何文韜, 陳 欣, 薛鵬翔, 邢順翔, 王威振

(1.南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,南京 210000; 2.中國(guó)人民解放軍95791部隊(duì),甘肅 酒泉 735000)

0 引言

傳感器網(wǎng)絡(luò)(Sensor Network,SN)是指由部署在待監(jiān)測(cè)區(qū)域的若干個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)形成的自組織網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),具有感知、通信功能[1]?；赟N的分布式狀態(tài)估計(jì)方法具有較好的魯棒性和靈活性,引起了越來(lái)越多的研究關(guān)注[2-7]。在大量關(guān)于分布式狀態(tài)估計(jì)的研究中,兩種廣泛使用的方法是共識(shí)策略和擴(kuò)散策略。共識(shí)卡爾曼濾波算法最早在文獻(xiàn)[2]中提出,為了使局部估計(jì)達(dá)成共識(shí),局部濾波完成后在相鄰節(jié)點(diǎn)之間交換測(cè)量信息來(lái)協(xié)調(diào)局部估計(jì);文獻(xiàn)[3]研究了最優(yōu)共識(shí)卡爾曼濾波算法問題,并分析推導(dǎo)出了最優(yōu)增益;文獻(xiàn)[4]為加權(quán)有向圖設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的最優(yōu)基于共識(shí)的濾波算法。擴(kuò)散卡爾曼濾波算法是在文獻(xiàn)[5]中提出的,該算法利用文獻(xiàn)[2]中的局部卡爾曼濾波器計(jì)算來(lái)自鄰居的測(cè)量信息的先前估計(jì),并且與迭代共識(shí)方法相反,應(yīng)用了鄰居的先前估計(jì)的凸組合。在此結(jié)果的激勵(lì)下,設(shè)計(jì)了一類基于擴(kuò)散策略的分布式自適應(yīng)濾波算法[6]。與共識(shí)策略相比,擴(kuò)散策略可以與輸入測(cè)量進(jìn)行實(shí)時(shí)融合,并且具有更快的收斂速度和更小的均方誤差[7]。

以上提及的關(guān)于SN分布式狀態(tài)估計(jì)的研究,沒有考慮到網(wǎng)絡(luò)的帶寬限制問題。然而,組成SN的探測(cè)節(jié)點(diǎn)的能源一般由電池供應(yīng),電池功率的受限帶來(lái)通信帶寬受限的問題。因此,基于量化信息的濾波器設(shè)計(jì)是一個(gè)重要的問題[8]。量化將測(cè)量信號(hào)轉(zhuǎn)換為在有限集上取值的分段常數(shù),這一過程降低了帶寬的要求,但引入了誤差。迄今為止,人們已經(jīng)為解決量化效應(yīng)影響的控制/估計(jì)問題付出了巨大的努力。文獻(xiàn)[9]將量化視為原始信號(hào)信息的一部分,而不是近似,這為后續(xù)的量化研究奠定了基礎(chǔ);文獻(xiàn)[10]研究了一類具有對(duì)數(shù)量化和缺失測(cè)量的非線性系統(tǒng)基于事件的狀態(tài)和故障估計(jì)問題;文獻(xiàn)[11]提出了一種基于量化測(cè)量新息而不是原始信號(hào)的分步式無(wú)跡卡爾曼濾波估計(jì)器;在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12]提出了一種具有量化信息交換的擴(kuò)散卡爾曼濾波算法。

此外,在網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中,由于數(shù)據(jù)是通過網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)?因此不可避免地存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延現(xiàn)象,導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的估計(jì)精度下降[13-14]。為了處理傳感器延遲,文獻(xiàn)[15-16]利用測(cè)量重組方法,先獲得一組無(wú)延遲的測(cè)量,再進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。將傳感器延遲建模為服從伯努利分布的隨機(jī)變量是近年來(lái)廣泛使用的一種方法[17-20]。當(dāng)伯努利分布隨機(jī)變量為1時(shí),系統(tǒng)中存在傳感器延遲;否則,接收到的測(cè)量值正常。然而,上述方法只能應(yīng)對(duì)單步或兩步傳感器延遲下的狀態(tài)估計(jì)。對(duì)于多步傳感器延遲,文獻(xiàn)[21]采用緩存器存儲(chǔ)量測(cè)時(shí)延數(shù)據(jù),設(shè)計(jì)了具有時(shí)延補(bǔ)償?shù)腢KF算法。

本文提出一種基于量化信息的時(shí)延補(bǔ)償分布式無(wú)跡卡爾曼濾波(Quantization-based Distributed Unscented Kalman Filter with Time Delay Compensation,QDUKF-TDC)算法,用于目標(biāo)的分布式狀態(tài)估計(jì)。本文的貢獻(xiàn)可以歸納如下。

其一,引入一種自適應(yīng)量化機(jī)制,用于節(jié)省通信帶寬。與傳統(tǒng)的概率量化機(jī)制相比,自適應(yīng)量化機(jī)制能夠自適應(yīng)地改變量化區(qū)間的長(zhǎng)度,獲得更高的估計(jì)精度。

其二,給出了基于SN的QDUKF-TDC算法設(shè)計(jì),可用于獲得具有隨機(jī)傳輸時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。

1 問題描述

考慮一個(gè)包含N個(gè)傳感器和遠(yuǎn)程估計(jì)器的離散非線性系統(tǒng),傳感器監(jiān)測(cè)目標(biāo)的系統(tǒng)模型和測(cè)量輸出為

(1)

1.1 自適應(yīng)概率量化

(2)

式中,l為量化位數(shù)。

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 隨機(jī)傳輸時(shí)延

(7)

定義函數(shù)

(8)

式中,j≥0,且j為整數(shù)。

2 分布式時(shí)延補(bǔ)償無(wú)跡卡爾曼濾波器

本章將推導(dǎo)基于量化信息的分布式時(shí)延補(bǔ)償無(wú)跡卡爾曼濾波算法。

2.1 改進(jìn)的無(wú)跡卡爾曼濾波器(UKF)

考慮到UKF避免了線性化的過程而具有更高的估計(jì)精度,設(shè)計(jì)了改進(jìn)的UKF局部估計(jì)器。對(duì)于第i個(gè)估計(jì)器,狀態(tài)估計(jì)更新方程定義為

(9)

將式(4)的量化誤差定義代入式(1)的系統(tǒng)模型得到

(10)

(11)

證明。

(12)

證畢。

接下來(lái),進(jìn)行局部估計(jì)器的設(shè)計(jì)。

定理2對(duì)于帶有自適應(yīng)概率量化機(jī)制和隨機(jī)傳輸時(shí)延的非線性系統(tǒng)(式(1)),所設(shè)計(jì)的第i個(gè)局部估計(jì)器的濾波器增益和協(xié)方差更新方程為

(13)

(14)

(15)

(16)

證明。

(17)

估計(jì)誤差協(xié)方差為

(18)

令

(19)

根據(jù)定理1,可得

(20)

(21)

(22)

協(xié)方差更新的規(guī)則如下

(23)

(24)

證畢。

完整的改進(jìn)無(wú)跡卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)過程總結(jié)如下。

算法1 基于量化信息的分布式無(wú)跡卡爾曼濾波(Quantization-based Distributed Unscented Kalman Filter,QDUKF)算法。算法步驟如下。

1) 計(jì)算Sigma點(diǎn)。

(25)

式中:a為比例參數(shù);n為系統(tǒng)階數(shù)。

2) 計(jì)算k+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)及其協(xié)方差

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

3) 按照式(13)計(jì)算增益矩陣。

4) 按照式(9)進(jìn)行狀態(tài)更新,按照式(14)進(jìn)行協(xié)方差更新。

5) 在下一個(gè)采樣時(shí)刻重復(fù)1)～5)。

時(shí)延補(bǔ)償思想:在每一時(shí)刻,局部估計(jì)器利用緩存器里暫存的數(shù)據(jù)循環(huán)更新估計(jì)值,達(dá)到降低時(shí)延對(duì)估計(jì)精度影響的目的。在k時(shí)刻局部估計(jì)器時(shí)延補(bǔ)償?shù)牧鞒倘缦?

注2 時(shí)延補(bǔ)償算法利用了距離當(dāng)前時(shí)刻D步以內(nèi)的過去時(shí)刻收到的數(shù)據(jù)包進(jìn)行循環(huán)更新,而QDUKF算法只利用當(dāng)前時(shí)刻收到的數(shù)據(jù)包進(jìn)行更新,因此,時(shí)延補(bǔ)償算法降低了時(shí)延對(duì)估計(jì)精度的影響。

2.2 基于快速協(xié)方差交叉的融合方案

得到局部傳感器狀態(tài)和誤差方差后,根據(jù)快速協(xié)方差交叉方法[6]計(jì)算融合后的狀態(tài)和相應(yīng)的誤差方差為

(33)

至此,完整的算法流程如下。

算法2 基于量化信息的時(shí)延補(bǔ)償分布式無(wú)跡卡爾曼濾波(QDUKF-TDC)算法。算法步驟如下。

1) 按照算法1的1)～3)進(jìn)行。

2) 進(jìn)行時(shí)延補(bǔ)償

3) 得到局部傳感器狀態(tài)和誤差方差后,按照式(33)計(jì)算融合后的狀態(tài)和相應(yīng)的誤差方差。

4) 在下一個(gè)采樣時(shí)刻重復(fù)1)～4)。

3 融合估計(jì)誤差有界性分析

對(duì)設(shè)計(jì)的時(shí)延補(bǔ)償分布式無(wú)跡卡爾曼濾波器的估計(jì)誤差進(jìn)行分析,以證明算法的收斂性。首先,為了后續(xù)的推導(dǎo),介紹一個(gè)引理。

引理1[22]對(duì)于A,B∈Rn×n,如果A,B是對(duì)稱正定矩陣,則

(A+B)-1>A-1-A-1BA-1。

定義預(yù)測(cè)誤差和殘差為

(34)

(35)

誤差表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

根據(jù)式(14),(38)～(40),可得

(41)

(42)

(43)

證明。

根據(jù)式(38)和(41),可得

(44)

根據(jù)引理1的條件,可得

(45)

利用式(42),可得

(46)

(47)

得

(48)

證畢。

4 仿真分析

用一個(gè)仿真算例來(lái)驗(yàn)證所提出的算法的有效性和實(shí)用性。

利用4架配備機(jī)載雷達(dá)的無(wú)人機(jī)對(duì)地面上的非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行感知和跟蹤,每架無(wú)人機(jī)將測(cè)量信息經(jīng)過自適應(yīng)概率量化后傳回對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)程局部估計(jì)器。

使用以下轉(zhuǎn)彎模型來(lái)預(yù)測(cè)所考慮的非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型

(49)

傳感器的測(cè)量方程為

(50)

注3 對(duì)于非線性函數(shù),拓展卡爾曼濾波由于忽略了高階項(xiàng),會(huì)降低濾波精度甚至發(fā)散,UKF沒有引入線性化誤差,估計(jì)精度更高。

采用均方根誤差(RMSE)作為衡量算法性能的指標(biāo),其定義為

式中,L為仿真步數(shù),本次仿真設(shè)置為100。

為了比較本文自適應(yīng)量化策略和文獻(xiàn)[8]中量化策略的估計(jì)誤差,以傳感器1為例,將所提出的QDUKF算法與傳統(tǒng)量化策略下的UKF(TQDUKF)算法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果如圖1所示,QDUKF算法的跟蹤誤差小于TQDUKF算法。

圖1 傳感器1不同量化策略估計(jì)誤差

以傳感器1為例,隨機(jī)傳輸時(shí)延如圖2所示,基于共識(shí)的QDUKF和QDUKF-TDC算法的誤差比較如圖3所示。由于引入了時(shí)延補(bǔ)償機(jī)制,QDUKF-TDC算法比QDUKF算法具有更小的共識(shí)誤差。

圖2 隨機(jī)傳輸時(shí)延示意圖

圖3 傳感器1有無(wú)時(shí)延補(bǔ)償估計(jì)誤差

圖4和圖5所示為4個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)的RMSE與QDUKF-TDC算法RMSE的比較,以及融合估計(jì)的軌跡。

圖4 融合估計(jì)和局部估計(jì)的估計(jì)誤差

圖5 融合估計(jì)的軌跡

由圖4和圖5可以看出,QDUKF-TDC算法的RMSE小于所有單個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn),表明QDUKF-TDC算法具有最好的目標(biāo)跟蹤性能。

5 結(jié)論

本文提出了一種時(shí)延補(bǔ)償分布式狀態(tài)估計(jì)算法,用于具有隨機(jī)傳輸時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)。為了減少通信帶寬的占用,引入了自適應(yīng)量化策略。由于隨機(jī)傳輸時(shí)延的存在,使用緩存器暫存量測(cè)數(shù)據(jù)。然后,考慮量化誤差的影響,利用緩存器中的數(shù)據(jù),設(shè)計(jì)了時(shí)延補(bǔ)償分布式無(wú)跡卡爾曼濾波器(QDUKF-TDC),并利用快速協(xié)方差交叉技術(shù)完成各個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息融合。最后,通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了QDUKF-TDC算法的有效性。值得注意的是,在實(shí)際應(yīng)用中還存在很多問題,如測(cè)量衰減、噪聲相關(guān)系統(tǒng)的分布式估計(jì)算法等,這些都是未來(lái)研究中需要考慮的。