鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心)

在近年高考物理試卷中,多次出現(xiàn)有關(guān)天體運(yùn)動的橢圓軌道問題.解答這類問題所應(yīng)用的物理規(guī)律主要是開普勒定律.此外,若在題中給出引力勢能公式,則需綜合應(yīng)用開普勒定律和機(jī)械能守恒定律.下面對開普勒定律和有關(guān)天體運(yùn)動的機(jī)械能的某些特點(diǎn)進(jìn)行深入分析.

1 有關(guān)天體橢圓運(yùn)動的規(guī)律解讀

1.1 開普勒運(yùn)動定律特點(diǎn)

開普勒第一定律也叫軌道定律,反映了行星運(yùn)動軌道的形狀以及中心天體的位置.太陽位于橢圓軌跡的一個焦點(diǎn),而不是橢圓的中心.

開普勒第二定律也叫面積定律,反映了行星運(yùn)動速率與焦半徑的關(guān)系.由此可知,行星在近日點(diǎn)速度最大,在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小;在橢圓軌道上關(guān)于長軸的對稱點(diǎn)處的速率相等;從長軸的一個端點(diǎn)運(yùn)動到另一個端點(diǎn)經(jīng)歷的時間為半個周期,但從短軸的一個端點(diǎn)運(yùn)動到另一個端點(diǎn)經(jīng)歷的時間不是半個周期.

由橢圓的對稱性可知,在橢圓的兩個對稱頂點(diǎn)處的曲率半徑相同,設(shè)為ρ,在兩個頂點(diǎn)處分別應(yīng)用牛頓第二定律有,聯(lián)立方程可得v1r1＝v2r2.

這表明,行星經(jīng)過橢圓軌道兩個對稱頂點(diǎn)時的速率跟焦半徑成反比.從推導(dǎo)過程可知,速率關(guān)系方程只適用于橢圓的兩個頂點(diǎn).

開普勒第三定律也叫周期定律,反映了橢圓運(yùn)動周期跟半長軸的關(guān)系.表達(dá)式中a表示軌道的半長軸,k只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),對于不同的中心天體,k的數(shù)值是不同的.當(dāng)應(yīng)用開普勒第三定律表達(dá)式時,在常數(shù)k未知的情況下,無論求a或T,都需選擇兩個環(huán)繞天體,以便列出兩個方程.

另一方面,由開普勒第三定律可知,對于同一中心天體,行星環(huán)繞運(yùn)動的周期只與軌道的半長軸有關(guān),而與離心率無關(guān),即與橢圓的“胖瘦”無關(guān),因此,橢圓運(yùn)動的周期等于以橢圓半長軸為半徑的圓周運(yùn)動的周期,由此可根據(jù)萬有引力提供向心力列方程.具體而言,對于質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的天體做橢圓運(yùn)動,半長軸為a,若求橢圓運(yùn)動的周期,則可對以a為半徑的圓周運(yùn)動由牛頓第二定律列方程為,可得.由此可知與中心天體的質(zhì)量成正比.這是把中心天體作為慣性系的條件下得到的結(jié)果.如果以中心天體與環(huán)繞天體的質(zhì)心為參考系,可得.這表明,k的數(shù)值不僅與中心天體的質(zhì)量有關(guān),還與環(huán)繞天體的質(zhì)量有關(guān),只有在M?m的條件下,才有

1.2 天體系統(tǒng)的機(jī)械能特點(diǎn)

天體在引力場中具有引力勢能.當(dāng)兩個天體之間的距離為無窮遠(yuǎn)時,相互作用力幾乎為零,因此選擇無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零點(diǎn),則引力勢能表達(dá)式為.引力勢能之所以為負(fù)值,是因?yàn)楫?dāng)一個質(zhì)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處向固定質(zhì)點(diǎn)移動時,萬有引力做正功,使得引力勢能逐漸減少,必然小于零.

2 有關(guān)天體橢圓運(yùn)動的規(guī)律應(yīng)用

例1(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖1所示,海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動,P為近日點(diǎn),Q為遠(yuǎn)日點(diǎn),M、N為軌道短軸的兩個端點(diǎn),運(yùn)行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用,則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運(yùn)動過程中( ).

圖1

A.從P到M所用的時間等于

B.從Q到N階段,機(jī)械能逐漸變大

C.從P到Q階段,速率逐漸變小

D.從M到N階段,萬有引力先做負(fù)功后做正功

海王星在運(yùn)動過程中只受太陽引力的作用,則機(jī)械能守恒,選項(xiàng)B錯誤.

根據(jù)開普勒第二定律可知,從P到Q階段,運(yùn)動速率逐漸變小,選項(xiàng)C正確.

從M到N階段,受到的萬有引力先為阻力后為動力,則對它先做負(fù)功后做正功,選項(xiàng)D 正確.

例2質(zhì)量為m的行星繞質(zhì)量為M的太陽做橢圓運(yùn)動,橢圓的半長軸為a,離心率為e,求行星從近日點(diǎn)開始運(yùn)動四分之一橢圓經(jīng)歷的時間.

畫出橢圓軌道如圖2所示,利用幾何關(guān)系可知行星從近日點(diǎn)開始運(yùn)動四分之一橢圓的過程中焦半徑掃過的面積等于四分之一橢圓面積與直角三角形面積之差,即

圖2

根據(jù)開普勒第三定律可知,行星做橢圓運(yùn)動的周期等于以半長軸為半徑做圓周運(yùn)動的周期,則由牛頓第二定律和向心力公式有,可得橢圓運(yùn)動的周期為,故所求運(yùn)動時間為

例3(2021年全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的實(shí)際觀測,給出1994 年到2002年間S2的位置如圖3所示.科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸為1000 AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓,銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞.這項(xiàng)研究工作獲得了2020 年諾貝爾物理學(xué)獎.若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力,設(shè)太陽的質(zhì)量為M,可以推斷出該黑洞質(zhì)量約為( ).

圖3

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

例4(2021年全國甲卷)2021年2月,執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實(shí)施三次近火制動后,進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道,軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m.已知火星半徑約為3.4×106m,火星表面處自由落體的加速度約為3.7m·s—2,則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為( ).

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

圖4

橢圓周期為T2＝1.8×105s,根據(jù)開普勒第三定律可知,可得

軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離為d2＝2a—d1—2R.代入數(shù)據(jù)得d2≈6×107m,選項(xiàng)C正確.

方法2根據(jù)開普勒第三定律可知,環(huán)繞周期與離心率無關(guān),只與半長軸有關(guān),設(shè)“天問一號”的質(zhì)量為m′,則環(huán)繞火星做橢圓運(yùn)動的周期等于以半長軸為半徑做圓周運(yùn)動的周期,萬有引力提供向心力,即,聯(lián)立這兩個方程可得.后續(xù)解法同方法1.

例5天體在引力場中具有的能叫作引力勢能,物理學(xué)中經(jīng)常把無窮遠(yuǎn)處定為引力勢能的零勢能點(diǎn),引力勢能表達(dá)式為,其中G為引力常量,M為產(chǎn)生引力場物體(中心天體)的質(zhì)量,m為研究對象的質(zhì)量,r為兩者質(zhì)心之間的距離.已知海王星繞太陽做橢圓運(yùn)動,遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的距離分別為r1和r2.地球繞太陽做圓周運(yùn)動,軌道半徑為R.如果知道引力常量G和地球公轉(zhuǎn)周期T,則下列各選項(xiàng)中的兩個物理量均可以推算出的是( ).

A.海王星質(zhì)量和地球質(zhì)量

B.太陽質(zhì)量和海王星質(zhì)量

C.地球質(zhì)量和海王星近日點(diǎn)速度大小

D.太陽質(zhì)量和海王星遠(yuǎn)日點(diǎn)速度大小

設(shè)太陽質(zhì)量為M,海王星質(zhì)量為m,由機(jī)械能守恒定律有

設(shè)地球質(zhì)量為m′,太陽引力提供向心力,即

對于天體的質(zhì)量,由后面兩個方程可見,環(huán)繞天體的質(zhì)量都約掉了,無法求出,排除選項(xiàng)A、B、C;由三個方程可求出太陽的質(zhì)量、海王星位于遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)的速度大小,只有選項(xiàng)D 正確.

例6如圖5所示,兩顆人造衛(wèi)星A、B分別沿圓軌道和橢圓軌道繞地球運(yùn)動.已知地球質(zhì)量為M,兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量都為m.衛(wèi)星A的圓軌道半徑為R,在圓軌道上的速度大小為v0,加速度為a0,機(jī)械能總量為EA;衛(wèi)星B的近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)到地球中心的距離分別為r1和r2,在近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小分別為v1和v2,在近地點(diǎn)的加速度為a1,在橢圓軌道上運(yùn)動的機(jī)械能總量為EB,則( ).

圖5

A.v1一定大于v2B.v0一定大于v2

C.a1一定大于a0D.EA一定大于EB

若以地心為圓心、以r2為半徑作圓,相切于橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn),則由變軌知識可知在圓軌道上運(yùn)動的速度v3一定大于在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度v2;對于同心圓軌道,由于半徑R＜r2,則由“衛(wèi)星越高運(yùn)動越慢”可知v0一定大于v3,所以v0一定大于v2,故選項(xiàng)B正確.

對于衛(wèi)星A,受到的萬有引力為;對于衛(wèi)星B,在軌道近地點(diǎn)處受到的萬有引力為F1＝.已知R＜r1,則F0＞F1,由牛頓第二定律可知a0＞a1,選項(xiàng)C錯誤.

圓周運(yùn)動軌道直徑為2R,橢圓運(yùn)動軌道長軸為r1＋r2,由于r1＋r2＞2R,可知橢圓軌道對應(yīng)系統(tǒng)的機(jī)械能大于圓周軌道對應(yīng)系統(tǒng)的機(jī)械能,即EB＞EA,選項(xiàng)D 錯誤.

綜上所述,在解答有關(guān)天體做橢圓運(yùn)動的問題時,應(yīng)用的主要規(guī)律是開普勒定律以及萬有引力定律、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動知識、機(jī)械能守恒定律和與橢圓有關(guān)的數(shù)學(xué)知識.應(yīng)用開普勒第一定律,要知道行星運(yùn)動軌跡的形狀,知道中心天體的位置以及橢圓的焦點(diǎn)位于長軸上.應(yīng)用開普勒第二定律,要知道面積速率是恒定的、橢圓的面積與周期之比等于面積速率以及哪半個橢圓軌道對應(yīng)的時間為半個周期,還要能在具體的橢圓中畫出焦半徑掃過的區(qū)域并計(jì)算其面積,推導(dǎo)天體在橢圓兩個頂點(diǎn)處的速率與焦半徑的關(guān)系方程,知道橢圓運(yùn)動速率最大值與最小值的位置在橢圓的頂點(diǎn)即長軸的兩端.應(yīng)用開普勒第三定律,要能夠?qū)懗霰磉_(dá)式,知道開普勒常數(shù)跟中心天體的質(zhì)量成正比,理解周期與離心率無關(guān),有時只需寫出一般的表達(dá)式,有時則需根據(jù)表達(dá)式列出具體的方程,或者把橢圓運(yùn)動轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動列出動力學(xué)方程.由開普勒第三定律可知,對于同一中心天體,橢圓運(yùn)動的周期只與半長軸有關(guān),若半長軸相同,則周期相同;若半長軸的長度越大,則周期越大.無論天體做勻速圓周運(yùn)動還是做橢圓運(yùn)動,系統(tǒng)的機(jī)械能都守恒,而且機(jī)械能總量只與橢圓的長軸有關(guān),長軸的長度越大,系統(tǒng)的機(jī)械能就越大.

(完)