? 濟南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 穎 李曉娜

數(shù)學(xué)學(xué)科是歷史上最悠久的學(xué)科之一,從古代的結(jié)繩計數(shù)到如今電子計算機的快速運算,從丈量田畝的唯一用途到如今滲透到各學(xué)科的廣泛理論,大量數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的出現(xiàn)與發(fā)展,構(gòu)成了絢麗多彩的數(shù)學(xué)史.只有深入了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史才能更加全面地認(rèn)識這門學(xué)科,才能更加透徹地厘清人類文明的發(fā)展史.

融合可以解釋為兩個不同的系統(tǒng)(群體)在經(jīng)過一定的摩擦碰撞后融為一體,融合后二者會相互影響、相互促進.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合,就是指在一定的教育目標(biāo)的指引下,將數(shù)學(xué)史合理地滲透到數(shù)學(xué)課堂中,更容易幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)思想方法等.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的有機融合要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點進行,融合后會產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)科固有的特征.如促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)獨有的思想方法,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

1 數(shù)學(xué)史與教學(xué)有機融合的意義

陳省身先生曾經(jīng)說過:“了解歷史的變化,是了解這門科學(xué)的一個步驟.”數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)研究者、數(shù)學(xué)教師提供了邁向更高思維層次的階梯.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)史,既能豐富課堂的文化內(nèi)涵,又能提高學(xué)生的歷史涵養(yǎng),因此全面了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的價值是必要的.

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師,不僅要掌握詳細、全面的學(xué)科知識、教育學(xué)知識,還要掌握數(shù)學(xué)知識的發(fā)展背景、歷程,數(shù)學(xué)思想方法的形成、演變、發(fā)展過程等.數(shù)學(xué)涉及到的每一個知識點都是人類數(shù)千年思考與積累的結(jié)晶,數(shù)學(xué)中每一條定理、公理的出現(xiàn)在一定程度上都與社會生產(chǎn)生活密切相關(guān).教師只有深入了解數(shù)學(xué)知識的起源、發(fā)展,才能將“活”的數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)給學(xué)生,加速學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解,提高課堂教學(xué)效率.

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合,不僅能革新教師本身的知識體系、更新知識觀和教學(xué)觀,還能有效指導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展、修正、再發(fā)展的文化脈絡(luò),體會數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展進程中的重要作用.

2 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的策略

2.1 教師方面

數(shù)學(xué)史是每一位數(shù)學(xué)教師的必備知識,因此,如何提高數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是教師值得深入思考的問題.結(jié)合文獻閱讀與思考,筆者認(rèn)為可采取以下措施:

(1)積極主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識,提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)

數(shù)學(xué)史素質(zhì)的提升離不開數(shù)學(xué)史知識的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)史教育價值的認(rèn)識與補充、數(shù)學(xué)史應(yīng)用能力的提升.教師在教學(xué)外的閑暇時間有意多讀一些數(shù)學(xué)史方面的著作與文章雜志;隨著信息時代的發(fā)現(xiàn),無紙化閱讀、短視頻講解逐漸成為常態(tài),因此還可以利用微信公眾號、視頻號等學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史方面的知識.另外,調(diào)整好學(xué)習(xí)心態(tài),學(xué)會利用碎片化時間去吸收一些短小精悍的數(shù)學(xué)史知識.

(2)總結(jié)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的案例,創(chuàng)建教學(xué)資源庫

親自設(shè)計完整的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的案例,能快速提升教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng).但現(xiàn)實是殘酷的,一些數(shù)學(xué)教師并沒有積累足夠多的數(shù)學(xué)史知識,加上平時教學(xué)任務(wù)繁重,沒有足夠多的時間設(shè)計并實踐一個完整數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的案例.因此,教師在教學(xué)過程中需多注意收集數(shù)學(xué)史知識,并總結(jié)數(shù)學(xué)史知識融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例,使之形成一個較為完整且有待補充的教學(xué)資源庫.若將每個教師總結(jié)的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源庫匯總起來,就會形成一個容量大、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源總庫.因此,如何迅速設(shè)計出融合數(shù)學(xué)史知識的教學(xué)案例,并有意識地總結(jié)、歸納使之整理形成一個資源庫是各位一線教師以及研究者們值得深入思考的問題.

通過查閱、閱讀、分析文獻可知,關(guān)于案例庫建設(shè)的研究約五成集中于高等教育,且多應(yīng)用于醫(yī)學(xué);僅有4%的研究集中于中學(xué)教育,且多用于政治、英語與漢語言.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)資源庫建設(shè)的研究較少,關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫建設(shè)的研究更需投入大量時間與精力.

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫的建設(shè)主要采用一個個有教學(xué)意義與育人意義的真實教學(xué)片段,要求既包含完整的教學(xué)對話,又包含案例的思考與補充.案例庫素材的來源廣泛,包含各級各類一線教師親身經(jīng)歷的教學(xué)案例、重點教育期刊中的案例、網(wǎng)絡(luò)檢索得到的案例.案例入庫時,內(nèi)容要做到完整準(zhǔn)確,格式要做到規(guī)范統(tǒng)一,并設(shè)置一定的編號,便于后續(xù)檢索與修改[1].

例如,初一數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫的建設(shè)可以按照如下方式進行:①按課本知識順序編號(順序與課本知識內(nèi)容順序一致,便于快速檢索),如北師大版七年級下冊2.1有理數(shù)——湯斯達故事;②按數(shù)學(xué)史內(nèi)容編號(該方式以數(shù)學(xué)史為線索提升教師的發(fā)散思維),如割補法——完全平方公式/勾股定理.

(3)積極參與并嘗試開展有關(guān)數(shù)學(xué)史知識的培訓(xùn)或者課題研究項目

教師專業(yè)素質(zhì)的提升離不開繼續(xù)教育和開展課題研究.有一些學(xué)校會進行有關(guān)數(shù)學(xué)史知識的培訓(xùn),要求教師積極參與并整理資料、總結(jié)經(jīng)驗.但是,部分學(xué)校并沒有意識到開展數(shù)學(xué)史培訓(xùn)的重要性.教師可通過深入了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的價值,勇于提出自己的想法,積極申請有關(guān)數(shù)學(xué)史的課題研究項目.做好該項工作需做到:閱讀、整理、提供大量經(jīng)典的數(shù)學(xué)史資料;把握最新發(fā)展方向并結(jié)合教學(xué)實踐給出研究主題;制定合理規(guī)范的評價標(biāo)準(zhǔn);撰寫完整的項目申請書.

2.2 教學(xué)方面

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的最佳途徑是課堂教學(xué),具體來說就是將與課堂知識相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識融入到課堂中.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂要注意合理利用,不是為了講歷史故事而引入,而是追求歷史故事與數(shù)學(xué)知識的契合.用歷史故事解釋現(xiàn)實知識,重現(xiàn)歷史知識的發(fā)展與演變,為數(shù)學(xué)知識注入生命力,使數(shù)學(xué)概念、定理等通俗易懂,開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合從宏觀上可分為直接融合法和間接融合法,下面展開詳細介紹.

(1)直接融合法

直接融合法是指將數(shù)學(xué)史直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前,為學(xué)生提供生動的數(shù)學(xué)史材料.如通過以下方式將數(shù)學(xué)史直接融入課堂:

①介紹定理的發(fā)展過程.將多元的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展史引入數(shù)學(xué)課堂中,首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會欣賞多樣的數(shù)學(xué)文化,其次鼓勵學(xué)生從多方面考慮問題,最后借助數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂碰撞產(chǎn)生的奇妙火花,促進學(xué)生發(fā)展多元思維和創(chuàng)造性思維.豐富多彩的數(shù)學(xué)發(fā)展史會讓學(xué)生認(rèn)識到,在不同文化的孕育下會產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)思想方法,進而認(rèn)識到文化的多元性導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的多元化.

例如,勾股定理的證明可以追溯到我國數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖證明法、古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的演繹法.通過歷史故事的講解,一方面加深學(xué)生對知識的理解,另一方面向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的無窮魅力,增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

②介紹歷史上各種名題、悖論.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中常常會出現(xiàn)類似于題海戰(zhàn)術(shù)的機械訓(xùn)練,耗盡了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的濃烈興趣,導(dǎo)致部分學(xué)生談數(shù)學(xué)色變,更不敢嘗試學(xué)好數(shù)學(xué).著名教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為對學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生興趣是引起學(xué)生注意的最佳刺激.如果教師在教學(xué)中有意引入一些內(nèi)涵豐富、生動形象的教學(xué)材料,如數(shù)學(xué)史知識,能大大提升數(shù)學(xué)課堂對學(xué)生的吸引力,進而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心,從根本上改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度.

例如,用尺規(guī)法無法完成的三大作圖難題、歐拉用一筆畫方法解決的哥尼斯堡七橋問題、引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機的貝克萊發(fā)難、引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機的羅素悖論等.讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到:問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的心臟.每一個難題、每一個悖論的提出都是對數(shù)學(xué)發(fā)展的一次挑戰(zhàn),需要數(shù)學(xué)家在原有的理論基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出能解決難題的理論或方法,從而促進數(shù)學(xué)理論的不斷完善,推動數(shù)學(xué)的發(fā)展.

(2)間接融合法

間接融合法不明確地講歷史,而是以歷史為線索展開教學(xué),用歷史上總結(jié)出來的思想方法來啟示教學(xué).該方法以歷史為背景、以數(shù)學(xué)家的角度、數(shù)學(xué)史的思想為依托讓學(xué)生經(jīng)歷整個證明過程,使學(xué)生的思維得到質(zhì)的飛躍.

例如,在研究三角形的內(nèi)角和定理時,在課堂中首先要求學(xué)生在提前準(zhǔn)備好的空白紙上用鉛筆和直尺畫出多個任意形狀的三角形,鍛煉學(xué)生動手能力,鼓勵學(xué)生用量角器量出已畫出三角形所有內(nèi)角的大小,再自己探索三角形三個內(nèi)角度數(shù)的數(shù)量關(guān)系并展開小組討論.學(xué)生會陸續(xù)得出結(jié)論:三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)和是180°.得到此結(jié)論后,拋磚引玉,提出問題:任意三角形的內(nèi)角和都是180°嗎?大多數(shù)學(xué)生很快給出他們猜想的答案,并給出肯定的回答.接下來,引導(dǎo)學(xué)生驗證自己的猜想,在驗證的過程中讓學(xué)生學(xué)會推理論證等證明方法.通過教師的引導(dǎo),學(xué)生動手在畫出的三角形中作平行線,借助平行線定理并利用等量代換驗證先前的猜想是正確的.回顧整個驗證的過程,實際上是讓學(xué)生自己經(jīng)歷歸納結(jié)論、猜想結(jié)論、演繹結(jié)論的完整過程.

數(shù)學(xué)致力于研究現(xiàn)實世界抽象出的數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡言之,數(shù)學(xué)致力于研究數(shù)與形的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中常用且重要的一種思想方法,源于數(shù)與形之間的密切聯(lián)系與相互影響.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生對數(shù)形結(jié)合思想有著深刻的理解:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”這首詩將數(shù)與形之間的微妙關(guān)系展現(xiàn)得淋漓盡致.數(shù)形結(jié)合思想可以理解為將嚴(yán)謹(jǐn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀明確的幾何圖形融為一體,以形助數(shù)、以數(shù)釋形.

例如,在學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”這節(jié)課時,設(shè)計如下活動:根據(jù)給定坐標(biāo),繪出適宜的圖形;根據(jù)給定圖形,寫出準(zhǔn)確的點的坐標(biāo).在學(xué)習(xí)的過程中向?qū)W生介紹笛卡兒坐標(biāo)系以及笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻,以達到加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想理解的目的,同時提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,增強學(xué)生的共情能力[2].

間接融合法對教師的要求很高,需要教師了解所學(xué)主題背后的歷史,理解知識點發(fā)展過程中的關(guān)鍵點、難點,重構(gòu)知識點的發(fā)展環(huán)節(jié),使之與課堂教學(xué)契合.但是,無論何種引入方式都要注意立足于學(xué)生的實際情況[3].

2.3 學(xué)生方面

教育的宗旨是培養(yǎng)人.要更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)相融合,必須將落腳點放在學(xué)生本身,換句話說,教學(xué)要基于學(xué)生.但是教學(xué)仍需超越學(xué)生、讀懂學(xué)生、尊重學(xué)生,數(shù)學(xué)史的選擇與組織要符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律、認(rèn)知水平和已有的知識經(jīng)驗[4].

教師可從以下三方面定位學(xué)生已有的經(jīng)驗:(1)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的起點,換言之,關(guān)注學(xué)生對已學(xué)知識的掌握程度及對將要學(xué)習(xí)知識的了解程度;(2)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的困難點,有針對性地設(shè)置一堂課的重點教學(xué)環(huán)節(jié);(3)關(guān)注學(xué)生的頓悟點,預(yù)設(shè)合適的教學(xué)環(huán)節(jié),思考如何才能最大程度地啟發(fā)學(xué)生[5].

例如,“一次函數(shù)”第1課時引入環(huán)節(jié)中,介紹李善蘭(中國數(shù)學(xué)家)著作的發(fā)展歷程,了解函數(shù)二字的由來、意義,加深學(xué)生對函數(shù)概念、表示方法的理解.該設(shè)計既銜接了學(xué)生已掌握的知識、擴展了“函數(shù)”的內(nèi)涵與外延,又契合了本堂課教學(xué)的重難點.數(shù)學(xué)史與教學(xué)過程的融合離不開學(xué)生本身的體驗與思考,如何落實以生為基、以史立人、研史促育,值得各位一線教師深入思考.

3 反思與展望

隨著素質(zhì)教育的提出,數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合受到越來越多的關(guān)注,國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教育家發(fā)表了許多關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的論文,但是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的具體教學(xué)案例不多,且沒有形成系統(tǒng)的案例庫.因此,需要教師結(jié)合數(shù)學(xué)史開展具體的教學(xué)設(shè)計,并在實踐中不斷修改與完善.