崔禹欣,李 述,2,劉鳳秋,吳玉虎

(1. 哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱150080;2. 哈爾濱理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱150080;3. 寧波工程學(xué)院 理學(xué)院,浙江 寧波315211;4. 大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧 大連116024)

1 引言

生物過程建模已經(jīng)成為數(shù)學(xué)建模中的熱門話題。因此,人們對基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的研究有著非常大的興趣。基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的建模方法也相當(dāng)廣泛,其中包括布爾網(wǎng)絡(luò),差分方程,混雜系統(tǒng),Petri網(wǎng),線性回歸模型等。

由于布爾網(wǎng)絡(luò)[1]模型能夠簡潔有效地描述作用在有限集上的動態(tài)離散模型。因此,布爾網(wǎng)絡(luò)[1]已成為基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的重要模型。此外,布爾網(wǎng)絡(luò)在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用,包括系統(tǒng)生物學(xué)[2,3]、化學(xué)[4]、社會科學(xué)[5]等。隨著矩陣半張量積[6]的引入,布爾網(wǎng)絡(luò)的許多理論問題已經(jīng)得到解決,例如可控性[7-9]、穩(wěn)定性[10-12]、最優(yōu)控制[13]、辨識[14],以及其它相關(guān)問題[15-17]。

可達(dá)性是系統(tǒng)科學(xué)和控制架構(gòu)的基本概念和研究課題,也是生物系統(tǒng)和遺傳調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的焦點(diǎn)。在生物網(wǎng)絡(luò)中,人們通過設(shè)計控制策略,將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)從患病狀態(tài)驅(qū)動至健康狀態(tài)。因此,布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性已被用于設(shè)計和分析治療干預(yù)策略。目前,已經(jīng)得到了許多關(guān)于可達(dá)性的重要結(jié)論。文獻(xiàn)[18]主要研究了具有狀態(tài)和控制時滯的布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性問題。文獻(xiàn)[19]研究了具有干擾輸入的布爾控制網(wǎng)絡(luò)的魯棒可達(dá)性。文獻(xiàn)[20]研究了層次布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性和同步性問題。受到文獻(xiàn)[21,22]的啟發(fā),文獻(xiàn)[23]研究了馬爾科夫跳變布爾網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性。進(jìn)一步,文獻(xiàn)[24]研究了狀態(tài)依賴的脈沖布爾網(wǎng)絡(luò)集合可達(dá)性的牽制控制設(shè)計問題?？捎^測性是現(xiàn)代控制理論中的另一個非常重要的概念。目前,已經(jīng)有很多關(guān)于布爾網(wǎng)絡(luò)以及布爾控制網(wǎng)絡(luò)可觀測性的優(yōu)秀成果。例如,文獻(xiàn)[25]通過有限自動機(jī)解決了布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性問題。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[26]提出了一種替代方法用于解決布爾網(wǎng)絡(luò)的可觀測性問題。受到上述文獻(xiàn)啟發(fā),文獻(xiàn)[27]給出了關(guān)于布爾控制網(wǎng)絡(luò)可觀測性的一些新結(jié)論。文獻(xiàn)[28]通過集合可達(dá)性和并行拓展技術(shù)解決了布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性問題。在文獻(xiàn)[29]中,布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性問題被轉(zhuǎn)換為集合可控性問題,并且給出了一個簡潔并且易于驗證的充要條件,此外,文獻(xiàn)[30-32]也是關(guān)于可觀測性的優(yōu)秀成果。

為了理解具有許多層次和交互共存的復(fù)雜生物系統(tǒng)的演化過程,多層網(wǎng)絡(luò)作為一個新的描述已被提出。值得注意的是,多層網(wǎng)絡(luò)不僅提供了構(gòu)建生化系統(tǒng)的多級模型,還能更好地描述更豐富的相互作用結(jié)構(gòu)。在過去的幾年中,基于多層布爾網(wǎng)絡(luò)的各種研究已經(jīng)完成。文獻(xiàn)[33]研究了兩層網(wǎng)絡(luò)的同步能力。文獻(xiàn)[34]研究了多層布爾網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[35]研究了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的能控性問題。同時,由于生物調(diào)節(jié)的系統(tǒng)分析需要整體水平上的基因相互作用,而不是生物體孤立部分的特征[2]。因此,從整體角度分析多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性和可觀測性是相當(dāng)必要的。基于上述討論,本文希望通過一個具有全局狀態(tài)層的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)來從整體層面上考慮不同層之間節(jié)點(diǎn)的相互作用。事實(shí)上,多層網(wǎng)絡(luò)在細(xì)胞生化網(wǎng)絡(luò)、自然科學(xué)、社會科學(xué)和信息科學(xué)等領(lǐng)域也有諸多應(yīng)用。因此,研究具有全局狀態(tài)層的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性及其可觀測性是有意義的。本文的主要貢獻(xiàn)包括兩點(diǎn):(1) 與傳統(tǒng)的布爾控制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不同,本文研究的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)具有全局狀態(tài)層,可以模擬更加復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)。(2) 本文通過狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖重構(gòu)技術(shù)給出了具有全局狀態(tài)層的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)集合可達(dá)性的充要條件。其次,在集合可達(dá)性的基礎(chǔ)上,利用并行互聯(lián)技術(shù)給出了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性的充要條件。

2 預(yù)備知識

2.1 符號說明

2.2 矩陣半張量積的定義和性質(zhì)

關(guān)于矩陣的半張量積的一些性質(zhì)已在文獻(xiàn)[6]中有詳細(xì)闡述,因此在本文中不再過多贅述。

2.3 問題描述

本文考慮的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)有K層,每層有N個節(jié)點(diǎn)。在整個網(wǎng)絡(luò)中,彼此不同的節(jié)點(diǎn)一共有n(N≤n≤NK)個。具體可用如下模型表示

(1)

(2)

(1)Md被稱從M0出發(fā)整體可達(dá)的,如果對于任意的初始狀態(tài)x0∈M0,存在一個正整數(shù)ξ≥1和一個輸入序列u={u(t),t=0,1,…,ξ-1},使得

x(ξ;u,x0)∈Md。

(3)

(4)

(5)

3 集合可達(dá)性

本部分研究多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)的集合可達(dá)性。首先,介紹狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖重構(gòu)技術(shù)。其次,通過狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖重構(gòu)技術(shù)將多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)轉(zhuǎn)換為邏輯動態(tài)系統(tǒng)。最后,給出了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)集合可達(dá)性的一個充分必要條件。

3.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖重構(gòu)技術(shù)[21]是用于集合可達(dá)性分析的主要方法,其主要思路是通過重新構(gòu)造多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)以及網(wǎng)絡(luò)中狀態(tài)轉(zhuǎn)換的關(guān)系來得到邏輯動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖,進(jìn)而描繪邏輯動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)及引起系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換的事件,表示邏輯動態(tài)系統(tǒng)的行為。對于任意的子集M?Δ2KN,它的指標(biāo)矩陣DM表示如

式中DM∈B2KN×2KN。

(6)

算例1 考慮雙層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)的全局狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

圖1 (a)算例1中雙層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的全局狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖; (b)算例1中邏輯動態(tài)系統(tǒng)的全局狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

3.2 集合可達(dá)性

本節(jié)研究了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)的集合可達(dá)性。首先,介紹借助邏輯動態(tài)系統(tǒng)(6)分析多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)的集合可達(dá)性。

類似地,可以證得結(jié)論(2),此處不再重復(fù)贅述。

類似于命題(1),可以證得結(jié)論(2),此處不再重復(fù)贅述。

4 可觀測性

本節(jié)通過并行拓展技術(shù)將多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性問題轉(zhuǎn)化為了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性問題。首先,將多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)和一個復(fù)制網(wǎng)絡(luò)互聯(lián),如圖2所示。

圖2 多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)與其復(fù)制網(wǎng)絡(luò)的并行互聯(lián)

(7)

(8)

最后,證明命題(2)?；诿}(1),可知多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(2)是可觀測的當(dāng)且僅當(dāng)多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)(8)的子集ΩH是自ΩIH出發(fā)集合可達(dá)的。因此,根據(jù)定理1的結(jié)論(2),命題(2)成立。

備注4 與文獻(xiàn)[28]相比,本文研究的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)具有全局狀態(tài)層,可以模擬更加復(fù)雜的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)。與文獻(xiàn)[36]相比,本文不僅研究了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀測性,還研究了該網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性。

5 算例

算例1 考慮一個每層兩個節(jié)點(diǎn),彼此不同的節(jié)點(diǎn)有三個的雙層布爾控制網(wǎng)絡(luò)如下

算例2 上皮細(xì)胞和間充質(zhì)表型之間的正向和反向轉(zhuǎn)換在胚胎發(fā)育和組織修復(fù)以及癌癥轉(zhuǎn)移中起著至關(guān)重要的作用。因此,理解上皮細(xì)胞和間充質(zhì)表型之間的轉(zhuǎn)換過程仍然是發(fā)育和癌癥生物學(xué)中的一個重要研究挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[37]確定了上皮細(xì)胞-間質(zhì)轉(zhuǎn)化的四個關(guān)鍵基因:miR-34 (μ34),miR-200 (μ200),Snail和Zeb,它們形成了兩個相互抑制的切換開關(guān)。除此之外,還有一個額外的輸入節(jié)點(diǎn)表示誘導(dǎo)上皮-間質(zhì)轉(zhuǎn)化的外部信號,從而得到了一個五個節(jié)點(diǎn)的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò),如圖3(a)所示。尖銳箭頭表示激活調(diào)控,鈍箭頭表示節(jié)點(diǎn)之間的抑制調(diào)控。

圖3 (a)一個用于上皮細(xì)胞-間質(zhì)轉(zhuǎn)化的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);(b)上皮細(xì)胞-間質(zhì)轉(zhuǎn)化的多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

這樣,多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)可以更有效的模擬該網(wǎng)絡(luò),如圖3(b)所示,該網(wǎng)絡(luò)總結(jié)為

該網(wǎng)絡(luò)的全局狀態(tài)層可以被描述為

輸出層可以被描述為

將之轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)形式,可以得到

6 總結(jié)

本文主要研究了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性問題和可觀測性問題。首先,通過狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖重構(gòu)技術(shù),得到了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)集合可達(dá)性的充要條件。其次,在集合可達(dá)性問題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論了多層布爾控制網(wǎng)絡(luò)可觀測性問題的充要條件。最后,通過算例說明了理論結(jié)果的可行性。在未來,如何降低算法的計算復(fù)雜度是一個值得思考的問題,也是今后研究的一個重點(diǎn)。