宋 偉, 李春菊

(1.民航西北地區(qū)空中交通管理局寧夏分局,銀川 750000; 2.寧夏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,銀川 750000)

0 引言

在狀態(tài)估計(jì)和信息融合領(lǐng)域,機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題依然是一個(gè)熱點(diǎn)問題,廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航、航空交通以及軍事等相關(guān)領(lǐng)域。在航空運(yùn)輸領(lǐng)域,為了完成空中機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤,必須要考慮目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型匹配精度和濾波器性能兩個(gè)重要因素。

目標(biāo)跟蹤模型就是研究跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)模型是否匹配目標(biāo)實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)模型。目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)過程非常復(fù)雜,用單一模型模擬整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程是非常困難的。因此,交互多模型(IMM)算法被提出,以解決此類問題。IMM算法同時(shí)并行處理多個(gè)模型,模型之間的轉(zhuǎn)換通過概率轉(zhuǎn)移矩陣實(shí)現(xiàn)[1]。

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題中,運(yùn)動(dòng)模型一般是非線性的,因此,選擇合適的濾波器顯得非常重要。文獻(xiàn)[2]利用擴(kuò)展卡爾曼濾波解決非線性系統(tǒng)問題,其基本思想是先通過泰勒展開式把非線性系統(tǒng)問題近似為線性系統(tǒng)問題,再進(jìn)行卡爾曼濾波,在簡單的非線性系統(tǒng)中,該算法具有很好的跟蹤精度和很少的計(jì)算量,但在復(fù)雜的非線性系統(tǒng)中,該算法卻無法很好地解決實(shí)際問題;文獻(xiàn)[3]中,容積卡爾曼濾波算法(CKF)被用作IMM算法的子模型,很好地完成了跟蹤任務(wù);文獻(xiàn)[4]利用隨機(jī)權(quán)重因子代替初始因子來減少系統(tǒng)噪聲的影響,隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波算法被提出。

針對(duì)上述問題,本文提出了一種自適應(yīng)隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波交互多模型跟蹤算法,該算法改善了濾波精度,同時(shí)提升了算法穩(wěn)定性能。

1 容積卡爾曼濾波算法簡介

一般非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表示為

(1)

式中:xk和zk分別為系統(tǒng)狀態(tài)向量和測量向量;Wk和Vk分別為系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲,兩者是相互獨(dú)立的零均值白噪聲,且對(duì)應(yīng)的協(xié)方差分別為Qk和Rk;f(·)和h(·)分別為非線性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和測量函數(shù)。系統(tǒng)初始狀態(tài)x0～N(0,P0),與Wk-1和Vk互不相關(guān),P0為初始協(xié)方差矩陣[5]。

(2)

式中,Sk-1|k-1為協(xié)方差矩陣的平方根系數(shù)。因此,容積點(diǎn)算式為

(3)

(4)

因此,在容積點(diǎn)i從k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測和方差分別為

(5)

(6)

測量更新如下。

分解預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣Pk|k-1為

(7)

計(jì)算容積點(diǎn)i從k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量為

(8)

容積點(diǎn)i從k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的測量向量為

(9)

容積點(diǎn)i從k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的測量預(yù)測、方差和協(xié)方差分別為

(10)

(11)

(12)

濾波器在k時(shí)刻的增益為

(13)

計(jì)算k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)為

(14)

均方差矩陣為

(15)

如果非線性系統(tǒng)包含較大的誤差,那么系統(tǒng)狀態(tài)模型和測量模型為

(16)

式中:Δxk為預(yù)測模型誤差;Δzk為測量模型誤差。

那么狀態(tài)預(yù)測為

(17)

測量預(yù)測為

(18)

通過以上可以看出,如果非線性系統(tǒng)引入了誤差,那么狀態(tài)預(yù)測和測量預(yù)測均存在偏差,而且濾波器增益也存在偏差,導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)不準(zhǔn)確。因此,若存在系統(tǒng)模型誤差,那么CKF估計(jì)也會(huì)存在誤差[4]。以上也可以證明測量預(yù)測和狀態(tài)預(yù)測、協(xié)方差都通過初始權(quán)重計(jì)算,所有容積點(diǎn)的預(yù)測誤差不能精確表達(dá)實(shí)際系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計(jì)特性,因此本文引入隨機(jī)權(quán)重。

2 自適應(yīng)隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波

2.1 隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波

假設(shè)x1,x2,…,xn是一組具有相同概率分布的隨機(jī)變量,分布函數(shù)為F(x)[7]。那么,分布函數(shù)可以表示為

(19)

式中,I(xi≤x)為指示函數(shù)。Fn(x)的隨機(jī)權(quán)重定義為

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

λi隨著前后時(shí)刻誤差的變化而變化,實(shí)時(shí)反映出誤差對(duì)以上變量的影響,因此,基于隨機(jī)權(quán)重的容積卡爾曼濾波的精度更高。

2.2 自適應(yīng)跟蹤算法

基于自適應(yīng)思想可以更新系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Qk和測量噪聲協(xié)方差矩陣Rk[9]。通過引入時(shí)變因子可以改善算法的穩(wěn)定性[10]。自適應(yīng)濾波算法具體算式為

(27)

(28)

(29)

(30)

在實(shí)際應(yīng)用中,當(dāng)Qk-1和Rk均未知時(shí),同時(shí)更新Qk-1和Rk易導(dǎo)致算法崩潰,因此本文把Rk設(shè)置為常量。因?yàn)樵谑?29)中的負(fù)號(hào)會(huì)產(chǎn)生負(fù)矩陣結(jié)果,為了使Qk-1半正定,設(shè)均值方差Pk和Pk-1為零。改進(jìn)的自適應(yīng)濾波算法為

(31)

3 交互多模型自適應(yīng)隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波算法

交互多模型自適應(yīng)隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波(IMM-ARWCKF)算法主要由交互作用器、多個(gè)濾波器、一個(gè)狀態(tài)估計(jì)融合器和模型概率估計(jì)器組成[11]。IMM-ARWCKF算法計(jì)算步驟如圖1所示。

圖1 IMM-ARWCKF算法計(jì)算步驟

IMM-ARWCKF算法可以總結(jié)為以下幾個(gè)步驟[12]。

1) 步驟1:交互輸入。

(32)

(33)

(34)

2) 步驟2:更新模型概率。

計(jì)算第j種模型的可能性

(35)

(36)

3) 步驟3:狀態(tài)交互融合?；谀Ｐ透怕嗜诤细髂Ｐ蜑V波預(yù)測,得到k時(shí)刻的最終結(jié)果為

(37)

(38)

4 改進(jìn)的馬爾可夫概率矩陣

本文利用后驗(yàn)概率信息調(diào)整馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣[14]。由于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和概率變化的非負(fù)性,定義以下因子

(39)

(40)

(41)

(42)

其中,TTH和TTL分別代表轉(zhuǎn)移矩陣的上限和下限。出于時(shí)變因子的原因,轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素也是變化的。變化的隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)問題:在特定時(shí)間,不同模型的概率不能是1;主對(duì)角線元素的調(diào)整會(huì)導(dǎo)致主對(duì)角線優(yōu)先權(quán)的喪失[16]。本文設(shè)定了主對(duì)角線元素的上下限值來解決此問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,上限TTH=0.97,下限TTL=0.92時(shí)會(huì)得到比較好的結(jié)果。

5 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果

通常使用均方誤差來評(píng)估航跡跟蹤結(jié)果,即

(43)

xk=FCVxk-1+Γwk

(44)

xk=FCTxk-1+Γwk

(45)

(46)

其中:ω為圓周運(yùn)動(dòng)的角速率,ω>0表示向左轉(zhuǎn)彎,ω<0表示向右轉(zhuǎn)彎;wk是具有零均值的二維高斯白噪聲。目標(biāo)的測量方程是線性的,表示為

zk=Hxk+Vk

(47)

圖2 運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的真實(shí)航跡

圖3、圖4是IMM-ARWCKF與其他3種算法比較的結(jié)果。IMM-ARWCKF算法充分利用了條件概率后驗(yàn)信息,當(dāng)目標(biāo)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)可以快速匹配真實(shí)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)航跡,因此IMM-ARWCKF算法的跟蹤效果最優(yōu)。

圖3 濾波器對(duì)目標(biāo)的估計(jì)

各濾波器誤差分析如表1所示。結(jié)果表明本文IMM-ARWCKF算法有更小的均方誤差。與IMM-CKF算法進(jìn)行比較,IMM-ARWCKF在兩個(gè)方面進(jìn)行了優(yōu)化:一方面,使用隨機(jī)權(quán)重因子使得CKF算法中的估計(jì)值更加趨近真實(shí)值;另一方面,利用殘差序列更新噪聲協(xié)方差矩陣和狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差矩陣使得算法更加穩(wěn)定。

表1 各濾波器誤差分析

6 結(jié)論

針對(duì)非線性系統(tǒng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題,本文提出了一種IMM-ARWCKF算法。該算法主要優(yōu)點(diǎn)有:1) 使用自適應(yīng)隨機(jī)權(quán)重容積卡爾曼濾波作為IMM濾波器的子濾波器作用于不同的運(yùn)動(dòng)模型上,引入隨機(jī)權(quán)重因子來替換初始因子,從而提高了算法精度;2) 為了算法穩(wěn)定性,添加自適應(yīng)強(qiáng)跟蹤濾波器來更新預(yù)測協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣;3) 通過引入時(shí)變因子調(diào)整轉(zhuǎn)移概率矩陣,改進(jìn)IMM算法概率協(xié)方差精度,該算法結(jié)合IMM算法和ARWCKF算法有效解決了非線性系統(tǒng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題。