萬培熙，趙 博*，魯炳林，初宇康，楊 鵬

（1.山東理工大學電氣與電子工程學院，山東 淄博 255000；2.山東山博電機集團有限公司，山東 淄博 255200）

0 引言

舵機系統(tǒng)作為制導武器姿態(tài)控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構，能夠根據(jù)系統(tǒng)指令對其飛行姿態(tài)進行實時調整，從而實現(xiàn)對制導武器的精準操控。如今，為了適應制導武器的發(fā)展，舵機系統(tǒng)迫切需要提升性能，電機作為舵機系統(tǒng)的作動器，其性能指標設計也有了新的要求［1-2］。

無刷直流電機（brushless direct current motor，BLDCM）由于其高效率、壽命長、噪聲小和較好的緊湊性，被廣泛應用到航空航天、軍事、機器人等產(chǎn)品中。在傳統(tǒng)的無刷直流電機中，由于定子鐵心的存在，限制了電機朝小型化發(fā)展。同時隨著電機尺寸的縮小，繞組的纏繞難度也會越來越大［3］。德國的Dr.F.Faulhaber 在1965 年獲得無槽電機斜繞組專利技術，繞組以自支撐的形式粘在定子鐵心上，與開槽繞組相比繞線不需要被迫遵循槽的方向，繞組可以在氣隙中自由布置，所以無槽繞組又被稱為自支撐繞組，這種結構意味著繞組可以有多種形狀和拓撲，最常見的是斜繞組和菱形繞組［4］。由于氣隙中沒有開槽諧波，從根本上消除了齒槽轉矩。

近年來很多專家學者對無槽電機性能的提升作出了貢獻，DEHEZ B 與MAR-KOVIC M 等合作研究了斜繞組和菱形繞組，指出菱形繞組磁通取決于繞組的形狀，通過推導電機兩個衰減系數(shù)分析磁通量的變化，并使用flex-PCB 技術將斜繞組和菱形繞組功率密度分別提升17.3%和15.3%［5］，但是銅線做撓性PCB繞組很復雜，后DEHEZ B 與BAUDART F 等合作研究了一種“∞”型繞組使電機功率密度再提升10%［6］，MATAGNE E 等人給出了計算二維條件下斜繞組和菱形繞組氣隙磁場和電感的解析辦法，為優(yōu)化繞組提供了一種快速計算方法［7］，BURNANDG 等人也對電機繞組有深刻的研究，提出了一種新型的拓撲結構，使電機常數(shù)從18%提高到24%［8］。在國內，此類無槽電機本體設計的研究較少，葉金虎對無槽無刷直流電機中的菱形繞組進行了解析［9］，張琴琴等對斜繞組和同心式繞組性能進行了分析，得出了同心式繞組電樞杯優(yōu)于斜繞組電樞杯的結論［10］。

本文基于菱形和矩形兩種不同繞組結構，提出了一種無槽無刷直流電機六角形繞組結構，建立了六角形繞組的理想轉矩、反電勢和轉速數(shù)學模型，推導了六角形繞組無槽無刷直流電機的機械特性。在文獻［11］中提到了對無槽電機三維仿真模型的展望，最后采用有限元法建立所提繞組結構的三維模型，仿真結果驗證了所提六角形繞組模型的準確性，與菱形繞組相比，六角形繞組電機具有更優(yōu)的機械特性。

1 氣隙磁場解析

本文研究的是一種內轉子兩極三相無槽無刷直流電機，采用雙層繞組結構，激勵磁場是一個平行充磁安裝在鐵磁轉軸上的圓筒狀永磁體作為轉子，二維示意圖如圖1 所示。

圖1 無刷無槽電機二維示意圖Fig.1 Schematic diagram of 2-d slotless and brushless motor

圖1 中，Rr為轉軸半徑；Rm為永磁體半徑；Rc為電樞繞組內徑；Rs為定子軛內徑；Re為定子軛外徑；θ 表示轉子初始角位置。根據(jù)文獻［12］對永磁磁場的泊松方程進行求解，其在極坐標系（r，φ）處氣隙磁通密度的徑向分量Br（φ）最終解為

式（1）中，φ 為極坐標系中的角變量；Be表達式為

其中，BR為永磁體剩磁；μr為永磁體的相對回復磁導率，其方程式為

2 六角形繞組結構與主要尺寸設計

2.1 繞組結構

在無槽無刷電機的幾種繞組類型中，矩形繞組由于具有兩條平行于旋轉軸的有效邊，在相同的線圈半徑和軸向長度時更有利于增加磁鏈產(chǎn)生更大的反電勢。但是由于其端部會隨著線圈的繞制逐漸疊加，因此，還要額外擴大定子內部空間，故矩形繞組是不可取的，相比之下菱形繞組的端部不會重疊。

3 種形狀線圈如圖2 所示，六角形繞組兼顧了矩形繞組和菱形繞組的優(yōu)勢，既做到了盡可能地通過增加磁鏈來提高電機的反電勢，也能處理好繞組的端部問題，簡化繞組的制作過程。

圖2 3 種形狀線圈示意圖Fig.2 Schematic diagram of coils of three kinds of forms

它的制作并不是直接繞制成圓筒形狀，是將繞組按照一定的形狀和尺寸繞制成扁平的元件組，然后相互對接組成一個繞組帶，最后將繞組帶的首尾拉在一起，最終形成一個雙層圓筒繞組，粘在定子軛上共同組成電機的定子。

2.2 六角形繞組反電勢微分表達式

由于無槽電機的特點，繞組不需要使用短距來消除諧波，因此，以整距繞組為研究對象，為了方便推導繞組公式，可以將其平展在二維坐標系上進行分析。線圈位置如圖3 所示。

圖3 某一時刻一個線圈在磁場中的位置Fig.3 The position of a coil in the magnetic field at a certain time

線圈的任意位置角度為α，α0是線圈的初始位置角，r 為線圈的半徑。ds 為線圈的一段微分區(qū)域。在二維坐標系中，分析方法是將六角形線圈拆成菱形和矩形分別進行分析，然后再進行組合分析得到六角形繞組表達式。如圖4 所示為菱形線圈二維坐標系。

圖4 六角形線圈菱形部分二維坐標系展開圖Fig.4 2-D coordinate system expanded view of diamond part of hexagonal coil

圖中l(wèi) 為繞組軸向總長度；lD為六角形繞組中矩形部分軸向長度；l-lD為繞組菱形部分的軸向長度。位于圓周位置上的線圈在二維坐標系中的對應關系為

圖4 中的菱形左半部分陰影部分y1表達式為

圖4 中的菱形右半部分陰影部分y2表達式為

根據(jù)磁通量公式得

將式（5）和式（6）代入式（7）可得

式中，Bδ為氣隙磁密幅值。由式（8）和式（9）可得一個菱形線圈的磁通量表達式為

同理可求矩形部分磁通量表達式，二維坐標系分析如圖5 所示。

圖5 六角形線圈菱形部分二維坐標系展開圖Fig.5 2-D coordinate system expanded view of diamond part of hexagonal coil

矩形中陰影部分y 的表達式為

將式（11）代入式（7）可得

由式（12）和式（13）求得一個矩形線圈的磁通量表達式為

結合式（10）和式（14）得到一個六角形線圈的磁通量表達式為

將代入式（15）即可得到一個六角形線圈反電勢公式為

式中，ω 為角速度。設繞組密度為γ，則γrdφ0為繞組微分區(qū)域的匝數(shù)，因此，可得電機反電勢的微分關系式為

2.3 電磁轉矩表達式

如圖6 所示是六角形繞組其中一相的平面展開示意圖，三相分別占120°電角度。

圖6 其中一相六角形繞組的平面展開圖Fig.6 Plane expanded view of one phase of hexagonal winding

當電機運行在兩相導通三相六狀態(tài)時，繞組電磁力由其電流分布決定。由圖6 可見，電流的流向分為兩層，虛線處電流流向都為向上，實線處電流流向都為向下。如圖7 所示分解其中兩相，圖中豎線表示電流流向為向上，橫線則向下。在橫豎線交叉處（Z）電流產(chǎn)生的切向力相互抵消，而A、B 兩相中間空白小六角形由S2和S3填充且不重疊，S2和S3重疊部分產(chǎn)生的切向電磁力疊加。

圖7 某一導通時刻被分離的A、B 兩相繞組Fig.7 Separated a and b winding at a certain conducting time

為便于分析，將中間兩個小六角形看成S2、S3與不重疊部分（S1、S4）共同作用的結果。經(jīng)處理可得4 個單層等效的六角形電流面，如圖8 所示。

圖8 4 個單層等效六角形電流面Fig.8 Equivalent hexagonal current surface of 4 single layers

在分析電機運行的6 個導通狀態(tài)中，每一個狀態(tài)都可以等效成如圖8 所示的6 層六角形電流面。由電流流向等效的4 個單層六角形電流面產(chǎn)生的切向轉矩之和為每一個導通狀態(tài)的切向電磁轉矩，電磁切向力的微分公式為

然后4 層切向力疊加，得到電機每個導通狀態(tài)的切向電磁力為

通過式（24）可見，在通入恒定電流時，電機的電磁轉矩可以描述為一個關于起始角α0的正弦函數(shù)，表達式為

因此，電機6 個導通狀態(tài)的電磁轉矩波形如圖9所示。

圖9 恒定電流下隨繞組初始位置角變化的電磁轉矩曲線Fig.9 Electromagnetic torque curve of constant current changes with initial position angles of winding

綜上，欲求電機的電磁轉矩表達式可以用每個導通狀態(tài)產(chǎn)生的電磁轉矩平均值來表示：

通過式（2）得知，在電機產(chǎn)生的電磁轉矩已知的情況下，可以通過變換式（26）得到電樞電流的表達式：

2.4 反電勢和理想空載轉速表達式

由于三相繞組互差120°電角度，因此，求出其中兩相的線電壓反電勢波形，即可得到三相繞組線電壓反電勢波形。

三相無刷直流電機其中一相繞組的相反電勢過零點決定著繞組換相時機，當達到過零點之后，繼續(xù)導通30°電角度，即是繞組的換相點。無刷直流電機有6 個導通狀態(tài)，每個狀態(tài)持續(xù)60°電角度，且都是由其中兩相線反電勢最大值的電角度前后各30°組成，因此，電機每一個導通狀態(tài)的反電勢平均值為

式中，W 為電樞繞組的總匝數(shù)。當電機為空載時，由于電樞電流為0，因此，反電勢E 等于外加電壓源U。

2.5 機械特性分析

式中，rΦ為每相繞組的電阻，單位Ω；ΔU 為外部逆變器開關器件的電壓降，理想情況下為0。再將表達式（29）代入最終可得

當給定恒定的電壓源時，由式（32）可以得到菱形繞組（lD=0）和六角形繞組轉速n 與電磁轉矩T 的關系，即電機的機械特性曲線。兩種繞組的T-n 曲線示意圖如圖10 所示。

圖10 兩種繞組的機械特性曲線Fig.10 Mechanical property curve of two kinds of windings

從圖10 中可以看出在Ta（拖動相同負載）處時：

3 三維有限元驗證

本文以應用于電動舵機中的無槽無刷直流電機為研究對象，樣機參數(shù)如表1 所示。使用三維有限元仿真進行反電勢、轉速以及機械特性的驗證。

表1 無槽無刷直流電機樣機參數(shù)Table 1 Prototype parameters of slotless and brushless dc motor

雖然無槽電機具有無槽的特點，但在繞組設計方面可以借鑒有槽電機的設計思路來虛擬定位，總槽數(shù)Q 可以按照線圈數(shù)來定。本文采用Q=9 即分數(shù)槽的設計方式，每相分為3 個線圈，每個線圈占40°電角度，節(jié)距可通過式（34）求得

式中，p 為極對數(shù)；m 為相數(shù)。

通過查表可知樣機導線阻值為136 Ω/km，在本文樣機中可以求出菱形和六角形單匝繞組周長分別為118 mm 和121.6 mm。故兩種繞組單匝的電阻值分別為1.604 8×10-2Ω 和1.653 76×10-2Ω。樣機的三維求解模型如圖11 所示。

圖11 樣機三維求解模型Fig.11 3-D solution model of prototype

圖12 所示為電機磁密分布云圖，在箭頭所在線掃過的位置（r=10.5 mm 和h=30 mm）進行徑向磁密驗證。

圖12 電機磁密分布云圖Fig.12 Magnetic density distribution cloud map of motor

使用式（1）可以得到0＜φ＜2π 的氣隙磁場徑向磁密波形，如下頁圖13 所示通過與三維有限元仿真結果對比，可見解析與仿真吻合良好。

圖13 氣隙徑向磁密解析與仿真對比Fig.13 Radial magnetic density analysis and simulation comparison of air gaps

圖14 為轉速在10 800 r/min 時A、B 兩相的空載線反電勢波形。

圖14 兩種繞組A、B 兩相的線反電勢波形Fig.14 Linear back emf waveform of two phases of two kinds of A and B windings

使用式（28）可以解析出六角形繞組反電勢最大值為30.13 V，與仿真結果相比誤差為3.5%；使式（28）中l(wèi)D的等于0 可得菱形繞組反電勢最大值為27.4 V，與仿真結果誤差為2.4%。

菱形繞組和六角形繞組電機的空載轉速以及帶有0.16 Nm 負載時的負載轉速如圖15 所示。

圖15 兩種繞組樣機的空載轉速和負載轉速曲線Fig.15 No-load rotation speed and load rotation speed curve of two kinds of winding prototypes

由表達式（32）可得菱形繞組電機空載轉速以及負載轉速分別為14 604 r/min 和11 021 r/min，經(jīng)與仿真對比誤差分別為3.7%和2.8%。而六角形繞組電機計算空載轉速以及負載轉速分別為13 135 r/min和10 123 r/min，經(jīng)與仿真對比誤差分別為3.8%和2.8%。綜上可得圖16 所示的電機T-n 曲線。

圖16 兩種繞組的樣機機械特性曲線Fig.16 Mechanical property curve of prototypes of two kinds of windings

經(jīng)過仿真驗證，解析公式具有較高的準確性。由關系式（33）和仿真結果對比得知，六角形繞組相比于菱形繞組的確具有更好的機械特性。

4 結論

本文針對導彈電動舵機中高速永磁無槽無刷直流電機的繞組進行研究。分析比較菱形繞組和六角形繞組對電機機械特性的影響，具體結論如下：

1）分析了無槽電機特殊的結構特點，多變的繞組是影響其性能的主要原因之一。

2）基于菱形和矩形兩種不同繞組結構，提出一種六角形繞組結構，建立了理想轉矩、反電勢和轉速模型，且當矩形部分為0 時，也適用于菱形繞組的計算。

3）從解析方面對比了兩種繞組的機械特性，通過推導出的機械特性公式，得到了兩種繞組的負載轉速。

4）采用三維有限元法進行仿真驗證，仿真結果表明，解析結果與仿真結果吻合良好，新型六角形繞組結構的電機具有更優(yōu)的機械特性。