賀鳳梅 李昌成

(1.新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué),新疆 伊犁 835400;2.新疆烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊 830002)

題目(2022年全國(guó)高考甲卷理科數(shù)學(xué)第20題) 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交C于M,N兩點(diǎn),當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

1 總體分析

本題是2022年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第20題,是本卷壓軸題之一,第(2)問(wèn)是蝴蝶定理背景下的直線與拋物線的綜合題. 試題命題立意新穎,低起點(diǎn)、入口寬,適合多視角探究解答. 試題能充分考查學(xué)生的運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,屬于難題. 筆者針對(duì)此題,擬從不同的角度進(jìn)行分析解答,不斷優(yōu)化解題思路,揭示問(wèn)題的本質(zhì),先分享于此,以饗讀者.

2 試題解答

2.1 第(1)問(wèn)解析

解得p=2,所以C:y2=4x.

2.2 第(2)問(wèn)解析

y2-4my-4=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

y1+y2=4m,y1y2=-4.

①

設(shè)MD:x=ny+2,A(x3,y3),B(x4,y4),

y2-4ny-8=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

y1+y3=4n,y1y3=-8.

而當(dāng)m<0時(shí),α-β無(wú)法取得最大值.

所以直線AB方程為

評(píng)注此問(wèn)的顯著特點(diǎn)是有很多的點(diǎn)和線,但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)和線相互關(guān)聯(lián),只需定好其中一個(gè)點(diǎn),就可以很好地聯(lián)系其他的點(diǎn)和線,容易尋求相同的結(jié)構(gòu),利用同一法求解,簡(jiǎn)化運(yùn)算,解法1很好地詮釋了這一思路和解答過(guò)程.

即(y1-y3)(y1y3+8)=0.

顯然y1≠y3.

因?yàn)镹,D,B三點(diǎn)共線,則kND=kBD.

同理可求得y2y4=-8,

設(shè)直線MN的方程為x=my+1(m≠0),

由解法1中①式可知

y1+y2=4m,y1y2=-4.

故直線AB方程為

評(píng)注此解法的特點(diǎn)在于根據(jù)三點(diǎn)共線,斜率存在時(shí),利用斜率相等找到點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)而找到兩直線MN與AB斜率之間的關(guān)系,借助于基本不等式,求出當(dāng)α-β最大時(shí)kAB的值,利用取等條件得出m的值.進(jìn)而求出y1,導(dǎo)出y3,再求出x3,即得點(diǎn)A的坐標(biāo),最后求出直線AB的方程.只要理清解題思路,加上適當(dāng)?shù)挠?jì)算能力及技巧,解題可以順利進(jìn)行.

化簡(jiǎn)整理,得

(y1-y2)(y1y2+4)=0,且y1≠y2.

所以y1y2=-4.

②

即(y1-y3)(y1y3+8)=0.

因?yàn)閥1≠y3,故y1y3=-8.

③

同理y2y4=-8.

④

由②③,得y3=2y2,

由②④,得y4=2y1,

所以kMN=2kAB,tanα=2tanβ.

要使α-β最大,必有α>β,且α,β均為銳角,

所以y3y4=-4n.

而y3y4=4y1y2=4×(-4)=-16,

所以n=4.

所以2n·(m2-1)-2m·(n2-1)=0.

化簡(jiǎn)整理,得

(m-n)(mn+1)=0,且m≠n.

所以mn=-1.

同理由D,M,A和D,N,B三點(diǎn)分別共線求得am=-2,bn=-2.

所以kMN=2kAB,tanα=2tanβ.

評(píng)注此解法用到了拋物線的參數(shù)方程,求解更簡(jiǎn)潔,教材對(duì)于拋物線的參數(shù)方程僅在課本選修4-4中簡(jiǎn)單提及,學(xué)生不一定熟練掌握,需要老師們留心.

3 總結(jié)升華

通過(guò)研究高考真題,發(fā)現(xiàn)在復(fù)習(xí)備考的征途中,特別是對(duì)于一些有文化背景的題,教師要有足夠的耐心,深度解析各種方法,讓學(xué)生在比較中開(kāi)拓思路.因此,我們要充分利用好高考經(jīng)典試題,從不同視角、不同解法深度解讀,長(zhǎng)此以往,一定能提升復(fù)習(xí)備考的效果[2].