呂 炎 林曉磊 高 杰,2) 何存富

* (北京工業(yè)大學信息學部,北京 100124)

? (北京工業(yè)大學材料與制造學部,北京 100124)

引言

隨著材料科學的不斷發(fā)展,單向纖維復合材料因其具有高強度、耐熱性等優(yōu)勢廣泛應用于航空航天、電子信息等領域[1-3].然而,復雜的服役工況將致使各向異性單向纖維材料易出現(xiàn)分層或裂紋等典型缺陷,嚴重影響材料的綜合性能.當前,考慮到聲波在材料傳播過程中攜帶著大量的材料信息[4],且超聲檢測法具有厚度可層析及現(xiàn)場可操控等優(yōu)勢,促使其成為了材料缺陷檢測較為有效的無損檢測手段[5].其中,準確獲取復雜工況(如含溫度場等)波導結構中導波的傳播特性是實現(xiàn)材料內部缺陷聲學表征的重要前提.

當前,眾多學者針對波導結構中超聲導波頻散曲線的數(shù)值計算方法開展了研究,其中矩陣法是處理層狀介質中波動問題的經典方法,如全局矩陣法[6]、剛度矩陣法[7]和散射矩陣法[8]等.然而,隨著多層介質層數(shù)的增加,矩陣法易產生數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象,造成明顯的漏根和錯根現(xiàn)象[9-10].為了避免上述勘根算法的弊端,Lefebvre 等[11]提出了勒讓德多項式展開法來疊加擬合位移分量,將傳統(tǒng)的超越方程求解轉換為了特征值問題的處理,實現(xiàn)了多層介質超聲導波傳播特性的數(shù)值計算.隨后,Wang 等[12]將勒讓德多項式法拓展應用至功能梯度材料,壓電半導體材料[13],分數(shù)階熱彈板[14]等復雜波導結構中的超聲導波頻散特性理論計算分析.然而,當提高截止項階數(shù)以克服逐漸凸顯的大頻厚積問題時,矩陣維度的增加及冗余的積分運算致使運算成本大幅度提升,而較低的截止項將導致數(shù)值計算結果難以收斂.

與此同時,材料的熱力學性質亦將影響聲波的傳播特性.李妍等[15]研究了半無限大薄板熱彈擴散瞬態(tài)響應問題,著重分析了薄板溫度、應力和濃度等物理量隨熱時間及擴散時間遲滯因子等參數(shù)變化的分布規(guī)律.Toki 等[16]利用薄殼理論,數(shù)值模擬了熱環(huán)境下碳纖維增強復合材料的振動特性,并揭示了其與纖維體積、纖維方向和溫度變化等因素間的作用機理.吳楠等[17]研究了極低溫度環(huán)境下碳纖維復合板的熱變形機理,并仿真分析了影響熱變形特性的主要因素.在處理熱彈性材料中的導波傳播問題時,Green 等[18-20]發(fā)展了無能量耗散的熱彈性線性化理論,基于此著重分析了彈性固體中的無阻尼熱波,同時,對熱力學中材料本構方程的基本假設進行了新檢驗.隨后,Qahtani 等[21]利用勢函數(shù)法求解了熱彈性氮化硅板中導波的頻散曲線,并利用半解析有限元法進行了對比驗證.Verma 等[22]利用廣義熱彈性理論,詳細推導了平板結構的對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)對應的頻率特性方程,并數(shù)值模擬了熱彈性波在薄板中的頻散和能量耗散特性.Li 等[23]通過結合二維高階譜元與有限元方法,提出了無能量耗散的熱彈性波在空心圓柱中傳播的波動方程修正公式,并考慮了譜元階數(shù)的影響,以數(shù)值分析空心圓柱結構中聲波的頻散特性.Wang 等[12]和Yu 等[24-25]通過聯(lián)立G-N 理論與勒讓德級數(shù)聯(lián)合法,數(shù)值分析功能梯度板結構在自由應力及等溫邊界條件下的導波頻散特性,并對比分析了非均勻熱彈性板和純彈性板導波頻散曲線的分布規(guī)律,并將其拓展應用至處理熱彈性彎曲板的波動問題[25].隨后,提出一種改進的勒讓德正交多項式方法,以求解分數(shù)階熱彈板中的導波傳播問題[12],著重分析了分數(shù)階次對頻散、衰減曲線等的影響.此外,Dodson 等[26]基于實驗獲取的鋁合金板不同頻率下的群速度以及群速度溫度敏感性曲線,深入探究了蘭姆波波速在不同溫度下的變化.Gandhi 等[27]建立了受雙軸均勻應力場作用的各向同性介質的聲彈性蘭姆波傳播理論,指出頻散曲線在大多數(shù)應力、模態(tài)和頻率下呈現(xiàn)各向異性變化.基于上述研究,Yang 等[28]提出了一種結合半解析有限元方法的熱聲彈性理論,探究了均勻和非均勻熱效應對聲彈性導波傳播的影響.為了提高理論建模的準確性與求解效率,依然需要發(fā)展更為可靠的計算方法來探究溫度場下各向異性層合板中的導波傳播特性.

為了避免傳統(tǒng)級數(shù)法中冗余的積分運算,實現(xiàn)多種復雜波導結構中高頻波動問題的精確求解,本文提出了狀態(tài)矩陣與勒讓德多項式聯(lián)合法.理論建模方法的核心在于: 通過引入狀態(tài)矩陣法,將控制方程、幾何方程及本構方程以狀態(tài)矢量的方式進行表達,即引入狀態(tài)矢量矩陣將相關參數(shù)矩陣轉化為上三角矩陣和對稱矩陣,可實現(xiàn)復雜波導結構中頻散方程的推導;并運用勒讓德級數(shù)的正交完備性及遞推特性,并導入多個線性因子的積分表達式解析解,將頻散方程的求解問題轉換為特征值求解問題,以此克服傳統(tǒng)勒讓德級數(shù)法高截止項的計算難題,并解決傳統(tǒng)矩陣方法求解數(shù)值不穩(wěn)定所帶來的模態(tài)錯位及漏根問題[9-11].本研究將其拓展應用至溫度場狀態(tài)下各向異性層合板中熱彈波的頻散特性數(shù)值分析.通過建立各向同性層合板的聲學頻域仿真模型,驗證了所提理論方法的正確性.最后,建立了三層單向纖維復合材料層合板的導波傳播特性理論模型,細節(jié)分析了堆疊順序、溫度變化對單向纖維層合板中導波傳播特性的影響規(guī)律.

1 理論分析

1.1 聲傳播理論模型

針對第z層碳纖維材料,對應的局部坐標系可表示為().此時,x1與x1z之間的旋轉角φ即為第z層材料在全局坐標系中的方位,而相應的彈性常數(shù)表達式可整理為

基于小變形假設,材料的應力應變關系可整理為

為模擬含溫度場的多層碳纖維層合板中蘭姆波的傳播特性,基于無體力的線彈性材料,引入了Green-Nagdhi 熱彈性理論[18-20],此時熱彈性材料的波動方程可表示為

其中,σijz為應力分量,εijz為應變分量,uiz為位移分量;Cez為恒定應變下的比熱,T0z為參考溫度參數(shù),Tz為溫度參數(shù).隨后,將第z層材料的位移及應力分量整理為狀態(tài)矢量的形式,以實現(xiàn)未知參數(shù)的同步簡化求解

其中,kz和ωz為波數(shù)和角頻率分量,T表示溫度的幅值.此時,波動方程可重新整理為

同樣地,本構關系可重新表示為

其中,Dijz為由力學參數(shù)組成的系數(shù)矩陣.隨后,將式(7)中沿x2方向的應力表達式轉換成位移變量形式,并代入至x1方向的應力表達式,可得

將其整理為矢量矩陣形式,并聯(lián)立x2方向的應力表達式的向量形式,即

可推導得出第z層的狀態(tài)矢量常微分方程

其中

將式(9)代入式(10)中,即可得到簡化后的頻散方程

其中,?=k/k0表示歸一化的相對波數(shù).

1.2 勒讓德多項式展開

將含有位移及溫度分量的A矢量以勒讓德多項式疊加擬合的形式進行展開,可表示為

式中,Pn(χ)為第n階的勒讓德多項式,當勒讓德級數(shù)的截止項為n時,表示z-th 的兩個方向位移分量幅值un,vn以及溫度幅值Tn,N為勒讓德多項式的截止項階數(shù).考慮到勒讓德級數(shù)的有效作用區(qū)間為χ∈[-1,1],因此有必要對x2進行坐標轉換

隨后,將式(13)～式(15)代入至式(12),并對其進行正交投影,可以得到線性方程組

由于矢量線性算子的偏導影響,使得勒讓德多項式的下標n與m的有效范圍縮減為[0,N-2]及[0,N-3].此時,上述線性方程組僅能提供3(N-2)個方程,難以實現(xiàn)3N個未知幅值及溫度量求解.因此,考慮了界面處的自由應力邊界條件,以及層間界面處應力與位移的連續(xù)性邊界條件

隨后,將線性方程組與邊界條件進行結合,即聯(lián)立式(16)～式(18),以推導得出完整的頻散特征線性方程組

最后,通過MATLAB 中的eig 函數(shù)求解式(20)中的特征值(?)與特征向量(E),即可實現(xiàn)含溫度場的多層材料超聲導波頻散曲線、位移及應力波結構的同時繪制.

2 溫度場下各向同性層合板導波頻域仿真分析

2.1 聲學頻域仿真模型建立

借助COMSOL 有限元仿真軟件,建立了溫度場作用下多層各向同性材料的聲學頻域仿真模型,如圖2 所示.在建模過程中,考慮利用固體傳熱模塊來模擬溫度場分布,同時賦予每層材料導熱系數(shù)與恒壓熱容,同時在四周邊界處施加熱絕緣條件,上下界面設置自由溫度邊界.結合固體力學模塊,賦予每層線彈性材料楊氏模量、泊松比和密度等力學參量,層間設置連續(xù)性條件,實現(xiàn)多層各向同性材料中導波傳播特性的數(shù)值模擬.其中,上述模型中多層材料的堆疊順序為銅/鋼/銅,每層材料厚度均為1 mm,所需各層材料的性能參數(shù)如表1 所示.在模擬聲傳播過程中,考慮在模型兩側設置Floquet 周期邊界[30],使得模型沿著長度方向無限擴展,以弱化聲波沿長度方向的反射與折射效應.同時,采用三角形精細化網格分割,利用物理場控制網格序列類型,提高仿真計算的精度.最后,通過參數(shù)化掃描特征頻率獲取所需頻率范圍內的波數(shù),進一步求解出導波相速度頻散曲線.

表1 鋼與銅的性能參數(shù)[10,31]Table 1 Performance parameters of steel and copper[10,31]

2.2 理論與仿真結果對比分析

基于所建立的聲學頻域仿真模型,通過提取不同特征頻率下的波數(shù),數(shù)值計算了溫度為293 K (20 °C)時銅/鋼/銅層合板與3 層各向異性層合板的超聲導波頻散曲線,如圖3 所示.其中,紅色圓圈表示仿真計算的結果,黑色實線為所提理論計算得到的超聲導波多模態(tài)頻散曲線.可以看出,在低頻范圍內(0～1 MHz),仿真結果與理論數(shù)據均可以實現(xiàn)良好的吻合,有效地證明了所提理論模型的正確性和有效性.

3 溫度場下各向異性層合板的聲傳播特性

基于G-N 熱彈性理論及狀態(tài)矢量與勒讓德級數(shù)聯(lián)合法,建立了由不同鋪層方向單向纖維復合材料堆疊而成的各向異性層合板聲傳播特性理論模型,著重探究了堆疊順序、溫度變化對導波頻散曲線及位移與應力波結構的影響規(guī)律,以驗證所提方法的通用性和有效性.

3.1 堆疊順序對導波傳播特性的影響分析

以單向纖維增強復合材料T300/914 為研究對象,著重探究纖維取向對多層各向異性介質中導波頻散行為的影響.其中,沿主軸方向單向纖維復合材料的力學性能參數(shù)如表2 所示.需要指出的是,當纖維鋪層方向沿著不同角度分布時,可通過建立局部坐標系,以坐標轉換的形式(即局部坐標系與全局坐標系的旋轉夾角為φ)來描述對應材料的力學性能參數(shù).隨后,依據上述提出的理論方法,建立了相鄰層鋪層方向不同的3 層理論模型.其中,上下層單向纖維的鋪層方向均沿主軸方向,即頂層和底層的纖維取向均沿著x1軸方向平行,并且中間層的取向角φ從0°到90°以30°的增量變化,以此形成了具有不同堆疊順序的各向異性層合板理論模型.需要指出的是,每層單向纖維材料的厚度均為1 mm,所在溫度場的溫度為293 K.基于所提理論方法,數(shù)值計算了上述4 種理論算例的超聲導波頻散曲線,如圖4(a)～圖4(d)所示.

表2 單向纖維復合材料的性能參數(shù)[32]Table 2 Performance parameters of unidirectional fiber composites[32]

圖4 不同堆疊順序各向異性層合板導波頻散曲線Fig.4 Guided wave dispersion curves of anisotropic laminates with different stacking orders

可以看出,在0～2 MHz 頻率范圍內,含溫度場的各向異性層合板的多模態(tài)頻散曲線均可以完整有效地繪制出來.其中,紅色實線表示A0 模態(tài),藍色實線代表S0 模態(tài),其余黑色實線代表高階Lamb 波模態(tài).通過對比可以看出,隨著中間層碳纖維旋轉角度的增加,相速度頻散曲線的模態(tài)數(shù)量呈現(xiàn)出了遞增的趨勢,且整體逐漸向左偏移.與此同時,在截止頻率處S0 模態(tài)的相速度值表現(xiàn)為大幅度降低的變化現(xiàn)象,而A0 模態(tài)的相速度值卻并未呈現(xiàn)明顯的偏移特征.此外,當單向纖維中間層的纖維角度不斷增加時,高階模態(tài)的截止頻率亦不斷向低頻處偏移,對應的相速度值存在降低的現(xiàn)象.

3.2 位移及應力的波結構分布特征

通過求解式(20),可同步獲取線性方程組的特征值(ζ)與特征向量(E).同時,將特征向量代入至位移及應力的表達式中,溫度場下各向異性層合板中任意導波模態(tài)的位移及應力波結構均可以實現(xiàn)有效地重構.此處,以293 K 下堆疊順序分別為0°/0°/0°與0°/30°/0°的單向纖維層合板為研究對象,繪制了1 MHz 頻率處A0 模態(tài)的位移與應力的波結構分布曲線,如圖5 所示.其中,紅色虛線分別表示沿x1傳播方向的位移與應力分布曲線,藍色點劃線分別表示沿x2方向的位移與應力分布曲線.

圖5 293 K 下,0°/0°/0°與0°/30°/0°單向纖維層合板A0 模態(tài)位移與應力分布曲線Fig.5 A0 modal displacement and stress distribution curves for 0°/0°/0° and 0°/30°/0° unidirectional fiber laminates at 293 K

可以看出,對于A0 模態(tài)來說,離面位移u2關于中間層對稱,而面內位移u1呈現(xiàn)反對稱特性.其中,離面位移遠大于面內位移,即A0 模態(tài)的質點振動將沿著厚度方向的離面位移為主占.同樣地,正應力σ22關于中間層呈現(xiàn)反對稱分布,而剪切應力σ21表現(xiàn)出明顯的對稱現(xiàn)象,且剪切應力遠大于正應力.此外,在各向異性層合板的整個厚度范圍內,兩種堆疊順序的單向纖維層合板的位移與應力分布曲線均呈現(xiàn)出了良好的連續(xù)性.尤其是在層與層的界面處,位移及應力均保持穩(wěn)定的連續(xù)性.同時,上下界面處的應力值均為0,其與理論模型的預設邊界條件一致.上述位移及應力波結構的分布特征有效地驗證了所提方法的有效性.隨著中間層纖維角度的增加,致使相鄰層材料的性能參數(shù)的差異性逐漸增大.此時,位移與應力的分布曲線亦將呈現(xiàn)出明顯的波動現(xiàn)象.

3.3 溫度對各向異性層合板導波傳播特性的影響

為了理論揭示溫度變化對單向纖維層合板中超聲導波傳播特性的影響,基于所提理論方法,分別數(shù)值計算了堆疊順序為0°/0°/0°與0°/90°/0°的單向纖維層合板的導波頻散曲線.考慮到低頻范圍內的基礎模態(tài)具有獨特的弱頻散特征,常作為超聲導波檢測技術的實驗首選模態(tài).為了便于分析溫度對導波頻散特征的影響,以低頻范圍內(0～0.5 MHz)基礎模態(tài)的相速度頻散曲線為例,著重討論了溫度變化與頻散特征的內在關系,如圖6 所示.其中,帶有藍色實心六角星形、五角星形、三角形、菱形、正方形、圓形的藍色實線分別表示溫度為293 K,323 K,353 K,383 K,413 K,443 K 時的S0 模態(tài)頻散曲線,而帶有紅色實心六角星形、五角星形、三角形、菱形、正方形、圓形的紅色實線分別代表了溫度為293 K,323 K,353 K,383 K,413 K,443 K 時的A0 模態(tài)相速度頻散曲線.通過對比可以看出,在給定的溫度范圍內,無論是A0 模態(tài)還是S0 模態(tài)的相速度值均呈現(xiàn)出了相應的變化規(guī)律.為了便于分析,分別將紅色圓圈與藍色圓圈所示范圍的基礎模態(tài)進行局部放大,如圖6(a)和圖6(b)所示.有趣的是,隨著溫度的逐漸遞增,A0 模態(tài)相速度值均呈現(xiàn)均勻性的遞減趨勢;然而,S0 模態(tài)的相速度值卻表現(xiàn)為非均勻間隔的遞減現(xiàn)象,尤其是當溫度從323 K 上升至353 K 時,S0 模態(tài)的相速度值出現(xiàn)了明顯的突減現(xiàn)象,如圖6(b)所示.因此,揭示溫度場變化對超聲導波傳播特性的影響,可為含溫度場各向異性層合板的內部缺陷或粘接狀態(tài)等無損檢測與評估提供理論指導.

圖6 不同溫度下單向纖維層合板的頻散曲線Fig.6 Dispersion curves of unidirectional fiber laminates at different temperatures

為了進一步量化溫度對不同頻率處基礎模態(tài)的影響,詳細列舉了堆疊順序0°/0°/0°與0°/90°/0°的單向纖維層合板A0 模態(tài)與S0 模態(tài)的相速度值,如表3 與表4 所示.可以看出,在任意頻率處,基礎模態(tài)的相速度值均隨著溫度的增加呈現(xiàn)出降低的趨勢.

表3 不同頻率與溫度下的A0 模態(tài)相速度值Table 3 Phase velocity values of A0 modes at different frequencies and temperatures

表4 不同頻率與溫度下的S0 模態(tài)相速度值Table 4 Phase velocity values of S0 modes at different frequencies and temperatures

3.4 各向異性層合板導波相速度溫度敏感性分析

為了揭示不同頻率下溫度場變化對多模態(tài)相速度的影響規(guī)律,以堆疊順序為0°/90°/0°的復合材料層合板為例,將溫度場為493 K 的各向異性層合板的超聲導波頻散曲線與環(huán)境溫度293 K 結果進行差值處理,以獲取不同頻率下不同模態(tài)的相速度溫度敏感度變化曲線[28,33],如圖7 所示.可以看出,在0～1 MHz 頻率范圍內的相速度溫度敏感度均為負值,且對稱與反對稱模態(tài)的導波相速度溫度敏感度均呈現(xiàn)一定的頻散現(xiàn)象.其中,對于反對稱模態(tài)來說,高階模態(tài)A1 與A2 比基礎模態(tài)A0 對相速度的溫度敏感性更高,且在高階模態(tài)的截止頻率處表現(xiàn)出了很強的相速度熱敏感性.對于對稱模態(tài)來說,S2 模態(tài)的截止頻率處呈現(xiàn)出較強的相速度熱敏感性.

圖7 不同頻率下相速度溫度敏感變化曲線Fig.7 Temperature-sensitive variation curves of phase velocity at different frequencies

4 結論

針對溫度場下各向異性層合板結構中的超聲導波傳播特性分析方法,開展了理論及仿真研究,數(shù)值分析了溫度場變化對各向異性單向纖維層合板中導波頻散特性的影響規(guī)律,并得出以下結論.

(1)基于G-N 理論及狀態(tài)矩陣與勒讓德級數(shù)聯(lián)合法,并考慮界面間的位移、應力與溫度場的連續(xù)性邊界條件和自由應力邊界條件,構建了溫度場下各向異性層合板導波傳播特性的理論求解模型,實現(xiàn)溫度場狀態(tài)下各向異性層合板中導波頻散曲線及波結構的同時獲取.

(2)建立了溫度場下的多層各向同性材料的有限元仿真模型,從頻域角度分析了溫度場環(huán)境下銅/鋼/銅層合板中導波的傳播特性,并借助所提理論方法,計算了相同結構的超聲導波頻散曲線,此時仿真結果與理論數(shù)值計算結果吻合較好.

(3)基于所提理論模型,著重分析了堆疊順序、溫度變化對3 層單向纖維層合板中超聲導波傳播特性的影響規(guī)律.結果表明,隨著單向纖維層合板中間層旋轉角度的增加,S0 模態(tài)相速度呈現(xiàn)明顯的下降趨勢,而A0 模態(tài)相速度的變化較為輕微.同時,因層間材料性質的差異,A0 模態(tài)的位移及應力分布曲線的波動性逐漸嚴重.此外,隨著溫度的逐漸升高,相比于S0 模態(tài)而言,A0 模態(tài)表現(xiàn)出了理想的均勻性遞增趨勢.

(4)以堆疊順序為0°/90°/0°的復合材料層合板為例,分析了不同頻率下多模態(tài)相速度的溫度敏感度.結果表明,在0～1 MHz 頻率范圍內的相速度溫度敏感度均為負值,且對稱與反對稱模態(tài)的導波相速度溫度敏感度均呈現(xiàn)一定的頻散現(xiàn)象.后續(xù)將在狀態(tài)矩陣與勒讓德級數(shù)聯(lián)合法的基礎上,將熱應力引入至所提理論模型中,進一步揭示預應力場及溫度場對熱彈性導波傳播特性的影響.