徐顯濤

(湖北襄樊?？狄恢?

天體物理問題的運(yùn)算是很多學(xué)生久攻不克的難點(diǎn).客觀上是因?yàn)椤疤煳臄?shù)字”龐大又難算,主觀上則是因?yàn)槲茨芾脭?shù)學(xué)原理合理近似,輔以算理簡化過程.本文以典型題目為例,總結(jié)一些實(shí)用的運(yùn)算策略,并解釋背后的數(shù)學(xué)原理,以便師生從了解“天文數(shù)字”的概念轉(zhuǎn)變?yōu)檎嬲I(lǐng)會(huì)天體物理問題中基礎(chǔ)運(yùn)算的本質(zhì)規(guī)律.

1 兩個(gè)近似

雖然萬有引力常量G值的精度不斷提高,但在高中范圍內(nèi)取G＝6.67×10—11N·m2·kg—2即可,盡管如此,計(jì)算三位有效數(shù)字仍很麻煩,注意到6.666…≈6.67,于是有,相對(duì)誤差不到千分之一.雖然目前無法從數(shù)學(xué)上證明G值是有理數(shù),但這樣的分式方便一般精度的化簡,能大大提高G值的運(yùn)算效率.

若把天體實(shí)際運(yùn)行的橢圓軌道簡化為便于運(yùn)算的圓軌道,由萬有引力提供向心力有,化簡有,因此開普勒第三定律中的常量k實(shí)際上等于.已被證明為無理數(shù)的π的運(yùn)算本就讓廣大師生無所適從,一般只能近似取為3.14,平方后得π2≈9.8696,在數(shù)值上十分接近常見的重力加速度g,因此可近似取為9.8,相對(duì)誤差不到百分之一.例如月—地檢驗(yàn)時(shí),已知月球中心和地球中心的距離r約為4×108m,月球公轉(zhuǎn)周期T約為2.4×106s,則月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度,數(shù)值上取π2≈g,除以g得

從而證實(shí)了地面物體所受地球的引力和月球所受地球的引力都遵從同樣的規(guī)律,這里并沒有算出a的具體值,而是采用了“作商比大小”的數(shù)學(xué)原理,精準(zhǔn)地給出了物理結(jié)論的實(shí)驗(yàn)依據(jù).精度要求不高時(shí)甚至可仿照g取為10的習(xí)慣操作,于是有N·m2·kg—2,系數(shù)與實(shí)際值0.169…的誤差略大于百分之一.

事實(shí)上,在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前,天體物理問題能算出一位有效數(shù)字已屬不易,有時(shí)候甚至只要求算出數(shù)量級(jí)即可.在此情況下,以上兩個(gè)近似非常有利于徒手運(yùn)算.例如太陽與地球間的平均距離r約為1.5×1011m,地球公轉(zhuǎn)周期T約為3×107s,所以太陽質(zhì)量

這里沒有分開算r3和T2,而是注意到r3＝r·r2,而,剛好約去,很快算出M≈2×1030kg.可見,在天體物理問題的運(yùn)算中適當(dāng)變形可事半功倍.

2 比值運(yùn)算

萬有引力定律和庫侖定律都是典型的平方反比律,時(shí)常要比較兩個(gè)力的相對(duì)大小以決定能否忽略其中某個(gè)力,類似上面的月—地檢驗(yàn),無須計(jì)算具體大小,直接作商就可簡化運(yùn)算.

例1太陽質(zhì)量M1大約是月球質(zhì)量M2的2.7×107倍,太陽到地球的距離r1大約是月球到地球距離r2的3.9×102倍,試比較太陽和月球?qū)Φ厍虻囊?

例2金星的半徑r′是地球半徑r的95%,質(zhì)量M′是地球質(zhì)量M的82%,求金星表面的自由落體加速度g′及金星的“第一宇宙速度”v′.已知地球表面的自由落體加速度為g,第一宇宙速度為v,忽略金星和地球的自轉(zhuǎn).

3 高考拓展

計(jì)算是學(xué)習(xí)功底的深刻體現(xiàn),不局限于天體問題,各省甚至全國物理高考都不乏需要大量運(yùn)算的問題.

例3(2022年湖北卷)我國高鐵技術(shù)全球領(lǐng)先,乘高鐵極大節(jié)省了出行時(shí)間.假設(shè)兩火車站W(wǎng)和G間的鐵路里程為1080km,W和G之間還均勻分布了4個(gè)車站.列車從W站始發(fā),經(jīng)停4站后到達(dá)終點(diǎn)站G.設(shè)普通列車的最高速度為108km·h—1,高鐵列車的最高速度為324km·h—1.若普通列車和高鐵列車在進(jìn)站和出站過程中,加速度大小均為0.5m·s—2,其余行駛時(shí)間內(nèi)保持各自的最高速度勻速運(yùn)動(dòng),兩種列車在每個(gè)車站停車時(shí)間相同,則從W到G乘高鐵列車出行比乘普通列車節(jié)省的時(shí)間為( ).

A.6小時(shí)25分鐘 B.6小時(shí)30分鐘

C.6小時(shí)35分鐘 D.6小時(shí)40分鐘

選項(xiàng)B正確.

總之,借助基本的數(shù)學(xué)原理靈活變通,既能讓物理計(jì)算又快又準(zhǔn),還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和攻堅(jiān)克難的勇氣,并在尋常處找到不尋常的結(jié)果.

(完)