馬建軍,韓書娟,高笑娟,李 達,郭 穎

(1. 河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 河南 洛陽 471023; 2. 河南省建筑安全與防護工程技術(shù)研究中心, 河南 洛陽 471023)

0 引言

樁基礎(chǔ)作為一種經(jīng)濟有效的深基礎(chǔ)形式,目前已廣泛應(yīng)用于工業(yè)建筑和民用住宅中[1]。已有研究表明,沖刷是導(dǎo)致樁基失效的重要原因,沖刷導(dǎo)致基床被移除,地基對樁基地支承和約束效應(yīng)降低,可能導(dǎo)致上部結(jié)構(gòu)坍塌[2]。LIN等[3]提出一種簡化方法評估了沖刷孔尺寸對砂土中橫向受荷樁響應(yīng)的影響;ZHANG等[4]研究了應(yīng)力歷史、沖刷深度、沖刷寬度和沖刷孔坡角對軟黏土中橫向受荷樁響應(yīng)的影響。

為滿足樁基的水平承載需求,橫向受荷樁的動力學(xué)研究已成為一個熱點問題[5]。國內(nèi)外學(xué)者對水平荷載下單樁的動力學(xué)特性進行了廣泛研究,其理論模型可歸為3類:連續(xù)介質(zhì)理論、有限元或邊界元和Winkler地基梁模型。利用連續(xù)介質(zhì)模型,POULOS[6]分析了黏土中樁基在準(zhǔn)靜態(tài)循環(huán)荷載作用下的撓度,MILLN等[7]研究了簡諧激勵作用下樁基支撐結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。基于動力 Winkler模型(BDWF),胡安峰等[8]得到了黏彈性地基中單樁動力響應(yīng)的解析解。

對于復(fù)雜場地中的樁基,可采用多種方法研究其動力學(xué)特性,其中尤以數(shù)值方法最簡便[9-10]。有限差分法的數(shù)學(xué)概念直觀,便于編程,常用于彈性細長結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬。利用有限差分方法,ANSARI等[11]求得Euler-Bernoulli梁的固有頻率,BAO等[12]評估了土-結(jié)構(gòu)相互作用對部分埋置單樁固有頻率的影響。Green函數(shù)法的概念清晰,可得到系統(tǒng)動力響應(yīng)的精確解,對于確定樁基的動態(tài)響應(yīng)尤為重要。利用Green函數(shù)法,ABU-HILAL[13]求得Euler-Bernoulli梁的穩(wěn)態(tài)解,LIANG等[14]分析了高承臺樁基的動力阻抗和沖刷的影響。顯然,將有限差分法和Green函數(shù)法相結(jié)合來分析樁基的固有頻率和動力響應(yīng),將促進受沖刷作用部分埋置單樁動力學(xué)問題的求解。

基于橫向受荷部分埋置單樁的動力學(xué)模型,本文利用有限差分法得到包含單樁控制方程的數(shù)值框架,沖刷過程中通過控制單元類型及數(shù)量實現(xiàn)對土-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的準(zhǔn)確建模,從而獲得單樁更為準(zhǔn)確的固有頻率,分析沖刷作用對其橫向動力學(xué)特性的影響;進而利用Green函數(shù)法,求得部分埋置單樁受迫振動的解析解,研究土體彈性模量、樁身長細比等對其橫向動力響應(yīng)的影響。

1 控制方程及其有限差分解

1.1 動力學(xué)模型

圖1為部分埋置單樁建模分析的示意圖。如圖1所示,建立坐標(biāo)系O-xyz,原點O位于未變形樁頂,x坐標(biāo)沿橫向激勵方向設(shè)置,z坐標(biāo)沿樁的軸線設(shè)置。為簡便表述,基于以下假設(shè):樁是細長、垂直和線彈性的;土場是均質(zhì)、各向同性和線彈性材料;樁-土間的界面無滑移或脫離現(xiàn)象;忽略樁身在外激勵方向之外的位移。

圖1 橫向受荷部分埋置單樁示意圖Fig. 1 Sketch map of the laterally loaded partially-embedded single pile

根據(jù)單樁的埋置特征,忽略所有非線性高階、阻尼和外荷載項,其運動控制方程為[12]:

(1)

(2)

1.2 有限差分解

設(shè)式(1)和式(2)的通解為復(fù)數(shù)形式的y(z,t)和w(z,t),忽略外激勵作用和阻尼,則取v(z,t)=Re{y(z,t)},u(z,t)=Re{w(z,t)}[13]。設(shè)式(1)和式(2)的通解分別為v=Vieωit和u=Ueiωit,其中ωi是樁基的第i階頻率,U和V分別為埋置段和非埋置段樁基的模態(tài)構(gòu)型函數(shù),將其代入式(1)和(2),可得

(3)

l1

(4)

以嵌巖樁為例,其邊界條件為:

(5)

離散式(3)和式(4),可得

(6)

l1

(7)

式中:δz為用泰勒級數(shù)展開的模態(tài)構(gòu)型的離散表達[15]。

進而,U的二階和四階導(dǎo)數(shù)可表述為

(8)

考慮虛節(jié)點Un+1、Un+2,由式(5)可得[11],當(dāng)z=l時Un+1=0,

6Un-1+Un-2)/(12Δz)=0。

(9)

將式(8)和式(9)代入式(4),可得

(JB+ω2JD)Un=0,

(10)

式中:

Un=[Ui+1…Un]T,

B=6+k0Δz4/(EI)+2k1Δz2/(EI),

N=-4-k1Δz2/(EI),

i為非埋置段節(jié)點數(shù),n為樁基總節(jié)點數(shù)。式(10)等價于式(6)。

同時,由邊界條件(5)可得,當(dāng)z=0時,

(11)

進而,

J1+ω2JDVi=0,

(12)

式中:

Vi=[V1V2…Vi]T,D=-mΔz4/(EI)。

利用式(5)中的連續(xù)性條件,可得整個系統(tǒng)的對角矩陣

(E+ω2F)X=0,

(13)

式中:X=[V1…ViUi+1…Un]T,

F=diag(DD…D)。

令式(13)中E+ω2F的行列式為零,可得部分埋置單樁的各階頻率。

2 受迫振動的Green函數(shù)解

2.1 埋置段樁基

假設(shè)在z0處作用有簡諧橫向荷載

f(z,t)=δ(z-z0)F0eiΩt,

(14)

式中:F0和Ω為外激勵的幅值和頻率,δ(·)是狄拉克函數(shù)。此時,式(2)中橫向位移的解可設(shè)為

U(z,t)=U(z)eiΩt。

(15)

將式(14)和(15)代入式(2),得到

U(4)+a1U″+a2U=bF0δ(z-z0) ,

(16)

式中:

利用Green函數(shù)法,式(16)的解為

(17)

式中:f(z0)是外激勵作用函數(shù),G(z;z0)是待求的Green函數(shù),且其為下式的解:

U(4)+a1U″+a2U=bδ(z-z0)。

(18)

由式(18)可知,G(z;z0)=U(z;z0)。對式(18)中的變量z施行Laplace變換,可得

(s3+a1s)U(0)+(s2+a1)U′(0)+sU″(0)+U?(0)),

(19)

并記

sL=(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4),

sG=s4+a1s2+a2。

利用文獻[16],可得如下逆變換結(jié)果:

A2(z-z0)b1+A3(z-z0)b1+A4(z-z0)b1),

(20-a)

(20-b)

(20-c)

A3(z)s3+A4(z)s4,

(20-d)

A3(z)+A4(z),

(20-e)

式中:H(·)為單位階躍函數(shù),Ai(z)(i=1,2,3,4)為

(21)

由式(19)可知,

(22)

將式(21)代入式(22)可得,

G(z;z0)=H(z-z0)φ1(z-z0)+φ2(z)U(0)+

φ3(z)U′(0)+φ4(z)U″(0)+φ5(z)U?(0),

(23)

式中:

(24)

因此,待定的Green函數(shù)G(z;z0)為

G(z;z0)=H(z-z0)φ1(z-z0)+

φ2(z)U(0)+φ3(z)U′(0)+

φ4(z)U″(0)+φ5(z)U?(0)。

(25)

利用式(21)和式(24),可得

(26)

進而,可得

U(z;z0)=H(z-z0)φ1(z-z0)+

φ2(z)U(0)+φ3(z)U′(0)+

φ4(z)U″(0)+φ5(z)U?(0),

(27-a)

(27-b)

(27-c)

(27-d)

將式(27)代入式(17),可得樁基的響應(yīng)函數(shù)為

(28)

相應(yīng)地,埋置段樁基的動力響應(yīng)函數(shù)可表示為

U(z,t)=F0(H(z-z0)φ1(z-z0)+φ2(z)U(0)+φ3(z)U′(0)+φ4(z)U″(0)+φ5(z)U?(0))cos(Ωt)。

(29)

2.2 非埋置段樁基

如上節(jié)所示,式(1)可表示為

V(4)+κV=bF0δ(z-z0)。

(30)

顯然,式(30)的解為

(31)

同理,對式(30)中的空間變量z施行Laplace變換及相應(yīng)的逆變換,可以得到

(32)

式中:

V(0)、V′(0)、V″(0)、V?(0)是待定常數(shù)。

同理,由式(32)可得到

G(z;z0)=H(z-z0)ψ1(z-z0)+ψ2(z)V(0)+ψ3(z)V′(0)+ψ4(z)V″(0)+ψ5(z)V?(0),

(33)

式中:

(34)

相應(yīng)地,非埋置段樁基的動力響應(yīng)函數(shù)為

V(z,t)=F0(H(z-z0)ψ1(z-z0)+ψ2(z)V(0)+ψ3(z)V′(0)+ψ4(z)V″(0)+ψ5(z)V?(0))cos(Ωt)。

(35)

3 數(shù)值計算

3.1 計算結(jié)果驗證

為驗證有限差分法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性,分別采用PRENDERGAST等的計算模型[17]、Winkler 地基模型[18]和Vlasov地基模型[18],計算長度為8.76 m的環(huán)形鋼樁的固有頻率隨沖刷程度變化的情況, 并與PRENDERGAST等現(xiàn)場測量結(jié)果對比[9]。

在沖刷條件下對樁基進行分析時,通過將其周圍特定深度范圍內(nèi)土層完全清除至沖刷深度來模擬沖刷效應(yīng)。將樁基離散為40個樁單元,沖刷深度以上不存在樁-土相互作用,看作梁單元;沖刷深度以下看作彈簧支撐梁單元。共設(shè)置3個沖刷等級,分別是初始地面高度(0沖刷等級)和2個沖刷深度(每個沖刷面相隔2.19 m),即:樁基總長為8.76 m,沖刷等級為 0時,非埋置段初始樁長為2.19 m,埋置深度為6.57 m,可表示為10個梁單元和30個彈簧支承梁單元;沖刷等級為-1、-2時,樁基埋置深度分別為4.38 m、2.19 m。利用自上而下移除彈簧支撐的方法模擬沖刷效應(yīng)。

PRENDERGAST等的計算模型[17]為

Winkler模型[18]為

Vlasov模型[18]為

γ為衰減系數(shù),可設(shè)為1。

樁和土體的物理參數(shù)如下:樁長L=8.76 m,外徑R=0.17 m,內(nèi)徑r=0.157 m,密度ρ=7.8×103kg/m3,彈性模型E=2.0×105MPa,泊松比為ν=0.3;彈性地基(砂土)的泊松比為νs=0.3,設(shè)其單位重量為20 kN/m3,彈性模量為[12]

(36)

式中:ρs為土體密度,νc為土體壓縮波速度(砂土為213 m/s[12])。

圖2給出了計算所得的頻率與現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)的對比[9]。隨沖刷深度增加,利用Winkler模型求得的第一階頻率從37.576 Hz降至5.134 Hz,且在沖刷深度1～3 m間與實測值高度吻合。與Winkler模型相比,Vlasov模型考慮彈性地基的剪切效應(yīng),故求得的第一階頻率稍低于Winkler模型所得結(jié)果?？傮w而言,Winkler模型僅有一個地基反力參數(shù),在工程中應(yīng)用最廣泛,且在常見的沖刷深度范圍內(nèi),利用Winkler地基模型所得結(jié)果與實測值高度一致,故本文采用Winkler地基模型進行分析。

圖2 有限差分法計算的第一階頻率與PRENDERGAST等測量結(jié)果對比Fig. 2 Comparison of the first-order frequencies calculated by the finite difference method with the result of the measurement by Prendergast et al.

為驗證Green函數(shù)法求解樁基位移的正確性,計算文獻[19]中樁徑d=0.3 m,長細比λ=10,無量綱頻率a0=0.3,單樁的位移曲線,并與文獻[19]對比。圖3給出了無量綱樁身位移U(z)/U(0)隨埋置深度z的變化曲線。由圖3可知,本文運用Green函數(shù)法所得計算結(jié)果與文獻[19]基本一致,驗證了該求解方法的正確性。

圖3 Green函數(shù)法計算的樁身位移與文獻[19]對比Fig. 3 Comparison of pile’s displacement calculated by Green’s functions method and literature [19]

3.2 沖刷作用分析

本節(jié)研究沖刷作用對部分埋置單樁動力學(xué)特性的影響。利用3.1節(jié)中相關(guān)參數(shù)和式(36),可得地基彈性模量Es為67.41 MPa。樁端荷載為簡諧橫向荷載,令其幅值為F0為1000 N。

表1給出了部分埋置單樁前四階頻率隨沖刷程度變化的情況,其中3個沖刷等級分別是0、-1和-2沖刷等級。由表1可知,單樁的各階頻率均隨沖刷等級的增加而迅速減小,這是由于埋置土體的深度隨沖刷進程不斷減小,樁-土相互作用效應(yīng)逐漸減弱。

表1 沖刷作用對單樁各階頻率的影響Tab. 1 Effect of scour on the frequencies of the single pile

圖4為部分埋置單樁樁身前四階響應(yīng)隨沖刷程度變化的情況。如圖4所示,單樁各階響應(yīng)的樁頂橫向位移均隨沖刷等級的增加而增大,且樁身上部反彎點處的位移值也隨沖刷程度的增加而顯著增大。隨沖刷程度加劇,樁周土場對樁基橫向位移的約束迅速減弱,樁身側(cè)向位移幅值顯著增加。

圖4 沖刷程度對單樁動力響應(yīng)的影響Fig. 4 Effect of scour degree on dynamic response of the single pile

4 參數(shù)分析

4.1 土體參數(shù)

本節(jié)分析土體彈性模量對單樁橫向動力學(xué)特性的影響。樁基埋置深度6.57 m,土體分別取:①松砂,Es1=10 MPa;②粉質(zhì)砂土,Es2=20 MPa;③緊砂,Es3=50 MPa。地基的泊松比νs=0.3。

表2給出了部分埋置單樁前四階頻率隨土體彈性模量變化的情況,其中土體彈性模量分別為10、20、50 MPa?？芍?樁基的各階頻率均隨參數(shù)Es的增大而增大。這里,彈性模量增大了1倍(4倍),樁基的第一階頻率增大了約20%(40%)。如3.1節(jié)所示,彈性地基反力系數(shù)值隨土體彈性模量增加而增大,相應(yīng)地樁周土場對樁基側(cè)向約束作用加強。

表2 土體彈性模量對單樁各階頻率的影響Tab. 2 Effect of soil’s elastic modulus on the frequencies of the single pile

圖5給出樁身各階響應(yīng)隨土體彈性模量變化的情況。如圖5所示,樁頂橫向位移均隨土層彈性模量增大而減小。相應(yīng)地,樁身反彎點處的位移值也均隨土體彈性模量的增加而顯著減小。與表2所示結(jié)果相對應(yīng),隨樁周土體彈性模量的增大,樁周土體對樁基的側(cè)向約束增大,即樁-土相互作用效應(yīng)增強,部分埋置單樁的橫向變形減小。

圖5 彈性模量對單樁動力響應(yīng)的影響Fig. 5 Effect of elastic modulus on dynamic response of the single pile

4.2 樁身長細比

樁身長細比λ簡化為樁長與樁徑的比值,即λ=l/Dp。通過改變樁徑來改變參數(shù)λ,樁基的物理參數(shù)和彈性地基參數(shù)均保持不變。

表3給出了單樁在不同樁身長細比λ情況下的前四階頻率,其中λ分別取 20、30、40。由表3可知,隨λ增大,第一階頻率減小,而高階頻率的變化規(guī)律則比較復(fù)雜。若λ增大了0.5倍(1倍),單樁的第一階固有頻率分別減小了約3%(10%)。

表3 長細比λ對單樁各階頻率的影響Tab. 3 Effect of slenderness λ on the frequencies of the single pile

圖6為單樁各階響應(yīng)構(gòu)型隨樁身長細比變化的情況。樁基長細比越大,其剛度越小,越易發(fā)生屈曲和變形,故樁身的各階響應(yīng)構(gòu)型均隨樁身長細比的變化而發(fā)生顯著改變。隨長細比增大,樁頂橫向位移增大,同時樁身反彎點位置上移。

圖6 長細比λ對單樁動力響應(yīng)的影響Fig. 6 Effect of slenderness λ on dynamic response of the single pile foundation

5 結(jié)論

基于橫向受荷樁的動力學(xué)模型,將有限差分法和Green函數(shù)法相結(jié)合,求得了受沖刷作用的單樁的各階頻率和動力響應(yīng)構(gòu)型,揭示了部分埋置樁基的橫向動力學(xué)特性隨沖刷作用變化情況。通過數(shù)值計算和參數(shù)分析,得到了以下主要結(jié)論:

(1)隨沖刷程度加劇,部分埋置單樁的各階頻率均顯著降低,相應(yīng)地各階響應(yīng)幅值明顯增加。

(2)隨土體彈性模量增大,樁基的各階頻率亦增大;若土體彈性模量增大了1倍(4倍),其第一階頻率約增大了20%(40%)。

(3)隨樁身長細比增大,樁基的第一階頻率減小,若λ增大了0.5倍(1倍),單樁的第一階固有頻率分別減小了約3%(10%);而高階頻率的變化規(guī)律較為復(fù)雜,同時樁頂位移也顯著增大。