陳天賜,張記云,鄂云亮,范光照,錢 鈞,婁志峰

(1.大連理工大學機械工程學院,遼寧大連 116024;2.大連理工高郵研究院有限公司,江蘇高郵 225600)

0 引言

空間坐標測量技術是制造裝備質(zhì)量提升的關鍵。典型的測量儀器有全站儀、激光跟蹤儀(laser tracker)、經(jīng)緯儀、工業(yè)攝影測量系統(tǒng)、iGPS等。與其它測量方法相比,激光跟蹤測量具有單站測量、精度高、動態(tài)性能好等特點,是工業(yè)機器人等裝備空間運動精度最常用的檢測方法。激光跟蹤測量是通過檢測與被測目標位置相關的距離與角度,得到目標的空間三維坐標。采用激光跟蹤測量方法檢定裝備的空間運動軌跡并進行誤差補償[1-3],或?qū)\動位姿在線引導[4-6],是提高裝備空間運動精度的有效途徑。K.Lau等進行了激光跟蹤儀的早期研究,分析了旋轉(zhuǎn)軸誤差和激光束對準誤差對空間測量精度的影響[7-8]。R.Loser等提出了激光跟蹤儀的標定方法,并建立了基于多體系統(tǒng)理論的誤差分析模型[9]。B.Muralikrishnan等分析了激光跟蹤儀的裝配誤差,如垂直軸與水平軸的相對偏差、激光束的位置偏差、編碼器的偏心等,并建立了完整的誤差分析系統(tǒng)[10]。為了簡化激光跟蹤儀的誤差補償方法,J.Conte等建立了基于DH理論的誤差模型[11]。

在激光跟蹤儀中,旋轉(zhuǎn)軸的角度測量誤差對儀器的測量精度影響很大。為了簡化激光跟蹤儀的測量原理,研究人員研制了可伸縮球桿(DBB)[12]和激光球桿(LBB)[13]等無源跟蹤儀器來實現(xiàn)目標的空間坐標測量。然而,它仍然需要多點測量方法來測量目標的空間位置。作者團隊將伸縮機構應用于激光跟蹤測量方法中,開發(fā)了三維激光球桿儀,實現(xiàn)了工業(yè)機器人等設備空間位置坐標的測量[14-16]。

本文提出了一種用于測量目標空間坐標的三維激光球桿儀。系統(tǒng)使用光柵尺來測量伸縮機構的位移以降低制造成本。本文分析了測量系統(tǒng)的主要誤差源,根據(jù)多體系統(tǒng)理論建立了誤差補償模型。并通過網(wǎng)格標定的方式基于幾何誤差模型非性優(yōu)化的方法對設備的誤差進行標定。提高了測量儀器單項誤差的標定精度。

1 三維激光球桿儀及誤差模型

1.1 設備的結構以及測量原理

三維激光球桿儀的結構如圖1所示。設備的構成包括1個高精度二維旋轉(zhuǎn)平臺和1個徑向伸縮機構(見圖2)。伸縮機構由直線導軌(包括1條導軌和2個滾珠滑塊)、1個支撐平板和1個移動板組成。移動板端部固定有標準球,標準球可通過磁座由移動端吸附,帶動伸縮機構沿導軌方向伸長并配合二維轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動,以實現(xiàn)測量一定空間范圍內(nèi)任意位置的坐標。由于伸縮機構的運動誤差影響設備的測量精度,在支撐板的末端固定了1個激光器,激光束通過水平軸與豎直軸的交點并垂直于中轉(zhuǎn)軸.將激光束投射到PSD位移傳感器上,實時測量端球的直線度誤差運動。伸縮機構的移動距離由直光柵測量,二維轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)角度由各自的圓光柵測量。

圖2 激光準直機構和伸縮機構示意圖

轉(zhuǎn)臺工作狀態(tài)下垂直于地面的軸為豎直軸,與地面平行的軸為水平軸。豎直軸和水平軸的交點O定義為設備工作空間球面坐標系的原點。伸縮機構的伸長量為R,二維轉(zhuǎn)臺兩軸轉(zhuǎn)動的角度值分別定義為θ角和φ角,因此,末端標準球的中心位于球坐標點P(R,θ,φ)。在直角坐標系下,伸縮機軸在初始狀態(tài)下與兩旋轉(zhuǎn)軸垂直時定義為Y軸。豎直軸和水平軸分別定義為Z軸和X軸。圓光柵測得豎直軸與水平軸轉(zhuǎn)角(θ與φ),線性光柵測得的伸縮機構伸縮長度(ΔR)。

1.2 設備的運動方程及誤差分析

應用多體系統(tǒng)理論分析三維激光球桿儀機構裝配誤差引起的測量誤差。設備的拓撲圖如圖3所示,它由豎直軸、水平軸和伸縮軸3個機構組成。理論上,激光束和伸縮機構的運動方向與伸縮軸應同軸。初始的坐標系是XYZ,而豎直軸、水平軸和伸縮軸的坐標系則分別用XiYiZi(i=1,2,3)表示。當設備處于初始狀態(tài)時,這些坐標系重合。

圖3 三維激光球桿儀的拓撲結構圖

當設備跟隨測量移動目標時,可以將設備的運動分解為以下過程。首先,豎直軸、水平軸與伸縮軸一起繞Z1軸旋轉(zhuǎn)θ。然后,水平軸與伸縮軸一起繞X2軸旋轉(zhuǎn)φ。最后,伸縮軸沿Y3軸移動。標準端球中心在基礎坐標系O-X2Y2Z2中的坐標(xa,ya,za)可以通過齊次變換矩陣(HTM)的方法表示如式(1)所示。

(1)

式中:R0為伸縮機構的初始長度;ΔR為伸縮機構伸長時的伸長量。

由于存在傳感器誤差、裝配誤差等,需要建立有效的空間誤差分析模型。圖4顯示了系統(tǒng)存在的主要誤差。

圖4 三維激光球桿儀的軸系誤差

三維激光球桿儀的軸系誤差包括水平軸與豎直軸之間的垂直度誤差(α)、水平軸和豎直軸不相交引起的偏移誤差(Δy)、激光光軸與豎直軸之間在初始狀態(tài)下的垂直度誤差(β)以及激光光軸與水平軸之間的垂直度誤差(γ)、激光束相對于基礎坐標系原點O2分別在水平軸方向和豎直軸方向上的偏移誤差(Δx,Δz)、伸縮機構的直線度運動誤差(δX,δZ)。此外,豎直軸和水平軸的角度測量誤差(εC,εA),伸縮機構測量誤差εR也是導致末端標準球空間位置誤差產(chǎn)生的主要因素,可以采用標準儀器提前對其進行標定。

針對測量系統(tǒng)中的幾何誤差,對式(1)進行修正,標準球的實際坐標應該由式(2)表示。

(2)

式中:

2 三維激光球桿儀的誤差標定

準確的標定出上述誤差項,對于減小設備測量誤差,提升測量精度至關重要。但是由于各項誤差對系統(tǒng)測量精度影響的耦合性以及測量系統(tǒng)結構限制,部分誤差單獨測量有時難度較大。學者提出誤差綜合校正方法,通過分析激光跟蹤測量方法的誤差傳遞機理,建立空間測量誤差模型,采用測量空間基準點的方法間接分析單項誤差。如將標準軌跡發(fā)生器分別固定在激光跟蹤儀周圍不同位置,形成多個標準圓軌跡,激光跟蹤儀分別對其進行檢測比對,基于空間圓平面約束標定法,數(shù)值優(yōu)化求解系統(tǒng)所有誤差[17]。綜合校正方法的目標是一次性解決系統(tǒng)所有誤差校正問題。

2.1 幾何誤差的標定原理

本文提出一種基于幾何誤差模型的空間網(wǎng)格誤差標定方法。由三坐標測量機產(chǎn)生準確的空間位置,構建測量設備與點的坐標之間的約束關系,并考慮在不同位置下系統(tǒng)和坐標測量機之間的位置關系。三坐標測量機的執(zhí)行器末端加裝與測量系統(tǒng)末端標準球搭配的磁吸底座,坐標測量機帶動設備到達空間中的指定位置,并輸出此點位在三坐標測量機坐標系下的空間坐標(xs,ys,zs)。設備所采集到的原始數(shù)據(jù)(R,θ,φ),通過式(2)的誤差模型能夠得出標準球球心Pb在測量基礎坐標系中的坐標,坐標測量機坐標系S到測量設備坐標系A之間的轉(zhuǎn)換矩陣構成形式如式(3)所示[18]:

(3)

根據(jù)坐標變換矩陣可將測量設備的坐標與坐標測量機的坐標進行統(tǒng)一,統(tǒng)一后的坐標值即可構建約束關系:

(4)

式中T為測量系統(tǒng)坐標系和坐標測量機坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 幾何誤差標定流程

2.2.1 構建約束

在每個標定位置locm(m=1～k)上的n個測量點可以構建3n個約束方程。3個約束是通過空間點的X,Y,Z軸坐標所建立。

(5)

2.2.2 優(yōu)化求解

在每個標定位置locm上,測量設備坐標系和坐標測量機坐標系之間的轉(zhuǎn)換關系由3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)、3個平移參數(shù)以及1個尺度參數(shù)確定,按照式(5)所構建的約束,求解超定方程組(式6)便可得出需要標定的誤差參數(shù)。

(6)

式中Xm為包含全部未知參數(shù)的向量。

Xm包含的誤差項有系統(tǒng)的幾何誤差[R0,α,Δy,γ,Δz,β,Δx]以及確定轉(zhuǎn)換矩陣的所需的旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)[Rm(x),Rm(y),Rm(z),ΔmX,ΔmY,ΔmZ]。

試驗所采用的多點標定方式,通過每個點的理論坐標和實際坐標的差值構建約束,可以通過計算目標函數(shù)(式(7))最小值,構建非線性最小二乘問題來解決數(shù)值優(yōu)化問題。

(7)

使用LM法求解此類非線性最小二乘問題,標定結果的好壞可以通過各個標定點的空間位置誤差來評定。

3 標定實驗及結果

為了驗證誤差補償模型的有效性和測量精度,通過與三坐標測量機的比對,進行了測量設備的空間誤差補償驗證試驗。標定過程中所使用的坐標測量機的型號Daisy686,測量范圍為600 mm×800 mm×600 mm,精度指標為(1.3+L/300) μm。標定的范圍為400 mm×400 mm×200 mm,間隔100 mm采集,每個標定位置共采集數(shù)據(jù)點75個,共標定4個位置。如圖5所示。

圖5 坐標測量機標定三維激光球桿儀

由于坐標測量機的標定范圍有限,同時各個誤差參數(shù)在不同的方位上敏感度不同,需要更改測量設備與坐標測量機的相對位置,實驗過程中調(diào)整設備與坐標測量機的相對位置。設備的總標定范圍為:伸縮機構伸長量R為0～400 mm,豎直軸轉(zhuǎn)角θ為-30°～30°,水平軸轉(zhuǎn)角φ為-20°～30°。

通過調(diào)整設備與坐標測量機的相對位置,以獲得測量系統(tǒng)在不同工作范圍下的測量數(shù)據(jù),按照指定的標定位置進行實驗,最終得到設備的各個誤差參數(shù)的標定值,如表1所示。

表1 測量系統(tǒng)的誤差項標定值

按照GB/T 12642—2013/ISO 9283中對機器人位置準確度的評定方式對標定結果進行評定[19]。位置準確度的計算方法如式(8)所示:

(8)

通過上述的評定方式,以3坐標測量機為基準,對測量設備在各位置下的測量誤差進行評定,分別比較使用測量值和使用標定值進行誤差補償?shù)男Ч?。如圖6所示。

(a)位置1:豎直軸轉(zhuǎn)角-30～0°,水平軸轉(zhuǎn)角-20°～10°

在得出單項誤差的標定結果之后,改變測量系統(tǒng)與坐標測量機的相對位置,在標定范圍內(nèi)的任意位置重新測量標定范圍(400 mm×400 mm×200 mm)內(nèi)的空間75點,重新進行測量,并與三坐標測量機進行比對。結果如圖7所示。

圖7 改變相對位置后標定值的補償效果

由圖7可知,標定后的誤差模型對設備進行補償之后,在不同位置下的絕對定位精度可達到0.06 mm。

4 結束語

本文介紹了一種用于空間定位精度檢測的三維激光球桿儀。系統(tǒng)由二維轉(zhuǎn)臺和徑向伸縮機構組成。與激光跟蹤儀相比,設備有著更簡單的結構和更低的制造成本。利于在制造設備行業(yè)普及。除此之外,本文還分析了設備在安裝調(diào)試過程中產(chǎn)生的對測量結果有較大影響的各類誤差,基于球面坐標測量原理和多體系統(tǒng)理論,建立了設備的空間位置誤差模型,確定了空間坐標與各個變量之間的函數(shù)關系。所有相關的幾何誤差都通過商用的三坐標測量機進行標定,從而對測量結果進行修正補償。本文通過實驗證明,通過三坐標測量機進行標定后的三維激光球桿儀的空間位置的準確度能夠達到0.06 mm。