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        2023年高考數(shù)學(xué)北京卷平面解析幾何解答題的多解、背景及推廣

        2023-10-26 11:05:28甘志國
        數(shù)理化解題研究 2023年28期

        甘志國

        (北京豐臺二中,北京 100071)

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)若點P為橢圓E上位于第一象限的動點,直線PD與BC交于點M,直線PA與直線y=-2交于點N,求證:MN∥CD.

        (2)先作出滿足題意的圖形如圖1所示.

        圖1 2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第19題

        解法1 (設(shè)點并用橢圓的普通方程)可求得點A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

        設(shè)點P(x0,y0),可得

        求得直線PD與BC的交點

        直線PA與直線y=-2的交點

        進(jìn)而可求得直線MN的斜率

        所以MN∥CD.

        解法2 (設(shè)點并用橢圓的參數(shù)方程)可求得點A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

        求得直線PD與BC的交點

        直線PA與直線y=-2的交點

        進(jìn)而可求得直線MN的斜率

        所以MN∥CD.

        解法3 (常規(guī)方法設(shè)直線)可求得點A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

        可設(shè)直線PD:y=k(x-3)(k<0),

        進(jìn)而可求得直線PD與BC的交點

        (9k2+4)x2-54k2x+81k2-36=0.

        由題設(shè)知,這個關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根[1],且由韋達(dá)定理可得

        進(jìn)而可求得直線PA與直線y=-2的交點

        再求得直線MN的斜率

        所以MN∥CD.

        解法4 (反設(shè)直線)可求得點A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

        可設(shè)直線PD:x=my+3(m<0),

        進(jìn)而可求得直線PD與BC的交點

        (4m2+9)y2+24my=0.

        進(jìn)而可求得直線PA與直線y=-2的交點

        再求得直線MN的斜率

        所以MN∥CD.

        注這道高考題的背景是帕斯卡(BLAISE PASCAL,1623-1662)定理“二次曲線內(nèi)接六邊形(包括退化的情形)的三組對邊的交點共線”[2].

        如圖1所示,橢圓E的退化內(nèi)接六邊形ABCCDP的三組對邊AB與CD,BC與DP,CC(即直線y=-2)與AP的交點(無窮遠(yuǎn)點、M,N)共線,也即AB∥CD∥MN.

        由此,還可給出該題的一般情形的結(jié)論:

        由帕斯卡定理,讀者可編擬出很多類似于本文開頭高考題的題目.

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