郭 瑤,張 霞,杜秋萍,楊震山,李建平

(1.聊城大學(xué) 物理科學(xué)與信息工程學(xué)院,山東 聊城 252059;2.山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點實驗室,山東 聊城 252059;3.廣東工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院,廣東 廣州 510006 )

1 引言

模分復(fù)用技術(shù)在利用多個正交模式有效提升光纖通信系統(tǒng)傳輸容量的同時,也帶來了一系列亟待解決的問題[1-6],比如低損耗光纖的結(jié)構(gòu)設(shè)計、高純度模式的激勵、多個復(fù)用模式產(chǎn)生的模式耦合和模式色散效應(yīng)以及接收端復(fù)用信號的性能恢復(fù)等。其中,模式耦合和模式色散是制約模分復(fù)用系統(tǒng)實用化的主要因素之一[7-12]。模式耦合無論發(fā)生在傳輸光纖還是模式復(fù)用解復(fù)用器中,都會導(dǎo)致模分復(fù)用信號之間發(fā)生串?dāng)_,使接收端信號的誤碼率增大,而且它還會從實質(zhì)上影響模式色散,進而限制系統(tǒng)的傳輸距離與容量。模式色散會造成光脈沖在傳輸過程中的展寬,導(dǎo)致信號失真,且隨著傳輸距離的增大以及復(fù)用模式數(shù)量的增加,對信號傳輸質(zhì)量的影響也會越大,這將會大大增加對模式色散進行數(shù)字信號處理(Digital Signal Processing,DSP)時的復(fù)雜度[13]。因此,有必要對光纖中的模式耦合、模式色散的統(tǒng)計特性及變化規(guī)律進行研究,從而為下一步提取模式耦合和模式色散補償?shù)年P(guān)鍵信息,并有效降低DSP的復(fù)雜度提供理論依據(jù),為模分復(fù)用技術(shù)的實用化打下理論基礎(chǔ)。

在研究方法方面,傳統(tǒng)上通常采用Stokes理論[14]來分析光纖中場態(tài)的隨機演化,在可支持J個傳播模式的光纖(即J維模式空間)中,采用Stokes理論分析法時,需要借助(J2-1) 個J×J維的蓋爾曼輔助矩陣[15-16]來建立描述光場及其傳輸性質(zhì)的(J2-1) 維Stokes矢量。這種方法在分析目前商用的單模傳輸系統(tǒng)(實際上存在2個相互垂直的偏振模式)中的偏振效應(yīng)問題時非常直觀有效[17],但是如果將其應(yīng)用于存在多個模式的模分復(fù)用系統(tǒng)中時,顯然隨著模式數(shù)目J的增加,Stokes矢量形式將愈加復(fù)雜,并且物理意義也會變得模糊。因此在模式數(shù)目為J的模分復(fù)用系統(tǒng)中,使用Stokes理論分析模式耦合、模式色散等損傷時將變得非常困難。前期我們課題組借鑒量子力學(xué)中的方法,提出了一種可描述任意J維模式空間中場態(tài)及其傳輸性質(zhì)的密度矩陣?yán)碚揫18],該理論中用來描述光場及其傳輸性質(zhì)的相關(guān)算符物理意義明確,構(gòu)建簡單直接且光場中的所有可觀測信息都能夠方便地提取,因此在分析任意維度的模分復(fù)用系統(tǒng)中模式耦合和模式色散等效應(yīng)時具有極大優(yōu)勢。

本文研究了隨機擾動下六模光纖中模式耦合和模式色散的統(tǒng)計規(guī)律及特性。首先將基于密度矩陣?yán)碚摰哪Ｊ今詈吓c模式色散的統(tǒng)計模型應(yīng)用于六模光纖,借助數(shù)值模擬得到了由模式耦合引起的光場能量分布和相干性變化的規(guī)律、模式色散對光脈沖展寬的影響以及一階和二階模式色散的概率密度分布等,最后對同一統(tǒng)計樣本下,典型的光纖通信波段1 548 nm ～ 1 553 nm內(nèi)的模式色散性質(zhì)進行了仿真分析,相關(guān)結(jié)果將能夠直接應(yīng)用于模分復(fù)用系統(tǒng)數(shù)字信號處理模塊中模式耦合和模式色散的均衡補償。

2 模式耦合與模式色散的密度矩陣?yán)碚摷敖y(tǒng)計模型

本節(jié)將重點闡述密度矩陣?yán)碚揫18],為下節(jié)中光纖模式耦合和色散的研究分析提供基本理論方法。頻率為ω、在傳播方向上z點處的單色電磁波的電場幅度為E(x,y,z)eiωt,可借用量子力學(xué)中的右矢|ψ(z,ω)〉表示(忽略時諧因子eiωt)。在J模光纖中,模式空間為J維,|ψ〉由J個正交歸一的模式(基矢量)展開

(1)

2.1 密度矩陣?yán)碚?/h3>

在密度矩陣?yán)碚撝?為了統(tǒng)一地描述相干光(純態(tài))和部分相干光(混合態(tài)),借用量子力學(xué)中的密度矩陣算符表示電磁場狀態(tài)

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而光場在模式|j〉和|j′〉之間的相干性為

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τpj(ω)≡?τpj(ω)/?ω=[?τpj(ω+δω)-?τpj(ω)]/δω,

(13)

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式中

ρpj,ω(ω)≡?(|pj;ω〉〈pj;ω|)/?ω=(|pj;ω+δω〉〈pj;ω+δω|-|pj;ω〉〈pj;ω|)/δω。

(15)

式(13)～(15)定量描述了光纖中的群時延及模式主態(tài)隨頻率的變化,即二階模式色散。

(16)

式中〈〉表示以主態(tài)模式能量分布{Pj,j=1,2,..,J}為權(quán)重的平均。類似的,光場的群時延均方值和方差分別為

(17)

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物理上,均值〈τ〉對應(yīng)于輸出脈沖中心的時間延遲,〈Δτ2〉表示輸出脈沖的時間展寬。

2.2 統(tǒng)計模型

在實際的傳輸鏈路中,光纖不可避免地會受到隨機擾動,使得光場的傳輸成為隨機過程,為了更好的理解信號在傳輸過程中受到的損傷,需要引入統(tǒng)計模型才能進行分析。為便于之后的數(shù)值模擬,我們選定一組基矢量,將密度矩陣?yán)碚撝械乃惴孟鄳?yīng)的矩陣來表示。

在受隨機擾動的光纖中,LMP矩陣Z可以寫為

Z(z,ω)=(ω/c)N(z,ω)=(ω/c){NID(ω)+ΔN(z)},

(19)

式中N為光纖的局域“有效折射率(Effective refractive index, ERI)”矩陣,NID(假定與z無關(guān))和ΔN(與ω?zé)o關(guān))分別為理想光纖的ERI矩陣和隨機變化部分。ΔN服從朗之萬隨機微分方程[19,20]

(20)

式中zi和LC分別為初始位置和關(guān)聯(lián)長度,g(z)為表征白噪聲過程的厄米矩陣,滿足E[g(z)]=0,式中,E[]代表統(tǒng)計樣本的均值(以區(qū)別于上一小節(jié)中以光場能量分布為權(quán)重的均值〈〉)。厄米矩陣g(z)中所有對角元素(gjj)及對角線以上的元素(gjj′,j

(21)

以上數(shù)值計算中,最基本的步驟為從ρ(zm-1,ω)、Ω(zm-1,z0;ω)、Ωω(zm-1,z0;ω)和ΔN(zm-1)求ρ(zm,ω)、Ω(zm,z0;ω)、Ωω(zm,z0;ω)和ΔN(zm)。首先,根據(jù)方程(6),(11),(12),有

ρ(zm,ω)=U(zm,zm-1;ω)ρ(zm-1,ω)U?(zm,zm-1;ω),

(22)

Ω(zm,z0;ω)=Ω(zm,zm-1;ω)+U(zm,zm-1;ω)Ω(zm-1,z0;ω)U?(zm,zm-1;ω),

(23)

Ωω(zm,z0;ω)=Ωω(zm,zm-1;ω)+U(zm,zm-1;ω)Ωω(zm-1,z0;ω)U?(zm,zm-1;ω)
-i[Ω(zm,zm-1;ω),Ω(zm,z0;ω)],

(24)

式中

(25)

Ω(zm,zm-1;ω)=iUω(zm,zm-1;ω)U?(zm,zm-1;ω),

(26)

(27)

(28)

從而完成從zm-1到zm的步驟。

3 六模光纖中模式耦合與模式色散的統(tǒng)計規(guī)律及特性

本節(jié)中,我們利用2.2節(jié)中的統(tǒng)計模型對隨機擾動條件下六模光纖中的模式耦合和模式色散進行數(shù)值模擬。設(shè)真空波長λ=1 550 nm,關(guān)聯(lián)長度LC=50 m,樣本總數(shù)Q=20 000,理想的ERI矩陣和“隨機沖撞”因子γjj′(j≤j′)分別為

NID=10-5diag(1,1,0,0,-1,-1),

(29)

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式中“diag”表示對角矩陣,其括號里的值為對角線上的元素。這里,理想光纖的6種自由模式{|j〉,j=1,2,3,4,5,6}可分為各包含兩個具有相同ERI的理想簡并模的三組{|1〉,|2〉}、{|3〉,|4〉}、{|5〉,|6〉},而不同組之間模式的ERI有相對較大的差別,其中,{|1〉,|2〉}與{|3〉,|4〉}兩組的ERI差為0.5×10-6、{|3〉,|4〉}與{|5〉,|6〉}兩組的ERI差為0.5×10-6、{|1〉,|2〉}與{|5〉,|6〉}兩組的ERI差為0.7×10-6。

基于上述參數(shù)條件,可以得到六模光纖中的密度矩陣樣本集合、模式色散矩陣及其頻率導(dǎo)數(shù)的樣本集合

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3.1 光場能量分布及相干性

圖1 不同初態(tài)下光場的能量分布和相干性隨傳輸距離(z-z0)的變化曲線。自上而下分別對應(yīng)3個初態(tài)左右兩列分別對應(yīng)組內(nèi)尺度lintra和組間尺度linter下的變化曲線。

通過以上分析可知,組內(nèi)、組間的能量耦合會發(fā)生在不同的尺度下,這是因為具有相同ERI的組內(nèi)模式耦合比具有不同ERI的組間模式耦合強得多,在以往的研究中通常會根據(jù)能量耦合強度對模式信號采用分組處理的方式[13,21],這在能量耦合和相干性變化發(fā)生在相同的傳播尺度下是合適的,然而,如上所述,在我們所研究的系統(tǒng)中,隨機微擾會導(dǎo)致所有模式間(包括組內(nèi)和組間)的相干性Cjj′均在較短(小于2LC)的尺度下迅速衰減為0,此時,需要同時考慮光場中的能量耦合強度與相干性變化以作全局處理,根據(jù)所有模式的耦合與色散統(tǒng)計模型來實現(xiàn)信號的恢復(fù)補償。

3.2 模式色散的統(tǒng)計性質(zhì)

光纖的模式色散會使得光脈沖在傳輸過程中發(fā)生展寬和變形,從而影響光信號的傳輸質(zhì)量。本節(jié)將對模式色散的變化規(guī)律進行研究,并分析脈沖展寬、模式主態(tài)、差分群時延及相關(guān)物理量的統(tǒng)計特性。

圖2 不同初態(tài)下脈沖展寬隨傳輸距離的變化曲線。注:1st、2nd、3rd、4th、5th、6th分別對應(yīng)六個初態(tài)(|1〉+|2〉)(〈1|+〈2|)/2、(|1〉+|3〉)(〈1|+〈3|)/2,(|1〉+|5〉)(〈1|+〈5|)/2、(|3〉+|4〉)(〈3|+〈4|)/2、(|3〉+|5〉)(〈3|+〈5|)/2。

圖3給出了6模光纖中最大群時延差Δτmax及其一階頻率導(dǎo)數(shù)Δτmax,ω和主態(tài)變化趨勢TP的概率密度函數(shù)(Probability Density Function,PDF)的數(shù)值模擬結(jié)果(條形圖部分)。由圖可見,Δτmax、Δτmax,ω和TP分別分布在2 100 ps,0ps2和3×106ps2周圍,且分布寬度分別為400 ps、2×105ps2和2×106ps2左右。由于|Δτω|遠小于Tp,因此統(tǒng)計上TP和Δτmax,ω分別是二階模式色散的大、小分量,這與偏振模色散中的對應(yīng)物理量(二階PMD的平行與垂直分量)統(tǒng)計性質(zhì)[17]類似。同時,通過數(shù)值擬合發(fā)現(xiàn),六?？臻g中Δτmax、Δτmax,ω和TP的概率分布能夠由修正的偏振模色散公式來描述

PDF: Probability Density Function 概率密度函數(shù)圖3 概率密度函數(shù)圖:(a) 最大群時延差Δτmax;(b) 最大群時延差一階頻率導(dǎo)數(shù)Δτmax,ω;(c) 主態(tài)變化趨勢TP

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多模光纖中,除了最大群時延差Δτmax,各個主態(tài)之間的群時延差也會影響脈沖的展寬。圖4(a)～(e)給出了相鄰主態(tài)(主態(tài)按群時延由大到小順序排列)間群時延差Δτj j+1=τpj-τpj+1的概率密度函數(shù)的數(shù)值模擬結(jié)果(條形圖部分)。與Δτmax一樣,Δτj j+1的概率分布也能夠用公式(32)進行擬合,如圖(a)～(e)中的實線部分所示,每個圖中所取的α1、α2和τ0值見表1。圖4(f)給出了所有主態(tài)群時延τpj的概率密度函數(shù)(以模式平均群時延為原點),可以看到,盡管理想光纖中只有三種群時延(對應(yīng)于三個ERI值),但光纖受到隨機擾動后,原本具有相同ERI的模式會解除簡并,由此形成按原點呈中心對稱分布的六個不同的群時延。

表1 α1,α2,τ0的取值

PDF: Probability Density Function 概率密度函數(shù)圖4 概率密度函數(shù)圖:(a)～(e) 相鄰主態(tài)群時延差 Δτj j+1;(f) 所有主態(tài)群時延τpj

最后,我們計算了典型的光纖通信波段1 548 nm ～ 1 553 nm內(nèi)不同波長處的Δτmax、Δτmax,ω和TP,并將結(jié)果示于圖5。由圖可見,Δτmax、Δτmax,ω和TP隨波長做很不規(guī)則的變化,變化范圍分別約為1 608 ～2 334 ps、-1.63×105～1.36×105ps2、1.70×106～4.43×106ps2,并與圖3中的概率密度函數(shù)所給出的范圍大致相符。這實際上反映了以上物理量在波長上的各態(tài)歷經(jīng)性,因此,在分析模式色散的統(tǒng)計規(guī)律時,既可以取不同時刻的數(shù)據(jù)樣本,也可以取同一時刻不同波長的數(shù)據(jù)樣本,通常,后者描述的測量方式會更為簡單和方便。

圖5 (a) Δτmax 隨波長的變化曲線;(b) Δτmax,ω隨波長的變化曲線;(c) TP隨波長的變化曲線

4 結(jié)論

本文將基于密度矩陣?yán)碚摰哪Ｊ今詈吓c模式色散的統(tǒng)計模型應(yīng)用于六模光纖,借助數(shù)值模擬對受隨機擾動的光纖中由模式耦合引起的光場能量分布和相干性變化的規(guī)律、模式色散對光脈沖展寬的影響、以及與一階和二階模式色散相關(guān)的各物理量的統(tǒng)計分布等進行了研究。光場能量和相干性的研究結(jié)果表明,光纖的隨機擾動會造成光場在不同模式之間的相干性于很短的傳輸距離內(nèi)迅速衰減為零,因此在相干光通信系統(tǒng)中進行數(shù)字信號處理時,不能僅依據(jù)模式間的能量耦合強度對模式進行分組,還必須計及模式間相干性的變化;利用密度算符和模式色散算符,計算給出了輸入信號所包含的模式組合與輸出信號脈沖展寬之間的定量關(guān)系,并通過分析模式主態(tài)、相應(yīng)的差分群時延以及它們隨頻率變化的統(tǒng)計性質(zhì),發(fā)現(xiàn)六模光纖的一階和二階模式色散的概率分布能夠用修正的偏振模色散公式加以描述,這些結(jié)果為多模光纖中模式色散的研究提供了有效的分析途徑;最后對同一統(tǒng)計樣本下,典型的光纖通信波段1 548～1 553 nm內(nèi)的模式色散性質(zhì)進行了模擬分析,驗證了模式色散在波長上的各態(tài)歷經(jīng)性,為模式色散的測量提供了一種等效且更加簡單的方式。本文的工作為模分復(fù)用光信號的性能恢復(fù)提供理論依據(jù),并有效推動模分復(fù)用技術(shù)的實用化進程。