徐 樂

(江蘇省靖江市外國語龍馨園學(xué)校,江蘇 靖江 214500)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)是為了解決問題,解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分.解決數(shù)學(xué)問題就是要按照題目要求求出正確的解,充分運(yùn)用已經(jīng)習(xí)得的數(shù)學(xué)知識,將解決問題需要的條件和結(jié)論有機(jī)聯(lián)系起來.

1 學(xué)生解題錯誤類型及分析

1.1 概念、性質(zhì)混淆不清

學(xué)生在解答代數(shù)式問題時,容易將概念、性質(zhì)混淆,尤其是對含義相近的概念區(qū)分有難度,不能從深層次理解數(shù)學(xué)概念,將概念、性質(zhì)混為一談.正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),同時也是正確解題的前提.當(dāng)對數(shù)學(xué)概念的理解模糊不清、不能全面把握成立的條件和結(jié)論解題就會出現(xiàn)錯誤,概念性錯誤是學(xué)生解答代數(shù)式問題常見的錯誤.部分學(xué)生過分注重做題,忽略對概念的理解,對于整式、分式、二次根式等基礎(chǔ)性概念不求甚解,認(rèn)為理解概念對解題影響不大,導(dǎo)致概念性錯誤成為學(xué)生解答代數(shù)式問題的重要錯誤類型,機(jī)械套用公式的錯誤層出不窮[1].

案例剖析:

因式分解:(1)(x-2)2-16 (2)a2-5a+6 (下面是學(xué)生的錯誤解答:

解(1) 原式=(x+2)(x+2)-16=x2+2x+2x+4-16=x2+4x-12

錯誤分析:第(1)題的解題錯誤很明顯,因式分解是將多項式轉(zhuǎn)換成整式相乘的形式,學(xué)生對因式分解的概念理解不深刻,沒有將因式分解與整式的結(jié)構(gòu)區(qū)分清楚;對應(yīng)用平方差公式因式分解沒有掌握;第(2)題表面上看是幾個整式相乘的形式,雖然將原式轉(zhuǎn)換成幾個式子相乘的形式.但其中的式子不是整式,與因式分解的概念不相匹配,學(xué)生在解答過程中對因式分解的概念沒有做到深入理解.對二次方程的求根公式及用法掌握不好,對二次函數(shù)的一般式與零點(diǎn)式的關(guān)系要加強(qiáng)訓(xùn)練.提取公因式是將每一項共有的部分提取,但是對公因式的概念沒有準(zhǔn)確認(rèn)知.

常見的錯誤解答:(1)原式=(x-1)(x+1)-x2=x2-1-x2=-1

(2) 因?yàn)樽詈喒帜笧?a+2)(a-2)

所以原式=(a-2)-2(a+2)=a-2-2a-4=-a-6.

錯誤剖析:對分式進(jìn)行化簡,與解方程的運(yùn)算性質(zhì)容易混淆,化簡過程是分子分母同乘以相同的且不等于0的數(shù)或代數(shù)式,分式化簡的本質(zhì)是等值代換,解分式方程則可以在等式成立的前提下去分母,兩者性質(zhì)存在本質(zhì)區(qū)別.

1.2 忽視公式、定理成立的前提

初中學(xué)生在解答代數(shù)式問題時常出現(xiàn)的另一類錯誤是忽視公式定理成立的前提,只是從淺層次記憶公式、定理,對公式、定理成立的前提理解不透徹,經(jīng)常出現(xiàn)生搬硬套的現(xiàn)象.公式、定理是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分,是解決代數(shù)式問題的有力武器.學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)式時,每當(dāng)學(xué)習(xí)一則公式或定理,都必須要弄清公式、定理成立的前提,掌握怎樣用公式或符號表達(dá).尤其是性質(zhì)應(yīng)用的前提,因?yàn)閿?shù)學(xué)公式和性質(zhì)都有自身的應(yīng)用范圍[2].如果只從形式上記憶公式和定理,而不考慮靈活運(yùn)用公式、定理、性質(zhì),對于公式成立的條件視而不見,在解題時盲目套用公式極易出現(xiàn)錯誤,條件和結(jié)論是數(shù)學(xué)命題的重要組成部分.在解決代數(shù)式的相關(guān)問題時,學(xué)生往往會忽視其中隱藏的公式或定理成立的前提,對公式、定理或者性質(zhì)應(yīng)用的條件把握不準(zhǔn),進(jìn)而出現(xiàn)解題錯誤.

2 應(yīng)對學(xué)生代數(shù)式解題錯誤的策略

學(xué)生在解答代數(shù)式問題時會出現(xiàn)各種類型的錯誤,需要教師加強(qiáng)教研,探索并找尋幫助學(xué)生減少錯誤的策略.在解答代數(shù)式問題過程中,針對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤,提出以下三條預(yù)防和減少學(xué)生出現(xiàn)解題錯誤的策略.

2.1 重視代數(shù)式相關(guān)概念、性質(zhì)的理解

整式、分式、二次根式是解決代數(shù)式問題經(jīng)常應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念,學(xué)生一旦對上述概念理解不深刻,就容易出現(xiàn)解題錯誤.例如,當(dāng)學(xué)生不能深入理解二次根式、平方根、算術(shù)平方根的概念時,就無法準(zhǔn)確判斷三者之間的區(qū)別和聯(lián)系,在解決代數(shù)式問題時就無從下手.學(xué)生對代數(shù)式相關(guān)概念熟視無睹,總是認(rèn)為不深入理解分式、二次根式的概念也不會影響解答問題,但事實(shí)上忽略概念的學(xué)習(xí)往往是解題出錯的一大根源.例如,學(xué)生在學(xué)習(xí)二次根式會時會遇到較大困難,因此,在解答二次根式相關(guān)題目之前,要引導(dǎo)學(xué)生首先認(rèn)識二次根式是一種代數(shù)式,而且有適合自身的運(yùn)算法則和性質(zhì),通過認(rèn)識二次根式的運(yùn)算法則和性質(zhì)來幫助學(xué)生深入理解其本質(zhì),在此基礎(chǔ)上,以法則和性質(zhì)為依據(jù)進(jìn)行式子的恒等變換.

2.1.1排除舊經(jīng)驗(yàn)對新概念理解的干擾

2.1.2重視新概念、公式的建構(gòu)

以因式分解的概念理解為例,其概念有兩方面的含義,一種是注重代數(shù)思維的符號操作,另一種是按照規(guī)則進(jìn)行推理,分別傾向于操作與建構(gòu).在解題之前重新建構(gòu)因式分解的概念,首先要從具體的運(yùn)算操作開始,通過操作認(rèn)識對象的獨(dú)特結(jié)構(gòu).具體指的是將多項式進(jìn)行恒等變換的運(yùn)算操作,將復(fù)雜的多項式轉(zhuǎn)變成較為簡單的整式相乘的形式.學(xué)生解題錯誤的實(shí)質(zhì)還是因式分解不徹底,說明學(xué)生對因式分解的概念理解不透徹,對于因式分解的程度把握不準(zhǔn).尤其是含有乘法公式的因式分解出現(xiàn)錯誤概率更高,因此,學(xué)生在解題之前應(yīng)當(dāng)完全掌握乘法公式與因式分解的完整建構(gòu)過程.比如,

x2-y2=x2+xy-xy-y2=x(x+y)-y(x+y)=(x+y)(x-y),

x2+2xy+y2=x2+xy+xy+y2=x(x+y)+y(x+y)=(x+y)(x+y)=(x+y)2,

x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2,

2.1.3在概念教學(xué)中舉例必須具有典型性

數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征越顯著,學(xué)習(xí)難度越小,而非本質(zhì)特征越明顯,學(xué)習(xí)難度越大.所以,在概念教學(xué)中,教師要精心選擇體現(xiàn)概念本質(zhì)特征的典型例子,幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)難度.比如,在教學(xué)“單項式”的概念時,主要引導(dǎo)學(xué)生從單項式的定義、系數(shù)、次數(shù)等方面理解單項式.從定義角度講,可以分類舉例,第一類也是最典型的特征“數(shù)字與字母的積”,可以列舉形如6y2,-118ab,n等,讓學(xué)生明白單獨(dú)的字母是系數(shù)為1的單項式;從系數(shù)角度講,系數(shù)既可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù),應(yīng)當(dāng)特別舉例y,-b以及5,-13等系數(shù)特殊的單項式;從次數(shù)角度講,舉例既要包括y2,24a2,又要有13xy,-5ab3等,并且讓學(xué)生著重認(rèn)識“數(shù)字單項式”的次數(shù).基于以上三方面列舉典型例子,能夠幫助學(xué)生抓住概念的本質(zhì)特征,減少錯誤的出現(xiàn).

2.2 加強(qiáng)代數(shù)式運(yùn)算法則理解

2.2.1準(zhǔn)確記憶法則

代數(shù)式的運(yùn)算法則豐富多樣,整式、二次根式、分式都有自身的四則運(yùn)算法則.在關(guān)于代數(shù)式的解題運(yùn)算中,學(xué)生經(jīng)常會混淆各類運(yùn)算法則,因此,在解題之前學(xué)生首先要正確區(qū)別運(yùn)算法則,而且對各類代數(shù)式的運(yùn)算法則做到準(zhǔn)確記憶.

2.2.2遵循運(yùn)算規(guī)則

在解答分式和二次根式的問題時,有學(xué)生還會根據(jù)乘法分配律錯誤地創(chuàng)造出除法分配率.比如在解答分式問題時就容易錯誤拓展乘法分配律:

讓學(xué)生對錯誤算式進(jìn)行分析,獨(dú)立尋找其中的錯誤,為了表達(dá)更直觀,可以帶入具體數(shù)字,總結(jié)得出分配率不適用于除法,同時也使學(xué)生感受到除法更加復(fù)雜.解答代數(shù)式問題要嚴(yán)格遵照運(yùn)算法則進(jìn)行,不能隨便創(chuàng)造運(yùn)算法則,在代數(shù)式的同一級運(yùn)算中,必須嚴(yán)格遵照從左到右的運(yùn)算順序進(jìn)行計算.