許志強(qiáng)

? 甘肅省天水市清水縣第三中學(xué)

1 瓜豆原理

我們所說的“瓜豆原理”是數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)動(dòng)態(tài)問題——主從聯(lián)動(dòng).這類問題涉及到路徑問題,因此利用本模型解題,首先要明確“主動(dòng)點(diǎn)”的路徑,再結(jié)合具體的問題分析“主動(dòng)點(diǎn)”和“從動(dòng)點(diǎn)”之間的關(guān)系,之后確定“從動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)路徑的形狀,最終達(dá)到順利解題的目的.

1.1 模型特征

瓜豆原理實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的軌跡問題,它所涉及到的動(dòng)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)看作是“瓜”,一個(gè)看作是“豆”,“主動(dòng)點(diǎn)”是“瓜”,“從動(dòng)點(diǎn)”是“豆”,根據(jù)瓜運(yùn)動(dòng)的情況來判斷豆的變化軌跡,從而根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置變化,突破從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線,將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題進(jìn)行解答.

1.2 模型思路

利用瓜豆原理解題,一般要做好以下五步:第一,根據(jù)問題情境確定主動(dòng)點(diǎn),并簡單作出主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;第二,確定從動(dòng)點(diǎn),判斷其與主動(dòng)點(diǎn)之間的變化關(guān)系;第三,根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況確定主動(dòng)點(diǎn)的特殊位置,一般是起點(diǎn)或者終點(diǎn)位置;第四,根據(jù)問題要求確定主動(dòng)點(diǎn)的變化特點(diǎn),從而明確從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,再確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡;第五,根據(jù)從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡利用相關(guān)知識進(jìn)行解答,往往涉及長度、最值等問題.

2 原理應(yīng)用

這類模型在應(yīng)用過程中往往涉及到全等、位似及其旋轉(zhuǎn)的知識,故筆者從這三種模型分析瓜豆原理在初中數(shù)學(xué)壓軸問題中的破解方法.

2.1 全等模型

模型探究：如圖1,P為△ABC邊AC上的一點(diǎn),以BP為邊長向一側(cè)作特殊三角形BPE(一般為等邊三角形或等腰直角三角形等),當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),判斷點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑.

圖1

圖2

結(jié)論：根據(jù)上述圖示2,首先確定點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn),確定好相對應(yīng)的點(diǎn)E的位置,分別記為點(diǎn)M,N,則MN即為點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.連接BM和BN,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),可以判定△ABC與△BMN全等,進(jìn)而得到MN=AC.

典型例題1如圖3,在等邊三角形ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng),連接PD,以PD為邊,在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊三角形DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),試求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長．

圖3

圖4

2.2 位似模型

模型探究：如圖5,P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,取AP上一點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖6,線段EF即為點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．

圖5

圖6

拓展探究：點(diǎn)P若在一圓(或弧線)上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也是成為圓(或弧線).

典型例題2如圖7,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn),F為EC上一動(dòng)點(diǎn),P為DF中點(diǎn),連接PB,求PB的最小值．

圖7

分析：如圖8,根據(jù)中位線定理可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2,再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BP⊥P1P2時(shí),PB取得最小值.由矩形的性質(zhì)及已知數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2,故BP的最小值為線段BP1的長,由勾股定理求解即可．

圖8

典型例題3如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(3,4),⊙P的半徑為2,A(2.6,0),B(5.2,0),M是⊙P上的動(dòng)點(diǎn),C是MB的中點(diǎn),試求AC的最小值．

圖9

圖10

2.3 旋轉(zhuǎn)模型

圖11

結(jié)論：如圖12,當(dāng)∠PAQ<90°時(shí),直線BC與MN的夾角等于∠PAQ.

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

3 模型反思

上述模型問題的研究,實(shí)際上考查了學(xué)生對問題的操作經(jīng)歷的體驗(yàn),既考查了學(xué)生的觀察力和思考力,更重要的是對學(xué)生應(yīng)用能力的檢驗(yàn),又要結(jié)合問題情景,對號入座,靈活應(yīng)用.根據(jù)問題所展示的相關(guān)內(nèi)容,對瓜豆原理進(jìn)行如下總結(jié):其一,兩動(dòng)點(diǎn)之間的變化關(guān)系一致;其二,兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的比例關(guān)系一致;其三,運(yùn)動(dòng)過程中路徑的形狀與大小的變化及其特殊位置的確定.

綜上所述,瓜豆原理在形式上和解法上給我們提供了簡單而又易操作的解題方法,可謂是“種瓜得瓜,種豆得豆”.但是,僅僅掌握這些還不夠的,還需要我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深入研究,不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),能從問題情境中獲得直觀感受,從而構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),獲得模型意識和模型思想,并在解題訓(xùn)練過程中不斷進(jìn)行遷移拓展,形成數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).Z