石宏丹

? 中新天津生態(tài)城第一中學(xué)

在與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題中,求圖形的面積、根據(jù)圖形的形狀求時(shí)間是兩大主要類型.求圖形的面積是以動(dòng)態(tài)的視角討論面積變化趨勢(shì),而根據(jù)圖形的形狀求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間則比較多見,是動(dòng)點(diǎn)問題中比較有代表性的類型[1].無(wú)論是哪種類型,難度都較大,多數(shù)學(xué)生不容易掌握.所以,教師積極探究其解決策略顯得尤為必要.基于此,本文中特選此兩類問題進(jìn)行解決策略的探討,即根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求面積、根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求時(shí)間,一方面為一線教師解決教學(xué)難點(diǎn)提供廣泛的素材,另一方面,幫助學(xué)生掃除學(xué)習(xí)障礙.

1 根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求面積

例1如圖1,在等腰三角形ABC中,BC=AB=5 cm,AC=6 cm.現(xiàn)將△ABC向右平移,使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,點(diǎn)D與點(diǎn)C、點(diǎn)E與點(diǎn)A分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接BE和AC并交于點(diǎn)O.

圖1

(1)判斷四邊形ABCE的形狀,并說(shuō)明理由;

(2)如圖2,在線段BC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(在運(yùn)動(dòng)時(shí)不與點(diǎn)B,C重合),連接PO并延長(zhǎng),使之與線段AE相交于點(diǎn)Q.過點(diǎn)Q作BD的垂線,垂足為R.試分析在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形PQED的面積的特點(diǎn).

圖2

分析：(1)首先,根據(jù)圖形的平移可證得四邊形ABCE是平行四邊形;然后,結(jié)合AB=BC,利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得它為菱形.(2)四邊形PQED的面積不變,始終是24 cm2.

解：(1)四邊形ABCE是菱形．

∵將△ABC向右平移,使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,點(diǎn)D與點(diǎn)C、點(diǎn)E與點(diǎn)A分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn),

∴ECAB.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∵BC=AB,

∴四邊形ABCE是菱形.

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形PQED的面積不變,始終是24 cm2.

理由如下:

由(1)可知,四邊形ABCE是菱形.

∵AC=6 cm,

∴OC=3 cm.

∵BC=5 cm,

根據(jù)勾股定理,易得BO=4 cm.

如圖3所示,過A作BC的垂線,垂足為H.

圖3

∵四邊形ABCE是菱形,

∴易證得△PBO≌△QEO.

∴BP=QE.

=24(cm2)．

方法總結(jié):根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求圖形的面積,首先需分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),將其中幾種運(yùn)動(dòng)的情況分析出來(lái),然后從整體上把握?qǐng)D形形狀的變化及面積的變化過程[2].在分析出圖形的形狀之后,可利用如下兩種方法求圖形的面積:

(1)根據(jù)面積公式求.如果是規(guī)則圖形,則按照規(guī)則圖形的面積公式直接求出即可.

(2)利用若干個(gè)面積之間的關(guān)系求.如果圖形的形狀不規(guī)則,則利用若干個(gè)面積之間的關(guān)系求,即把不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)規(guī)則圖形,然后求出若干個(gè)小規(guī)則圖形的面積,再將它們的面積相加或相減.

2 根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況求時(shí)間

圖4

(1)試判斷:四邊形AEFD可能是菱形嗎?如果可能,請(qǐng)求出相應(yīng)的t值.

(2)試判斷:△DEF可能是直角三角形嗎?如果可能,請(qǐng)求出相應(yīng)的t值.

分析：(1)證明一個(gè)四邊形為菱形,通常先證明該四邊形為平行四邊形,然后結(jié)合鄰邊或?qū)蔷€的特點(diǎn),利用相關(guān)的判定定理就可以證得該四邊形為菱形.

(2)先從結(jié)論出發(fā)逆推,根據(jù)分類討論思想進(jìn)行分析,最后總結(jié)即可.

解：(1)四邊形AEFD可能是菱形．

∵AB⊥BC,DF⊥BC,

∴DF∥AE．

∵AE=t,CD=2t,且∠C=30°,

∴AE=DF=t.

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

∵AB=BC·tan 30°=5,

∴AC=10.

∴AD=AC-DC=10-2t．

∴t=10-2t．

(2)△DEF可能是直角三角形.

①當(dāng)∠EDF為直角,四邊形EBFD就是矩形．

∵∠ADE=∠C=30°,

∴10-2t=2t.

②當(dāng)∠DEF為直角時(shí),∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=90°-30°=60°.

故t=4.

③當(dāng)∠EFD為直角時(shí),該情況不存在．

方法總結(jié):根據(jù)圖形求運(yùn)動(dòng)時(shí)間最關(guān)鍵之處在于找準(zhǔn)圖形的特點(diǎn),然后據(jù)此列方程并求解.在此過程中,可能會(huì)因?yàn)閳D形的形狀發(fā)生變化而需要分類討論.對(duì)于這類問題,可按如下過程解決:

首先,針對(duì)每種類型畫出相應(yīng)的圖形,并利用圖形分析相應(yīng)的情況;

然后,將分析的情況進(jìn)行總結(jié),便得到了符合題意的解決過程.

綜上所述,求圖形面積通常會(huì)在菱形中有運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的情況下討論圖形面積的變化特點(diǎn),而圖形的面積變化主要是由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)造成的.根據(jù)圖形的形狀求運(yùn)動(dòng)時(shí)間,是菱形中動(dòng)點(diǎn)問題的典型代表,需根據(jù)這些圖形的性質(zhì)找到等量關(guān)系,然后利用等量關(guān)系列方程并求解.這些都是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想或分類討論思想的體現(xiàn),教學(xué)中教師不應(yīng)僅局限于問題的分析,而應(yīng)該充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.