基因片段依次編號，并與列車編號相對應。據此，二進制雙倍染色體編碼如圖2 所示。圖2 中，A.l表示染色體A∈{X,Y}上編號為l的基因片段。根據雙倍染色體G，便可得到列車開行數nf及列車的始發(fā)時間，進而根據時間遞歸公式和客流分配策略確定上車人數、候車時間和效益損失。在此基礎上，利用Gurobi求解式(26)～式(28)所示的線性規(guī)劃模型，便可得到M.3中的對偶變量pf和zl,q,f。

圖2 二進制雙倍染色體Fig.2 Binary diploid chromosome

因首末班車的發(fā)車時間是固定的，個體編碼時，將其對應基因片段的起始基因位置預設為恒定(如圖2 中的X.1Y.1 和X.6Y.6)。此外，因個體信息不能體現(xiàn)列車最小間隔及其接續(xù)關系，為避免客流分配及Gurobi在非有效個體上的計算，設計個體G的適應度函數F(G)為

式中：M為充分大的數；Θ(l)為檢查列車間隔時間約束及列車接續(xù)約束的函數，若個體對應解中列車l的發(fā)車時間均滿足式(16)～式(17)及式(20)～式(21)，Θ(l)=1，否則，Θ(l)=0。

約束檢查時，列車接續(xù)關系可通過以下原則確定：當1-f方向無終到列車或終到列車已被分配殆盡時，f方向列車由該方向配屬車場中的空余列車擔任；否則，在優(yōu)先使用折返線上未被分配列車的前提下，按“先到先發(fā)”原則確定出發(fā)列車的接續(xù)列車，以減少列車空走距離和車場備用列車數。

4.2 進化操作及策略流程圖

定義2 個體G和G′中的對應染色體A和A′，若i為基因片段A.l1和A′.的起始基因座，j′(j′＞i)為基因片段A.l2和A′.的末端基因座，則以i為始端和j=min{j′} 為末端的基因序列稱之為對應染色體A和A′ 上的一組最小可交基因片段，記為A?A′.[i,j]。

根據適應度函數F(G)，采用精英個體與輪盤賭相結合的選擇策略確保算法的收斂性和全局最優(yōu)。交叉操作時，根據定義2，依概率選取父代染色體上對應的若干組最小可交基因片段A?A′.[i,j]，通過多點交叉策略盡量確保子代的有效性。變異操作時，隨機選取長度大于間隔時間I的基因片段進行0-1隨機替換，并利用Θ(l)函數實時檢測變異結果的有效性。求解策略的最優(yōu)準則為：(1)最大迭代次數E1；(2)精英個體在E2次迭代中未被更新?；贕A-Gurobi的混合求解流程如圖3所示。

圖3 基于GA-Gurobi的混合求解流程Fig.3 Hybrid solution flow based on GA-Gurobi

5 算例驗證

5.1 算例描述及參數設置

以某城市軌道交通線路為例。線路設29座車站，單程運行時間76 min。車站編號、停站時間及區(qū)間運行時間如圖4所示。圖4中，圓圈表示車站，圓圈上方加粗數字表示車站編號，圓內數值表示停站時間(min)，兩圓連接線上的數值表示區(qū)間運行時間(min)。車站1 和車站29 為配有車場的首發(fā)站，其余為中間站。車場提供列車Mf=0=15 列，Mf=1=17 列，進出場時間Δtf=4 min。折返線最大存車數Nf=2列，折返時間=3 min。列車發(fā)車間隔Imin=3 min，Imax=15 min，且c1=600 人·列-1，c2=1500人·列-1，c3=2000人·列-1。運營時段選取線路某日6:00-12:00。該時段內，上行客流比較均衡，下行客流具有較強時變性，高峰時段為7:20-9:30。根據所選時段，以15 min為步長，將其劃分為24個客流時段，進站人數及客流占比受篇幅所限不再詳舉。求解策略中，種群規(guī)模為20，交叉變異概率分別取0.75和0.08，最優(yōu)準則E1=350，E2=100。模型中調控因子，權重系數?2=0.4?1，?0和?1的取值規(guī)則為：根據歷代種群有效個體的候車時間和效益損失，利用文獻[15]的改進熵權法確定其權重值，并標準化為1∶?1，以便于結果對比和量化分析。初始時，?1=1。

圖4 車站編號、停站時間及區(qū)間運行時間Fig.4 Station number,stopping time and interval running time

5.2 求解過程及最優(yōu)結果

以PyCharm為開發(fā)環(huán)境，通過Python編程并調用Gurobi 模塊，算法迭代231 次結束，收斂過程如圖5所示。

圖5 算法收斂過程Fig.5 Algorithm convergence process

圖5中，當算法迭代至131次時，發(fā)現(xiàn)滿足最優(yōu)準則的較優(yōu)解，其目標函數值2219415.1人·min，候車時間946834.7人·min，效益損失1272580.4人·min。另從收斂過程可以看出，候車時間和效益損失并非嚴格相關，例如，算法迭代至30 次時，雖尋得候車時間較小的可行解，但因效益損失較大使目標函數值較差。因此，尋求合理的發(fā)車間隔以同時減少候車時間和效益損失顯得尤為重要。滿足最優(yōu)準則的列車運行計劃如圖6所示。

圖6 滿足最優(yōu)準則的列車運行計劃Fig.6 Train operation plan that meets optimal criterion

如圖6 所示，上行方向開行列車43 列，車場提供14列，小于可供列車數15列；下行方向開行列車44列，車場提供17列，等于可供列車數17列。列車間隔時間方面，上行列車間隔比較均衡，大部分保持在5～7 min，下行非高峰時段的最大間隔約為9 min，高峰時段則為3～5 min，且部分車站出現(xiàn)乘客滯留。列車接續(xù)方面，4 列上行列車和7 列下行列車因折返線能力受限而入場待避(如空心箭頭線所示)，且下行列車10 入場待避后又出場擔任上行列車24的運輸任務(如黑虛線框所示)，可見考慮列車進出車場環(huán)節(jié)具有一定的必要性。此外，優(yōu)化結果中有3列列車(上行1列，下行2列，如灰色矩形所示)按最小折返時間3 min接續(xù)，應重點關注。

5.3 結果對比及參數分析

為分析模型M.3優(yōu)化策略的合理性，給出優(yōu)化結果參數值及其對比如表1所示。

表1 優(yōu)化結果參數值及其對比Table 1 Parameter values of optimization results and their comparison

相較于企業(yè)方案，模型M.3 減少候車時間408400.2 人·min，約30.1%；節(jié)省列車數7 列，約7.4%；減少效益損失277844.9 人·min，約17.9%。可見，模型M.3 能在節(jié)省列車數量的同時，還能減少候車時間和效益損失。為了分析效益損失與滿載率之間的內在關系，給出優(yōu)化結果中效益損失和滿載率的分布情況如圖7所示。

圖7 優(yōu)化結果中效益損失及滿載率分布情況Fig.7 Distribution of benefit loss and load factor in optimization results

圖7 中，陰影部分表示效益損失為0 時的滿載率取值范圍。從圖7 中可以看出，優(yōu)化結果中，下行方向列車的最大滿載率整體大于上行方向，但兩者的最小滿載率差別不大且相對較小。另從最大滿載率和最小滿載率偏離效益損失為0 時的滿載率程度看，較小的滿載率是產生效益損失的主要因素，且上行方向尤為明顯。為分析發(fā)車間隔I對目標函數的影響，在不考慮列車接續(xù)約束和最大發(fā)車間隔約束條件下，給出不同間隔時間對目標值的影響如圖8所示。

圖8 列車間隔時間對目標值的影響Fig.8 Inference on target value caused by train interval time

圖8(a)中，當I∈[3,11] 時，上行方向的目標值隨I的增大而減小，說明效益損失的減少大于候車時間的增加；當I∈[11,15] 時，目標值隨I的增大而增大，說明候車時間的增加大于效益損失的減少。圖8(b)中，當I∈[3,5] 時，目標值隨I的增大而減??；當I∈[5,15] 時，目標值隨I的增大而增大。上述分析說明，算例中的列車若按均衡運行圖開行，上行方向較合理的間隔時間為11 min，下行方向為5 min。為分析調控因子對優(yōu)化結果的影響，以圖6 所示的運行計劃為例，不同γf取值下的效益損失如圖9所示。

圖9 不同γf 取值下的效益損失Fig.9 Benefit loss with different γf

由圖9 可知，效益損失隨γf值的增大而增大，其主要原因是γf值代表關鍵(l,q)∈Bf的占比。當γf∈[0.6,1.0] 時，效益損失趨于平緩，說明在其他參數給定時，圖6 所示的運行計劃中約60%的(l,q)對處于損失狀態(tài)。

6 結論

本文重點刻畫折返線能力受限下的列車折返及進出場環(huán)節(jié)，以最小化候車時間與效益損失上確界的和為優(yōu)化目標，研究兩端設有車場的城軌列車運行計劃優(yōu)化問題。經研究發(fā)現(xiàn)：

(1)考慮候車時間和效益損失能夠兼顧乘客和企業(yè)的雙方利益，但候車時間和效益損失并非嚴格相關，尋求合理的發(fā)車間隔能夠同時減少候車時間和效益損失；

(2) 斷面客流的不同需求使各運行區(qū)間上的效益損失存在差異性，優(yōu)化結果中，約60%的運行區(qū)間處于效益損失狀態(tài)，說明效益損失具有不可避免性；

(3) 基于車底數量及折返線能力受限的實際情況，城市軌道交通方向客流的需求差異導致終到列車入場待避及再出場環(huán)節(jié)，該過程在優(yōu)化結果中有所體現(xiàn)，說明建模時考慮該環(huán)節(jié)具有其現(xiàn)實必要性。