王 麗

一、引言

反思表示對過去的事情進(jìn)行思考,在反思中總結(jié)經(jīng)驗、吸取教訓(xùn)。反思能力是學(xué)生個體批判性思維發(fā)展的基礎(chǔ),是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)全面發(fā)展的人時必須關(guān)注的內(nèi)容。學(xué)生只有具備良好反思能力,才能在定論中發(fā)現(xiàn)新問題、掌握知識點,才能批判性地接受新知識和新技能?？梢钥闯?具備較強反思能力的學(xué)生,能在解題過程中更深入地理解知識,使得解題的效率和質(zhì)量大幅提升;反之學(xué)生可能在解題時和解題后感到困惑,不利于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)。

二、數(shù)學(xué)解題和數(shù)學(xué)解題的反思

(一)數(shù)學(xué)解題的定義

數(shù)學(xué)解題即探索數(shù)學(xué)題答案的過程,在數(shù)學(xué)課程中答案被稱為“解”,因此可以將解題理解為求出數(shù)學(xué)題的解。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,解題其實是通過數(shù)學(xué)題目再發(fā)現(xiàn)知識的過程。解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容和學(xué)習(xí)基礎(chǔ),學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)題的解,能逐漸掌握相應(yīng)知識點和學(xué)習(xí)方法技巧,有利于學(xué)生綜合能力的提升,通過學(xué)生的解題能力,可以直接了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

(二)數(shù)學(xué)解題反思的定義

心理學(xué)認(rèn)知觀點中將反思列為一種元認(rèn)知,它包括在學(xué)習(xí)時對所涉及的知識、思路、策略、思想方法等進(jìn)行深入探究,明確學(xué)習(xí)中蘊含的知識本質(zhì),這種反思方式能對人未來的學(xué)習(xí)活動提供指導(dǎo),并非對過去的學(xué)習(xí)進(jìn)行簡單回顧。解題反思是學(xué)生對解題過程進(jìn)行再思考的方式,也是學(xué)生再次探究解題結(jié)果的過程,解題反思能對學(xué)生未來的思維活動提供指導(dǎo),有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)題中發(fā)現(xiàn)新的知識和問題,更有甚者還能從解題反思過程中發(fā)現(xiàn)新知識。這也決定了數(shù)學(xué)解題反思具有很強的自主性、探究性和發(fā)展性特征。學(xué)生在數(shù)學(xué)解題反思過程中,能通過深入探究題目、認(rèn)真審視解題結(jié)果,促使自身思維在反思的過程中變得更加嚴(yán)密,并在潛移默化中提高學(xué)生的解題能力,因此學(xué)生的反思能力和解題能力呈正相關(guān)關(guān)系。文章認(rèn)為高中數(shù)學(xué)解題過程中的反思能力,即學(xué)生圍繞已解答的數(shù)學(xué)題,自發(fā)對自己解題過程以及解題結(jié)果進(jìn)行再思考的過程,學(xué)生具備較強的解題反思能力,能為自己后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)。

三、高中數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的意義

(一)拓寬學(xué)生的解題思路

高中階段學(xué)生接觸的數(shù)學(xué)知識點之間有一定聯(lián)系,不同知識能夠組成一個整體。因此,學(xué)生在求數(shù)學(xué)題的解時,要掌握不同解題方法,并得出一致的、正確的結(jié)論。高中數(shù)學(xué)解題過程中,教師在培養(yǎng)學(xué)生反思能力時,要重視增強學(xué)生主動聯(lián)系知識點的能力,拓寬學(xué)生解題的思路,讓學(xué)生的思維變得更加靈活,避免學(xué)生在解題時思維停留在某一環(huán)節(jié),讓學(xué)生多反思、多探究,學(xué)會探究數(shù)學(xué)題的不同解法。學(xué)生如果具備較強的解題反思能力,就能更深入地體會數(shù)學(xué)的奧秘,在反思的過程中總結(jié)解題的經(jīng)驗,避免在后續(xù)解題時犯同樣的錯誤。數(shù)學(xué)解題方法多種多樣,從不同方向入手都能得到正確答案。因此教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,圍繞一道題目要通過多種思考途徑進(jìn)行講解,讓學(xué)生認(rèn)識到一道數(shù)學(xué)題并非只有一種解題思路,這樣就能讓學(xué)生在反思的過程中,逐漸拓寬自身思路,讓學(xué)生的思維更加活躍,在總結(jié)錯題經(jīng)驗的過程中,提高解題能力。

(二)提高學(xué)生的解題能力

數(shù)學(xué)題以考查學(xué)生掌握知識點的情況為目的,因此學(xué)生在解題后或者在解題時遇到不會的題目,一定要通過反思認(rèn)識到數(shù)學(xué)題考查的是哪些知識點,反思自己不會的題目或者做錯的題目是否因為自己對對應(yīng)知識點的掌握不夠牢固。傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師和學(xué)生可能認(rèn)為解題反思非常浪費時間,但實際上學(xué)生只有真正反思和總結(jié)各種類型的題目,才能真正意義上提高自己的解題能力。

四、高中數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的關(guān)鍵點

(一)數(shù)學(xué)概念及公理

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,概念與公理是無數(shù)專家學(xué)者經(jīng)過理論研究和實踐論證的成果,學(xué)生在解數(shù)學(xué)題的過程中,會直接套用這些概念和公理,尤其是在完成證明類的題型后,數(shù)學(xué)概念與公理能幫助學(xué)生順利解題,學(xué)生只有真正記住數(shù)學(xué)概念和公理,明確二者的含義,才能順利、準(zhǔn)確地完成數(shù)學(xué)解題任務(wù),因此在培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力時,數(shù)學(xué)概念及公理是教師要關(guān)注的重點。

(二)數(shù)形結(jié)合

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合是一種重要思想,尤其是在對函數(shù)、方程等題型進(jìn)行求解的過程中,可以將數(shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的圖畫,更方便學(xué)生對數(shù)學(xué)題的理解,讓數(shù)學(xué)知識直觀呈現(xiàn)出來。學(xué)生掌握利用圖形表達(dá)數(shù)學(xué)題內(nèi)容的方式,能降低學(xué)生解題的難度,如果學(xué)生在建立與數(shù)學(xué)題對應(yīng)的圖像后,可以從圖像中快速找到解題的關(guān)鍵信息,就能順利找到數(shù)學(xué)題的答案。因此,對學(xué)生解題反思能力的培養(yǎng),要將數(shù)形結(jié)合作為關(guān)注的重點。

(三)函數(shù)與方程思想

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊含豐富的知識點,其中函數(shù)知識點的抽象性很強,需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí),便于更好地理解函數(shù)的本質(zhì)。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題時,其具備的函數(shù)思維對解題過程以及解題結(jié)果都有決定性作用,學(xué)生只有具備函數(shù)思維,才能有效地解決函數(shù)問題。而方程在解題時的應(yīng)用,也是解決數(shù)學(xué)題的重點,在應(yīng)用相應(yīng)知識點的過程中,要高度重視方程函數(shù)思維和基礎(chǔ)知識間的轉(zhuǎn)換,避免學(xué)生在解題的時候出現(xiàn)差錯。

(四)分類討論

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,當(dāng)在涉及復(fù)雜的解題任務(wù)時,采用分類討論的方法,能幫助學(xué)生克服解題時面臨的困難,倘若學(xué)生掌握了正確的分類討論方法,就可以在解題過程中更快地理解數(shù)學(xué)題的內(nèi)容。因此,教師在培養(yǎng)學(xué)生解題反思能力的過程中,要注重培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力,通過引導(dǎo)學(xué)生圍繞重點題目進(jìn)行分類討論,有效應(yīng)對各類復(fù)雜的挑戰(zhàn)。

五、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常見的問題

(一)習(xí)題選擇與審題不嚴(yán)謹(jǐn)

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師如果能為學(xué)生選擇典型的習(xí)題,學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)效率等會大幅提升,在培養(yǎng)學(xué)生反思能力時也能達(dá)到事半功倍的效果。但從目前的情況來看,有些教師在選擇數(shù)學(xué)習(xí)題時存在一定隨意性,一般是根據(jù)教材內(nèi)容按順序為學(xué)生提供習(xí)題,未科學(xué)地對各類習(xí)題的質(zhì)量進(jìn)行分析,導(dǎo)致最終選擇的許多習(xí)題缺少代表性、經(jīng)典性,這些問題的存在不利于學(xué)生對某一知識點的掌握,會嚴(yán)重影響學(xué)生解題的效率。部分教師對學(xué)生審題缺少關(guān)注,可能導(dǎo)致學(xué)生在審題時面臨審題方法選擇不合理、審題過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r,學(xué)生通過審題可能無法了解題意,這樣就會增加學(xué)生解題的難度,導(dǎo)致學(xué)生解題的速度和質(zhì)量大幅下降,不利于學(xué)生解題、反思等能力的提升。

(二)解題訓(xùn)練的方式單一

部分教師在組織開展解題教學(xué)時,更關(guān)注解題與教學(xué)進(jìn)度的一致性,重視學(xué)生解題能力的提升,喜歡采用題海戰(zhàn)術(shù),讓學(xué)生通過反復(fù)解題掌握各類題型的解法。對學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生來說,由于長時間進(jìn)行反復(fù)解題,接觸的高難度習(xí)題較少,可能會逐漸對解題探究失去興趣;而對學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生來說,其基礎(chǔ)知識還不夠牢固,在解題過程中難以保證效率,并且會遇到無法解決的難題,這樣就會導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣下降?？梢钥闯?在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,還存在訓(xùn)練方式單一的情況,不利于學(xué)生解題能力與反思能力的培養(yǎng),有必要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的解題教學(xué)方式。

(三)選擇的解題方法不科學(xué)

傳統(tǒng)教育思想影響下,有的教師在解題教學(xué)中,缺少創(chuàng)新的意識,可能會影響學(xué)生參與解題的積極性,不利于培養(yǎng)學(xué)生的解題與反思能力。部分教師在解題教學(xué)中很少采用創(chuàng)新性和趣味性的教學(xué)方法,一般通過板書、口頭講解指導(dǎo)學(xué)生解題;一些教師在解題教學(xué)中,未明確學(xué)生的主體性,教師完全主導(dǎo)了整個解題教學(xué)過程,學(xué)生接受知識和解題的過程十分被動,這會限制學(xué)生思維發(fā)散的空間,還有部分學(xué)生對教師的講解產(chǎn)生過度依賴性,難以通過解題鍛煉學(xué)生的思維能力、探究能力。

(四)解題后缺少總結(jié)探究

部分教師與學(xué)生在解題后,缺少主動總結(jié)、探究和反思,對解題結(jié)束后這一階段的認(rèn)識存在不足,認(rèn)為完成解題并得出正確答案后解題就已經(jīng)結(jié)束。部分教師在解題教學(xué)中,很少會圍繞學(xué)生的解題思路與方法展開總結(jié),這種教學(xué)方式不利于學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律和解題方法,也不利于學(xué)生解題思維的形成。有些學(xué)生對錯題的關(guān)注度偏低,沒有主動整理和利用錯題,在解題后的反思環(huán)節(jié),主動避開錯題,這就導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中逐漸出現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié),學(xué)生即便通過了積極反思,也無法彌補和鞏固自己在解題中的薄弱點,這會嚴(yán)重制約學(xué)生解題能力的發(fā)展。

六、高中數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的策略

(一)精心選擇習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生審題

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師為學(xué)生選擇的習(xí)題,直接會影響教學(xué)效果,對學(xué)生解題與反思能力的養(yǎng)成起到?jīng)Q定性作用。數(shù)學(xué)題是學(xué)生反思的立足點,學(xué)生在思考、探究、解答的過程中,能逐漸養(yǎng)成一定的反思能力。教師要關(guān)注數(shù)學(xué)題的選擇,精心選擇具有針對性、代表性的題目,便于學(xué)生在解題的過程中主動反思、學(xué)有所獲。教師在選擇數(shù)學(xué)題時,要綜合考慮學(xué)生所學(xué)的知識,保證數(shù)學(xué)題中的概念、公理等能被學(xué)生理解,降低學(xué)生解題的難度,為培養(yǎng)學(xué)生的反思能力作好鋪墊。教師要考慮到不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生的特點,選擇難度適宜的數(shù)學(xué)習(xí)題。以“函數(shù)的概念與性質(zhì)”為例,為了讓學(xué)生理解函數(shù)的定義域,教師可以選擇下列兩道習(xí)題：①如f(x)定義域為[-3,3],則f(3x+5)的定義域為?②如f(x)的定義域為[-3,3],則f(3x)的定義域為?教師在選擇好數(shù)學(xué)題后,要給學(xué)生自由選擇習(xí)題的機會,讓學(xué)生根據(jù)自己的能力水平,選擇最合適的數(shù)學(xué)題進(jìn)行解答。教師選擇了合適的習(xí)題后,要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題,鼓勵學(xué)生在審題的同時反思習(xí)題中的知識點,從中找到正確的解題方法,明確不同解題思路,為培養(yǎng)學(xué)生的解題反思能力做好鋪墊。教師要分別帶領(lǐng)學(xué)生對題目中的知識點以及題目給出的條件進(jìn)行反思,帶領(lǐng)學(xué)生探究題目中蘊含的隱形條件,指導(dǎo)學(xué)生對各種條件進(jìn)行挖掘與利用,在此基礎(chǔ)上找到正確的解題思路。

(二)創(chuàng)新訓(xùn)練方式,提煉解題方法

教師在解題教學(xué)中要適當(dāng)整合教材中的內(nèi)容,將教材內(nèi)容細(xì)分、重組,將知識點與相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)合起來,并重新展示給學(xué)生。教師只有不斷在學(xué)生面前呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的能力,才能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于解題實踐,真正地提高學(xué)生的解題能力。在解題教學(xué)中,教師要想培養(yǎng)學(xué)生的反思能力,要注重對解題訓(xùn)練方式進(jìn)行創(chuàng)新,不僅要重視解題結(jié)果的正確與否,還要帶領(lǐng)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思。例如,在“基本不等式”的學(xué)習(xí)中,圍繞不等式3<|2x-3|<5 (1)求解,教師可以傳授學(xué)生兩種不同解法,并讓學(xué)生按照不同解法自主解題：①不等式(1)等價于不等式|2x-3|>3、|2x-3|<5,分別進(jìn)行求解后可知不等式(1)的解集為{x|3

(三)創(chuàng)新解題方法,反思促進(jìn)解題質(zhì)量提升

教師要主動轉(zhuǎn)變過去反復(fù)進(jìn)行解題訓(xùn)練和整體把控解題過程的教學(xué)模式,尊重學(xué)生的主體性,主動創(chuàng)新解題教學(xué)方法和策略,為學(xué)生提供足夠的自主探究和創(chuàng)造反思時間。如教師在解題教學(xué)中,可以傳授學(xué)生一題多解的反思方法,引導(dǎo)學(xué)生深入探究題目,深挖題目中的隱性條件,提煉并總結(jié)題目規(guī)律,在此基礎(chǔ)上調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。例如,在習(xí)題(2)中：已知定點C的坐標(biāo)為(2,2),過點C的直線CA和x軸相交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線CB和y軸的交點為B,設(shè)點M是線段AB的中點,求解M的軌跡方程。對這一習(xí)題進(jìn)行求解的過程中,教師首先要帶領(lǐng)學(xué)生理清解題思路。解答習(xí)題(2)的重點是要找到動點M和固定點C二者的關(guān)系,并在坐標(biāo)軸上標(biāo)注處理;教師要讓學(xué)生思考M可以滿足哪些條件,同時關(guān)注題目中給出的CB和CA垂直的條件,由此可知可以通過CB和CA兩條直線垂直斜率的乘積為-1來表示這一性質(zhì),并由此延伸出兩種解題方法。

∴(2x-2,2)·(-2,2y-2)=0,

∴習(xí)題(2)的軌跡方程為x+y-2=0。

對解法一進(jìn)行反思,要考慮除了斜率乘積為-1能對直線的垂直關(guān)系進(jìn)行表示外,還要讓學(xué)生反思是否能用其他數(shù)學(xué)符號表示。如學(xué)生在之前學(xué)習(xí)了向量知識,兩平面向量垂直即它們的數(shù)量積為0,在這樣的條件下是否能在不討論斜率的情況下得出其他解法。每一解法之間環(huán)環(huán)相扣,學(xué)生通過反思不僅可以掌握習(xí)題的正確解法,還能在反思、解題的過程中聯(lián)系不同的知識點。

(四)反思解題結(jié)果,提高學(xué)生的認(rèn)知

七、高中數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的注意事項

(一)及時糾正錯誤

高中數(shù)學(xué)解題過程中,學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤,需要學(xué)生通過反思了解怎樣糾正自己的錯誤,只有這樣才能幫助學(xué)生在解題過程中建構(gòu)完整的思考過程。學(xué)生對錯誤解題的反思必須要及時,教師只有引導(dǎo)學(xué)生趁熱打鐵,才能通過反思強化解題效果。當(dāng)學(xué)生在課堂上為學(xué)生展示數(shù)學(xué)習(xí)題后,發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主解題時出現(xiàn)了錯誤,教師圍繞學(xué)生的錯誤進(jìn)行講解時,課堂上并沒有學(xué)生對教師講解的內(nèi)容提出異議,教師可能認(rèn)為所有學(xué)生都能聽懂。但是當(dāng)教師為學(xué)生布置了同類數(shù)學(xué)作業(yè)后,會發(fā)現(xiàn)學(xué)生仍然出現(xiàn)了同樣的錯誤。在這個時候,教師如果不及時糾正,可能導(dǎo)致學(xué)生形成錯誤的記憶和錯誤的解題思路,并在潛移默化中養(yǎng)成不良解題習(xí)慣。針對上述問題,教師必須加強對學(xué)生的引導(dǎo),盡量在當(dāng)堂課或者當(dāng)天帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思,保證糾正錯誤的及時性,以此提高解題反思的價值,力求通過對學(xué)生提供指導(dǎo),帶領(lǐng)學(xué)生在總結(jié)反思的過程中認(rèn)識錯誤、改正錯誤,并在教師的嚴(yán)格督促下,讓學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣。

(二)認(rèn)真分析題目

高中數(shù)學(xué)解題過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研究和分析數(shù)學(xué)題目,帶領(lǐng)學(xué)生通過題目的語言表述,發(fā)現(xiàn)有利于解題的線索,力求在題目中發(fā)現(xiàn)新問題。數(shù)學(xué)解題期間,學(xué)生要記憶好常用的結(jié)論,對數(shù)學(xué)知識點要形成深入理解,圍繞數(shù)學(xué)問題展開研究。如習(xí)題直線(4)中：L點經(jīng)固定點C(3,5),同時與x和y軸的正半軸相交,與x的交點為A,與y軸的交點為B,計算△AOB的面積,教師在帶領(lǐng)學(xué)生分析題目內(nèi)容時,可以帶領(lǐng)學(xué)生將這個坐標(biāo)軸畫出來,直觀觀察△AOB的位置,也可以向?qū)W生提問：①△AOB在第幾象限?②△AOB是哪種類型的三角形?③求直角三角形面積的方法有多少種?教師在帶領(lǐng)學(xué)生分析題目的過程中,結(jié)合題目內(nèi)容適當(dāng)提問,就能更好地幫助學(xué)生理解題目,這樣一來學(xué)生就能通過對問題的反思,找到正確的解題方向。

(三)重視歸納總結(jié)

總結(jié)和反思,能幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)習(xí)題中不同知識點的聯(lián)系和差別,學(xué)生不僅要學(xué)會解題,還要學(xué)會反思,不斷歸納總結(jié),了解習(xí)題中數(shù)學(xué)知識點之間的邏輯關(guān)系,在此基礎(chǔ)上感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題反思的樂趣。尤其是在面對同一習(xí)題可以采用多種解題方法時,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思怎樣利用不同方法進(jìn)行解題,整理各種解題方法,通過回顧、反思的方式,進(jìn)一步鞏固學(xué)生的思維形式,讓學(xué)生掌握解決習(xí)題的正確方法,在潛移默化中提高學(xué)生的解題能力與反思能力,養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣,確保學(xué)生在反思過程中能提高自身對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識,將原有知識點與分散知識點聯(lián)系起來,形成完整的知識體系和方法體系。

八、結(jié)論

綜上所述,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生的反思能力和解題能力呈正相關(guān)關(guān)系,解題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,在解題教學(xué)中需要教師將培養(yǎng)學(xué)生反思能力作為重點,主動探尋培養(yǎng)學(xué)生反思能力的方法。數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師要為學(xué)生留下足夠的反思時間,將正確答案、錯誤習(xí)題等都作為反思的對象,不僅要調(diào)動起學(xué)生的思維,還要引導(dǎo)學(xué)生深入探究習(xí)題,只有這樣,學(xué)生才能逐漸養(yǎng)成較強的反思能力。