董廷燦 孫守闖

(1.安徽省明光中學(xué) 2.內(nèi)蒙古扎魯特旗職業(yè)教育中心)

本文通過一道典型例題,結(jié)合機(jī)械能守恒定律、開普勒行星運動定律和橢圓軌道方程,對癥下藥,化解有關(guān)衛(wèi)星在以地心為焦點或圓心的若干軌道上變軌過程中遇到的4種疑難雜癥.

1 原題呈現(xiàn)

例作為一種新型的多功能航天飛行器,航天飛機(jī)集火箭、衛(wèi)星和飛機(jī)的技術(shù)特點于一身.假設(shè)一航天飛機(jī)在完成某次維修任務(wù)后,在P點從圓形軌道2進(jìn)入橢圓軌道1,如圖1所示,已知P點距地面的高度為2R(R為地球半徑),Q點為軌道1上的近地點,地球表面重力加速度為g,地球質(zhì)量為M,又知若物體在離星球無窮遠(yuǎn)處時其引力勢能為零,則當(dāng)物體與星球球心距離為r時,其引力勢能Ep＝(式中m為物體的質(zhì)量,M為星球質(zhì)量,G為引力常量),不計空氣阻力.則下列說法中正確的是( ).

圖1

A.航天飛機(jī)在軌道1和軌道2上運動時的機(jī)械能相等

B.航天飛機(jī)運行至Q點的速度小于在軌道2上運行至P點的速度

C.航天飛機(jī)運行至Q點的速度不會超過第一宇宙速度

D.航天飛機(jī)在軌道1上運行經(jīng)過P點的加速度等于在軌道2上運行經(jīng)過P點的加速度

2 問題解析

航天器從軌道2變軌到軌道1時必須在P點點火減速,航天器需要克服反沖力做功,故航天器在軌道1運行時的機(jī)械能小于在軌道2上運行時的機(jī)械能,選項A 錯誤;要比較Q點的速度與圓軌道2上P點速度的大小關(guān)系,需要作出與Q點相切的近地軌道如圖2中虛線所示.

圖2

3 疑難雜癥

3.1 對癥下藥,化解對第一宇宙速度是航天器最大運行速度的理解誤區(qū)

“環(huán)繞”釋義:沿由路程、行進(jìn)和旅行所形成的圓圈運動.由此得出環(huán)繞速度即衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動的速度;物理學(xué)家也用環(huán)繞速度特指第一宇宙速度,其值為v1＝7.9km·s—1.而運行速度是指衛(wèi)星繞地球運動的速度,軌道半徑不同速度就不同,它可以是一組速度值,環(huán)繞速度隸屬于運行速度.運行速度一般小于等于最大環(huán)繞速度,當(dāng)衛(wèi)星沿著橢圓軌道運行時,運行速度可以超過第一宇宙速度,筆者將在3.2中作進(jìn)一步的定量分析.

3.2 對癥下藥,化解對切點處加速度的理解誤區(qū)

由解析可知:衛(wèi)星在圓軌道和橢圓軌道切點處運行時的引力加速度相等.既然衛(wèi)星在P點所受萬有引力相等,那為什么衛(wèi)星在軌道2上做勻速圓周運動,在軌道1上卻做近心運動? 是不是衛(wèi)星經(jīng)過兩個不同的軌道到達(dá)P點的向心加速度不同呢?

上面的問題涉及衛(wèi)星的軌道半徑和曲率半徑的關(guān)系.對于軌道2(圓軌道),曲率半徑就是圓的半徑;設(shè)衛(wèi)星經(jīng)過P點時的向心加速度為a2n,由,得

對于一般曲線,在不同點的曲率半徑一般是不相同的,它表示曲線在該點的彎曲程度.對于橢圓軌道來說,設(shè)橢圓的半長軸為a,半短軸為b,橢圓的兩焦點F1、F2之間的距離為2c(a＞c),地球位于焦點F1處,如圖3所示.

圖3

綜上可知,橢圓軌道和圓軌道在切點P處的向心加速度也相等,并且等于衛(wèi)星在該點的引力加速度,即a1＝a2＝a1n＝a2n.

圓軌道中引力加速度等于向心加速度不難理解,橢圓軌道在P點的引力加速度也等于向心加速度難道是數(shù)據(jù)的巧合嗎? 對此,筆者作進(jìn)一步證明.

設(shè)在橢圓運動中,衛(wèi)星在Q點(近地點)的軌道半徑為rQ、運行速度為vQ1;在P點(遠(yuǎn)地點)的軌道半徑為rP、運行速度為vP1.由圖3 結(jié)合橢圓知識可得rP＝a＋c,rQ＝a—c;同理從P點到Q點,對衛(wèi)星由機(jī)械能守恒定律和角動量守恒定律得

所以衛(wèi)星在軌道1上P點處的向心加速度為

同時,衛(wèi)星在軌道2上做勻速圓周運動時,在P點根據(jù)萬有引力定律提供向心力可得

由式⑥和式⑦可得:在切點P處衛(wèi)星減速之前的向心加速度a2n和減速之后的向心加速度a1n是相等的,且都等于衛(wèi)星在P點高度處的引力加速度(在Q點亦如此).

3.3 對癥下藥,化解對衛(wèi)星做勻速圓周運動條件的理解誤區(qū)

橢圓軌道上的近(遠(yuǎn))地點的向心加速度與引力加速度相等,為什么衛(wèi)星會做離心運動或近心運動呢? 如何理解衛(wèi)星做勻速圓周運動的條件是萬有引力等于向心力呢?

關(guān)于衛(wèi)星在橢圓軌道的近地點其萬有引力等于向心力,此后為什么會做離心運動,其他文獻(xiàn)已做詳細(xì)介紹,這里不再重復(fù);下面僅就衛(wèi)星在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點為什么會做近心運動來加以探究.

衛(wèi)星在P點減速前后,圓周運動中心發(fā)生了變化;減速之后,根據(jù)式⑥可以發(fā)現(xiàn)軌道半徑由rP變?yōu)棣?由于rP＞rQ,可得,即衛(wèi)星在軌道2上的P點減速后,其旋轉(zhuǎn)中心由地球球心變?yōu)榘霃礁〉臋E圓軌道在P點的曲率圓的圓心,如圖4中虛線所示.

圖4

我們可以設(shè)想衛(wèi)星由P點沿曲率圓運動一小段圓弧到達(dá)A點,由于衛(wèi)星所受的萬有引力仍指向地心,而地心和曲率圓圓心并不重合,萬有引力不再完全充當(dāng)向心力,另一切向分力將使衛(wèi)星加速,從而使其做近心運動,即橢圓運動.

綜上所述,衛(wèi)星在橢圓軌道運行時,在近(遠(yuǎn))地點處萬有引力等于向心力、引力加速度等于向心加速度,離開近(遠(yuǎn))地點后,萬有引力便不再等于向心力,衛(wèi)星將做離(近)心運動.這是因為質(zhì)點做勻速圓周運動的條件是十分苛刻的:質(zhì)點所受合力方向指向圓心,大小等于質(zhì)點做圓周運動所需的向心力,并且這個供需關(guān)系要始終維持.反之,這種供需平衡一旦被打破,質(zhì)點將做離(近)心運動.

3.4 對癥下藥,化解對衛(wèi)星變軌到達(dá)預(yù)定點條件的理解誤區(qū)

欲使衛(wèi)星從軌道2變軌后能夠運行到Q點,難道只能在P點啟動發(fā)動機(jī)提供阻力突然減速,保持速度方向不變使航天器沿著橢圓軌道1運行到Q點? 當(dāng)然不是.除此之外,還可以通過保持速率不變改變速度方向,或者速度大小方向均改變的方式,筆者將作進(jìn)一步討論.

衛(wèi)星在橢圓軌道運行至短軸端點時,若保持速率不變而改變運行方向,可以使衛(wèi)星變軌后做勻速圓周運動,且圓周半徑恰好等于橢圓的半長軸.由此,我們可以進(jìn)一步得出若保持速率不變,衛(wèi)星變軌后能夠運行到Q點,必須在軌道2上運行至與橢圓軌道3(橢圓軌道3的半長軸恰好等于圓軌道2的半徑)的交點A(B)時改變方向(如圖5),且該點為橢圓軌道3的短軸端點.假設(shè)衛(wèi)星在軌道2上逆時針運行,設(shè)在B(A)點的速度方向逆時針轉(zhuǎn)過θ,仍以原題為例則a′＝BF1＝3R,c′＝OF1＝2R,由幾何關(guān)系可知sinθ＝.運行至Q點時的速度大小

圖5

與沿橢圓軌道1運行至Q點時的速度

相比變大了.假如錯過了A(B)點,衛(wèi)星仍可以在任意點C(D或E)點通過同時改變速度大小和方向的方式進(jìn)行變軌,然后沿橢圓軌道4(拋物線軌道5或雙曲線軌道6)運行至Q點;運行至Q點時的速度大小滿足

(完)