王甲春，林煜凱，曾瑞江

（廈門理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，福建 廈門361024）

畫法幾何學(xué)橢圓的經(jīng)典畫法是四心圓法，它需要用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)給定長(zhǎng)半軸和短半軸的近似橢圓，用4個(gè)相切的圓弧繪制橢圓。用圓弧代替橢圓弧的方法形成橢圓，至少可以追溯到16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期，甚至可追溯到公元1世紀(jì)的羅馬競(jìng)技場(chǎng)中橢圓建筑的建造［1］。四心圓法被認(rèn)為是最早手繪橢圓的方法，至今它仍在橢圓的制作中發(fā)揮著重要的作用。計(jì)算機(jī)時(shí)代工程圖學(xué)要利用計(jì)算思維與圖形思維相結(jié)合來解決工程問題［2］，雖然四心圓法繪制橢圓的歷史悠久，但是針對(duì)此方法的計(jì)算分析才是近些年來開展的工作。閆培澤［3］研究了用數(shù)值四心圓法繪制橢圓的誤差，得出短長(zhǎng)軸比為0.24 附近時(shí)絕對(duì)誤差值最大，但是沒有揭示誤差的分布規(guī)律。文獻(xiàn)［4-5］討論了四心圓法繪制橢圓的法向誤差的變化規(guī)律，唐立波［6］給出了四心圓法繪制橢圓法向誤差的三角函數(shù)表達(dá)式，周亞輝等［7］研究利用八心圓法來降低四心圓法的誤差，但是這兩種方法過于復(fù)雜。在建筑建造的過程中，橢圓形的混凝土建筑物、構(gòu)筑物模板的支撐和安裝需要明確絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，用以確定是否需要調(diào)整。因此，本文全面分析四心圓法形成橢圓的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的變化規(guī)律，并利用CAD 三維表示四心圓法繪制橢圓和橢圓的相對(duì)位置關(guān)系，明確四心圓法形成橢圓誤差的整體變化規(guī)律，計(jì)算出誤差的極值點(diǎn)，便于四心圓法在建筑工程中的應(yīng)用。

1 橢圓的形成

畫法幾何中四心圓法繪制橢圓（見圖1），方法簡(jiǎn)單，用尺規(guī)能夠完成，手工繪制方便，用四段圓弧來代替橢圓也有利于建造的實(shí)施。設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

圖1 四心圓法繪制橢圓Fig.1 Drawing ellipse by four-center method

圓2的方程為：

2 誤差分析

2.1 誤差的表達(dá)

由圖2可見，除了橢圓端點(diǎn)A外，第一象限圓1的圓弧在橢圓弧外側(cè)。由圖3可見，第一象限圓2的圓弧與橢圓弧有一個(gè)交點(diǎn)M，DM段橢圓弧在圓弧的外側(cè)，MP1段圓弧在橢圓弧的外側(cè)，端點(diǎn)D是重合點(diǎn)，橢圓與圓2的交點(diǎn)M坐標(biāo)［10］為。

圖3 第一象限圓2的圓弧與橢圓弧Fig.3 Arc and elliptical arc of the first quadrant circle 2

第一象限圓弧與橢圓弧的誤差分析，兩段圓弧的方程變形為

令絕對(duì)誤差f為

由圖4可見，絕對(duì)誤差f在圓2段隨著x值的增加而增加，屬于正偏差，達(dá)到最大值后下降到負(fù)偏差，存在一個(gè)極大值點(diǎn)；絕對(duì)誤差f在圓1 段是負(fù)偏差，存在一個(gè)極小值點(diǎn)，整個(gè)絕對(duì)誤差曲線呈“鉤狀”。另外，由圖4的兩條曲線來看，b值固定，a值增大，絕對(duì)誤差f的絕對(duì)值增加。

圖4 絕對(duì)誤差隨x值的變化Fig.4 Absolute error varying with x value

相對(duì)誤差g為：

由圖5可見，相對(duì)誤差在長(zhǎng)軸端點(diǎn)附近快速增加，這主要是由于長(zhǎng)軸端點(diǎn)附近橢圓y值接近于0，因此，相對(duì)誤差快速增加。

圖5 相對(duì)誤差隨x值的變化Fig.5 Relative error varying with x value

2.2 結(jié)果分析

分析橢圓尺寸對(duì)絕對(duì)誤差f的影響。令，分別比較兩個(gè)圓的切點(diǎn)附近的絕對(duì)誤差f的變化規(guī)律，結(jié)果見圖6。計(jì)算的點(diǎn)的位置位于切點(diǎn)P1附近，可以看出，k值增加，絕對(duì)誤差f值的絕對(duì)值越大，也就是橢圓越扁，絕對(duì)誤差越大。

圖6 絕對(duì)誤差隨k值的變化(b=5)Fig.6 Absolute error varying with k value (b=5)

絕對(duì)誤差曲線的極值點(diǎn)，先求偏導(dǎo)數(shù)。即

式（6）是一元四次方程，利用Matlab 求解，但是根的通式太繁瑣。通過數(shù)值解得到驗(yàn)證，當(dāng)a=10、b=5時(shí)，解出符合要求的根x2=9.095 4；當(dāng)a=15、b=5時(shí)，解出符合要求的根x′2=13.856 3，由圖4可見，這兩個(gè)根是正確的。

應(yīng)用CAD 軟件以四心圓法繪制圓弧形成的橢圓和相同長(zhǎng)短軸的橢圓為邊界旋轉(zhuǎn)形成橢球體，如圖7 所示，藍(lán)色是四心圓法繪制部分，灰色是橢圓部分。由圖7可以看出兩個(gè)橢球體的差別，長(zhǎng)軸附近是圓包裹橢圓，也就是四心圓法繪制的橢圓大于真實(shí)的橢圓，在短軸附近橢圓與圓非常接近。

圖7 四心圓法繪制橢圓的三維表示Fig.7 Three dimensional representation by four-center method

3 結(jié)論

通過對(duì)四心圓法形成橢圓的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的分析，得到絕對(duì)誤差的2個(gè)極值點(diǎn)，其中負(fù)偏差的極值點(diǎn)是四次方程的根；橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的數(shù)值確定后，可以計(jì)算出極值點(diǎn)的位置和誤差大??；相對(duì)誤差在長(zhǎng)軸端點(diǎn)附近最大。利用CAD 三維繪圖，可表達(dá)出橢圓誤差的分布三維表示，在橢圓長(zhǎng)軸的兩端誤差最大。