劉 佳, 蘇 珉, 徐群玉

(1. 北京航空航天大學(xué)前沿科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新研究院, 北京 100191; 2. 廣西師范大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,廣西 桂林 541004;3. 中國(guó)民航科學(xué)技術(shù)研究院民航法規(guī)與標(biāo)準(zhǔn)化研究所, 北京 100028)

0 引 言

波導(dǎo)以及光波導(dǎo)器件的電磁特性分析仿真算法可擴(kuò)展應(yīng)用于計(jì)算光刻問(wèn)題,為摩爾定律的進(jìn)一步延續(xù)提供支持[1-3]。模式匹配是解決波導(dǎo)結(jié)構(gòu)問(wèn)題的常用方法[4-5],該方法早期采用縱向電磁場(chǎng)波動(dòng)方程模型,目前主要采用橫向電磁場(chǎng)波動(dòng)方程進(jìn)行模式匹配建模,較好地克服了傳統(tǒng)波導(dǎo)分析方法中未知量過(guò)大的問(wèn)題[6-7]。隨著數(shù)值模式匹配以及計(jì)算性能的快速發(fā)展,基于有限元或者有限差分方法的數(shù)值模式匹配技術(shù)已經(jīng)具備分析高復(fù)雜度波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的能力[8-10]。研究表明,模式匹配方法可應(yīng)用于特定周期結(jié)構(gòu)的電磁特征分析[11-12],在周期較大的情況下亦可用于非周期光刻掩膜結(jié)構(gòu)的分析。

模式匹配方法的基本原理是采用本征模展開(kāi)的形式對(duì)波導(dǎo)不連續(xù)處兩端的橫向電磁場(chǎng)進(jìn)行匹配。因此,模式匹配方法的核心在于求解波導(dǎo)本征模及其展開(kāi)系數(shù)。傳統(tǒng)模式匹配通常采用復(fù)雜度為O(N3)的譜分解方法計(jì)算本征模[13],在求解電大尺寸高復(fù)雜度結(jié)構(gòu)的本征模時(shí)計(jì)算效率瓶頸較為突出。為解決上述問(wèn)題,研究人員提出了一種基于Lanczos方法的隱式模式匹配方法[14-15]。該方法通過(guò)重組橫向電磁場(chǎng)波動(dòng)方程,直接匹配波導(dǎo)不連續(xù)處的橫向電磁場(chǎng),并采用Lanczos算法求解波導(dǎo)結(jié)合處的橫向電磁場(chǎng)。該方法不需要直接求解波導(dǎo)的本征模,且整體計(jì)算復(fù)雜度為O(N1.5)[16]。然而,該方法的效率優(yōu)勢(shì)是以計(jì)算精度的損耗作為代價(jià)的。作為隱式模式匹配的核心,Lanczos算法在迭代過(guò)程中沒(méi)有采用嚴(yán)格正交策略,基向量的正交性隨著迭代步數(shù)增加而逐漸缺失,影響了本征模的計(jì)算精度。此外,傳統(tǒng)隱式模式匹配方法還存在分析多層結(jié)構(gòu)時(shí)未知量過(guò)大,本征模傳播特性不清晰等問(wèn)題。這些問(wèn)題使其并不直接適用于計(jì)算光刻問(wèn)題。

本文以隱式模式匹配方法為基礎(chǔ),提出一種基于Krylov子空間理論[17]的混合本征模重構(gòu)及顯式模式匹配算法,在提升本征模精度的同時(shí)將計(jì)算復(fù)雜度控制在O(N1.5)。采用波導(dǎo)和周期結(jié)構(gòu)對(duì)混合本征模的精度進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)合高頻結(jié)構(gòu)仿真器(high frequency structure simulator, HFSS) 軟件以及嚴(yán)格耦合波分析(rigorous coupled wave analysis, RCWA)算法[18-20]的計(jì)算結(jié)果,對(duì)模式匹配算法的精度和效率進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)高復(fù)雜度光刻掩膜部件進(jìn)行仿真分析,進(jìn)一步證明算法在解決復(fù)雜計(jì)算光刻問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值和效率優(yōu)勢(shì)。

1 隱式模式匹配及混合本征模重構(gòu)

1.1 隱式模式匹配技術(shù)

基于有限差分?jǐn)?shù)值建模方法,橫向電磁場(chǎng)波動(dòng)方程[21]可描述為

(1)

(2)

式中:符號(hào)～和^分別表示前向和后向差分計(jì)算。式(1)和式(2)可用緊湊型算子進(jìn)行描述:

(3)

(4)

與常見(jiàn)迭代算法類似,初始矢量v0是任意定義的。新的基函數(shù)定義為

(5)

假設(shè)基函數(shù)之間滿足正交性,可以推導(dǎo)出:

(6)

式(4)的迭代過(guò)程可轉(zhuǎn)換為

Le·vj=βj-1vj-1+αjvj+βjvj+1

(7)

上述迭代過(guò)程可采用矩陣形式進(jìn)行描述:

(8)

式中:βk[0,…,0,vk+1]表示誤差項(xiàng);矩陣Vk中的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù)v。式(8)表明矩陣Le可采用一個(gè)低維空間Vk的線性展開(kāi)進(jìn)行描述,展開(kāi)系數(shù)則為式中三對(duì)角矩陣中的元素。采用矩陣T描述上述三對(duì)角矩陣,則矩陣Le可以近似描述為

Le·V=V·T

(9)

矩陣T的維度為M,M與N的關(guān)系通常為M～cN0.5,其中c為常數(shù)。這是隱式模式匹配計(jì)算復(fù)雜度保持在O(N1.5)的根本原因[25]。矩陣V中的每一列向量對(duì)應(yīng)Lanczos算法生成的基函數(shù)向量?；谔├照归_(kāi)公式,式(9)可進(jìn)一步演化為

f(Le)·V=V·f(T)

(10)

式中:f(Le)表示矩陣Le的函數(shù)。若需要計(jì)算矩陣函數(shù)與向量的乘積f(Le)·v,則可以選取向量v作為L(zhǎng)anczos算法的初始向量迭代生成基函數(shù)矩陣V以及三對(duì)角矩陣T,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

f(Le)·v=f(Le)·V·e1=V·f(T)·e1

(11)

式中:向量e1用于從矩陣中提取出第一列向量。矩陣T可采用譜分解算法進(jìn)一步分解為

T=Q·Λ·Q-1

(12)

式中:矩陣Λ是本征值對(duì)角矩陣。矩陣Q的列向量對(duì)應(yīng)Λ的本征向量。將式(12)代入式(11)可得:

f(Le)·v1=V·Q·f(Λ)·Q-1·e1

(13)

式(13)將復(fù)雜的算子矩陣函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣函數(shù),降低了計(jì)算復(fù)雜度。

1.2 混合本征模重構(gòu)方法

定義矩陣Q中的第i列為基函數(shù)向量qi,V·qi可視作矩陣Le對(duì)應(yīng)于特征值λi的本征模。然而,Lanczos算法在基函數(shù)的迭代生成過(guò)程中沒(méi)有采用嚴(yán)格的正交策略,基函數(shù)之間的正交性隨著迭代次數(shù)逐漸降低。因此,對(duì)需要高階本征模的復(fù)雜結(jié)構(gòu),采用V·qi作為本征模近似是不合理的。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文采用Arnoldi[26-27]方法對(duì)Lanczos正交性缺失導(dǎo)致的模式匹配誤差發(fā)散問(wèn)題進(jìn)行了修正。Arnoldi方法同樣源自于Krylov子空間理論,但是在子空間描述及基向量生成過(guò)程中采用了不同的數(shù)值策略。在Arnoldi方法中,基函數(shù)生成采用如下迭代策略:

(14)

式中:采用符號(hào)u表示基函數(shù),用于與Lanczos算法基函數(shù)v進(jìn)行區(qū)分。與式(4)進(jìn)行對(duì)比,Arnoldi和Lanczos算法的顯著區(qū)別在于右手項(xiàng)的第2項(xiàng)。Arnoldi方法采用的是改進(jìn)Gram-Schmidt正交策略,正交化過(guò)程中考慮了之前所有基函數(shù)。Lanczos算法僅考慮相鄰兩個(gè)基函數(shù)進(jìn)行正交化,這種非嚴(yán)格的正交策略是Lanczos算法基函數(shù)正交性隨著迭代步數(shù)增加而逐漸缺失的根本原因。Arnoldi算法的基函數(shù)同樣根據(jù)式(5)進(jìn)行定義,式(6)中的屬性也適用。根據(jù)式(14),定義系數(shù):

(15)

根據(jù)基函數(shù)之間的嚴(yán)格正交性,可得:

(16)

由于系數(shù)hij的特殊性,展開(kāi)矩陣不是Lanczos算法的三對(duì)角矩陣,而是上Hessnberg矩陣的形式[28]。該展開(kāi)關(guān)系可用下式進(jìn)行描述:

(17)

混合本征模重構(gòu)方法利用矩陣U中基函數(shù)的嚴(yán)格正交特性,保留了Lanczos的三對(duì)角矩陣T作為L(zhǎng)e的特征值近似描述,采用投影矩陣U替代V,將U·qi作為混合本征模。由于U和V都是Krylov子空間投影矩陣,因此混合本征模U·qi在物理概念上與Krylov子空間一致,而嚴(yán)格正交的投影矩陣U使得U·qi具備更好的正交性和數(shù)值精度。矩陣U的生成需要消耗更多的運(yùn)算資源,但是在模式匹配過(guò)程中僅需計(jì)算一次,因而對(duì)計(jì)算過(guò)程的實(shí)際運(yùn)算效率不會(huì)產(chǎn)生顯著影響。

1.3 周期邊界條件

傳統(tǒng)模式匹配問(wèn)題通常采用理想電導(dǎo)體(perfect electric conductor,PEC)邊界條件,但是與計(jì)算光刻問(wèn)題的實(shí)際物理?xiàng)l件不符。本文采用了周期邊界條件(periodic boundary condition,PBC)[29-30]對(duì)計(jì)算光刻問(wèn)題進(jìn)行建模,如圖1所示。橫向電磁場(chǎng)的周期邊界條件可描述為

圖1 周期邊界條件示意圖

(18)

式中:參數(shù)a和b為X和Y方向上的周期長(zhǎng)度;kx和ky分別表示X和Y方向上的波數(shù);非斜體符號(hào)j則用于表示虛數(shù)。通過(guò)設(shè)定足夠大的周期可將該邊界條件擴(kuò)展至非周期結(jié)構(gòu)的建模。

2 光刻掩膜建模及顯式模式匹配

光刻掩膜是光刻機(jī)的核心部件,其衍射及透射特性分析是計(jì)算光刻學(xué)中的重要問(wèn)題。該部件可用波導(dǎo)結(jié)構(gòu)結(jié)合周期邊界條件進(jìn)行建模。圖2所示為無(wú)基座光刻掩膜的建模示意圖,藍(lán)色區(qū)域?yàn)楣饪萄谀げ考?。附帶基座的光刻掩膜部件可用多?jié)波導(dǎo)結(jié)合周期邊界條件進(jìn)行建模。

圖2 光刻掩膜部件波導(dǎo)建模示意圖

本文以隱式模式匹配為基礎(chǔ),提出基于混合本征模的顯式模式匹配方法求解結(jié)合處的橫向電磁場(chǎng)。首先將Le和Lh采用互相關(guān)矩陣進(jìn)行描述:

(19)

算子A和B的具體定義見(jiàn)文獻(xiàn)[21]。圖3所示為多節(jié)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的未知電磁場(chǎng)定義示意圖。

根據(jù)圖3,第一個(gè)結(jié)合點(diǎn)處的模式匹配為

(20)

矩陣Mm,n的定義為

各校食品質(zhì)量與安全專業(yè)實(shí)習(xí)基本也存在上述問(wèn)題。針對(duì)食品質(zhì)量與安全專業(yè)學(xué)生在實(shí)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，我們?cè)趯W(xué)校和學(xué)院層面采取了一些行之有效的措施。

(21)

式中:矩陣On,m為插值矩陣,保證結(jié)合處兩端未知量的一致性。消除式(21)中的反射電場(chǎng)可以得到:

(22)

式(22)中的電場(chǎng)可用混合本征模展開(kāi):

(23)

(24)

波導(dǎo)的中間段可采用類似方法進(jìn)行匹配:

(25)

采用混合本征?？蓪⑹?25)轉(zhuǎn)化為顯示模式匹配:

(26)

波導(dǎo)的最后結(jié)合處可通過(guò)匹配傳輸電場(chǎng)得到:

(27)

通過(guò)消除式(27)中的傳輸電場(chǎng)可將式(27)轉(zhuǎn)換為

(28)

采用混合本征模進(jìn)行展開(kāi)后可得到:

(29)

將式(24)、式(26)以及式(29)進(jìn)行重組可以構(gòu)建塊矩陣求解本征模展開(kāi)系數(shù)。以四節(jié)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)為例,其對(duì)應(yīng)的塊矩陣為

(30)

式(30)中塊矩陣第1行描述了第1個(gè)結(jié)合處模式匹配,子矩陣Ψ11對(duì)應(yīng)式(24)的左手第1項(xiàng)。塊矩陣第2至第5行對(duì)應(yīng)中間段的波導(dǎo)模式匹配。塊矩陣最后一行描述了最后一個(gè)結(jié)合處的模式匹配。式(30)中塊矩陣的維度要明顯小于隱式模式匹配的塊矩陣,求解效率更高。算法的計(jì)算復(fù)雜度維持在O(N1.5)的水平。在存儲(chǔ)復(fù)雜度方面,由于需要在計(jì)算過(guò)程中存儲(chǔ)混合本征模進(jìn)行模式匹配,因而存儲(chǔ)復(fù)雜度要高于隱式模式匹配。

3 結(jié)果分析與討論

本節(jié)首先采用經(jīng)典波導(dǎo)結(jié)構(gòu)驗(yàn)證混合本征模以及顯式模式匹配方法的精度。在此基礎(chǔ)上,以高復(fù)雜度光刻掩膜為仿真案例,將顯式模式匹配算法與HFSS軟件以及RCWA算法在精度和效率上進(jìn)行比對(duì),驗(yàn)證本文提出方法在高復(fù)雜度計(jì)算光刻問(wèn)題上的實(shí)用價(jià)值。

3.1 混合本征模及模式匹配方法精度驗(yàn)證

本節(jié)選取矩形介質(zhì)波導(dǎo)對(duì)混合本征模的精度進(jìn)行驗(yàn)證。該波導(dǎo)結(jié)構(gòu)在XOY平面上縱橫比為2,中心介質(zhì)區(qū)域相對(duì)介電常數(shù)為2.25,有限差分網(wǎng)格數(shù)量為10 000。本征模Ex11,Ex21,Ex12以及Ex22的電場(chǎng)強(qiáng)度分布如圖4所示,虛線標(biāo)注了波導(dǎo)的中心區(qū)域與包層的邊界。圖4中本征模分布特征與文獻(xiàn)[6]中的解析本征模高度一致。根據(jù)文獻(xiàn)[6]中定義,圖4中本征模對(duì)應(yīng)的歸一化頻率均為2.5,歸一化的傳播系數(shù)分別為0.83,0.74,0.46 和 0.37。圖5(a)和圖5(b)為矩形介質(zhì)波導(dǎo)的色散曲線,縱橫比分別為2和1.5,中心區(qū)域的相對(duì)介電常數(shù)為2.25,色散曲線數(shù)值與文獻(xiàn)[6]中解析解的均方根誤差分別為0.007與0.01,表明混合本征模具備較高精度。

圖4 矩形介質(zhì)波導(dǎo)本征模電場(chǎng)強(qiáng)度分布

圖5 矩形波導(dǎo)色散曲線

采用圖6所示的周期結(jié)構(gòu)對(duì)顯式模式匹配方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證,幾何參數(shù)單位為μm。中心區(qū)域相對(duì)介電常數(shù)為10,厚度為0.3 μm。圖7所示為TE和TM極化電磁波正入射情況下周期結(jié)構(gòu)的反射和傳輸系數(shù),其中TE極化定義為入射電場(chǎng)與圖6中的橫軸平行,TM極化定義為入射電場(chǎng)與縱軸平行。兩種極化模式下的計(jì)算結(jié)果與HFSS軟件以及RCWA算法的計(jì)算結(jié)果取得了較好的一致性。以HFSS計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn),可對(duì)比傳統(tǒng)隱式模式匹配與顯式模式匹配方法在相同迭代步數(shù)下的精度。表1所示為反射與傳輸系數(shù)的歸一化均方根誤差,可以看出迭代步數(shù)越多,計(jì)算精度越高。本文提出的顯式模式匹配方法采用混合本征模修正了正交性缺陷,因此在相同迭代步數(shù)下,具備更高的計(jì)算精度。

表1 隱式和顯式模式匹配方法均方根誤差比對(duì)

圖7 矩形周期結(jié)構(gòu)反射與傳輸系數(shù)

3.2 高復(fù)雜度光刻掩膜結(jié)構(gòu)仿真示例

本節(jié)通過(guò)一個(gè)高復(fù)雜度光刻掩膜部件仿真案例,對(duì)顯式模式匹配方法進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。該部件的幾何示意圖如圖8所示。光刻掩膜部件位于區(qū)域A,黑色區(qū)域相對(duì)介電常數(shù)為10。區(qū)域B為結(jié)構(gòu)緩沖區(qū)并采用自由空間進(jìn)行填充。該部件在XOY平面上呈二維周期分布特性,因此采用三節(jié)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)結(jié)合二維周期邊界條件進(jìn)行建模。區(qū)域A的長(zhǎng)度寬度以及厚度分別為2 245 nm、708 nm以及50 nm,有限差分網(wǎng)格數(shù)量為215 000。激勵(lì)源為TE極化模式下的正入射平面波。圖9所示為光刻掩膜結(jié)構(gòu)傳輸電場(chǎng)強(qiáng)度分布。圖10(a)和圖10(b)分別為采用HFSS、顯式模式匹配、隱式模式匹配以及RCWA算法得到的傳輸系數(shù)以及橫向傳輸電場(chǎng)的相位結(jié)果,3類方法的結(jié)果與HFSS體現(xiàn)出較高的一致性。為進(jìn)一步描述結(jié)果相似度,采用歸一化均方根誤差對(duì)傳輸系數(shù)和相位的計(jì)算精度進(jìn)行量化描述。傳輸系數(shù)的誤差評(píng)估是在轉(zhuǎn)換為線性單位后進(jìn)行的,對(duì)應(yīng)結(jié)果如表2所示。從表2中數(shù)值可以進(jìn)一步看出3類方法的計(jì)算結(jié)果與HFSS結(jié)果是較為接近的。

表2 3類計(jì)算方法與HFSS計(jì)算結(jié)果的均方根誤差比對(duì)

圖8 高復(fù)雜度光刻掩膜部件幾何結(jié)構(gòu)示意圖

圖9 光刻掩膜結(jié)構(gòu)傳輸電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖

圖10 4類計(jì)算方法的光刻掩膜仿真結(jié)果

3類方法的性能差異主要體現(xiàn)在計(jì)算效率層面。RCWA算法基于Floquet原理,適用于分析周期結(jié)構(gòu)。該方法采用傅里葉變換將模式匹配投影到傅里葉域,數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)潔且對(duì)于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)具備解析解。然而,RCWA算法仍采用復(fù)雜度為O(N3)的譜分解方法計(jì)算本征模。表3對(duì)比了3類方法的平均計(jì)算時(shí)間。為保證效率比對(duì)的公正性,隱式和顯式模式匹配的收斂迭代步數(shù)設(shè)定為3 700,RCWA算法在傅里葉域所需的本征模個(gè)數(shù)為3 721。RCWA算法計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng),且大部分時(shí)間消耗在譜分解計(jì)算過(guò)程中。兩類模式匹配方法計(jì)算時(shí)間基本上處于同一水平。顯式模式匹配由于塊矩陣維度更低,在計(jì)算效率上略高。此外,在混合本征模重構(gòu)過(guò)程中,Arnoldi投影矩陣U僅需要計(jì)算一次并存儲(chǔ)在內(nèi)存中,無(wú)需重復(fù)生成投影矩陣,通過(guò)額外的存儲(chǔ)消耗提升了計(jì)算效率。表4對(duì)比了3類方法的平均內(nèi)存消耗,隱式模式匹配具備明顯的存儲(chǔ)復(fù)雜度優(yōu)勢(shì)。

表3 3類計(jì)算方法平均計(jì)算時(shí)間比對(duì)

表4 3類計(jì)算方法內(nèi)存消耗比對(duì)

3.3 算法復(fù)雜度分析

4 結(jié) 論

本文以隱式模式匹配方法為基礎(chǔ),提出了一種基于Krylov子空間理論的混合本征模重構(gòu)及顯式模式匹配方法,修正了隱式模式匹配方法在解決計(jì)算光刻問(wèn)題時(shí)存在的若干問(wèn)題,結(jié)合周期邊界條件實(shí)現(xiàn)了對(duì)光刻掩膜部件電磁特性的分析。通過(guò)與其他計(jì)算方法在精度和效率上的比對(duì),得出以下結(jié)論:

(1) 混合本征模重構(gòu)算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)本征模的精確計(jì)算。

(2) 基于混合本征模的顯式模式匹配解決了隱式模式匹配方法存在的若干問(wèn)題,并保留了其O(N1.5)的計(jì)算復(fù)雜度優(yōu)勢(shì)。

(3) 顯式模式匹配算法更適用于高復(fù)雜度光刻掩膜結(jié)構(gòu)的分析,相較于RCWA算法在精度和效率上均具備優(yōu)勢(shì)。