邱冰,李小兵,石志新,賈超逸,羅玉峰

(南昌大學先進制造學院,江西 南昌 330031)

欠秩并聯(lián)機器人機構具有結構緊湊簡單、設計加工簡便、控制簡單等優(yōu)點,是機構學研究領域的熱門之一[1-3],在工業(yè)生產(chǎn)以及航空等其他領域具有廣泛的應用前景[4-8]。

近年來,許多來自國內外的學者研究了三自由度并聯(lián)機構機器人拓撲結構類型。1983年,1T2R型三自由度并聯(lián)機構3-RPS首次由Hunt[9]提出。馮永平等[10]運用方位特征集理論對一平移二轉動并聯(lián)機構進行了型綜合,給出了一平移二轉動輸出并聯(lián)機構拓撲結構設計的一般步驟及其具體方法。張志良等[11]運用螺旋理論分析了一平移兩轉動機構及其位置。季青等[12]以一平移兩轉動機構為研究對象,分析其機構運動學和工作空間。沈惠平等[13]對單自由度一平移兩轉動并聯(lián)運動振動篩進行了動力學分析,為多回路并聯(lián)機構動力學參數(shù)優(yōu)化提供了理論基礎。謝冬福[14]等提出了一種并聯(lián)腿六足農(nóng)業(yè)機器人,對并聯(lián)腿機構運動學和工作空間進行了深入研究。陳淼等[15]設計了一種3-RPS/SPS并聯(lián)機構,通過建立其運動學模型和使用閉環(huán)矢量法,系統(tǒng)地分析了機構正逆運動學。

本文提出一種新型1T2R并聯(lián)機構2-SPS/PRR。首先利用方位特征方程對該機構進行拓撲結構分析,得到其方位特征集。根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的自由度(degrees of freedom,DOF)公式,驗證其DOF。利用封閉矢量法分析其運動學逆解,機構運動學正解通過多種群遺傳算法得到,并與逆解相互印證,而后基于蒙特卡洛算法求解其工作空間,最后進行運動學仿真分析得到其運動變化曲線,為后續(xù)研究和設計該類型的機械構型提供參考依據(jù)。

1 并聯(lián)機構結構分析

1.1 機構設計

2-SPS/PRR并聯(lián)機構結構簡圖如圖1所示,機構由3條支鏈構成,其中支鏈一的拓撲結構表示為SOC{-P11-R12R13-},支鏈二、三拓撲結構表示為SOC{-Si1-Pi2-Si3}(i=2,3)。

圖1 2-SPS/PRR并聯(lián)機構Fig.1 2-SPS/PRR parallel mechanism

1.2 并聯(lián)機構拓撲分析

1.2.1 確定支路末端構件的POC集

2-SPS/PRR并聯(lián)機構三維模型見圖2所示。

圖2 2-SPS/PRR并聯(lián)機構三維模型Fig.2 3D model of 2-SPS/PRR parallel mechanism

支路1的方位特征集(POC集):

取R12副與R13副的兩軸線交點為基點,支路SOC{-P11-R12R13-}末端構件的POC集為

(1)

式中:t為獨立移動元素;r為獨立轉動元素;P為移動副;R為轉動副;||表示平行;◇表示平面。

支路2、3的方位特征集(POC集):

支路SOC{-Si1-Pi2-Si3}(i=2,3)末端構件的POC集為

(2)

1.2.2 建立并聯(lián)機構方位特征方程

根據(jù)并聯(lián)機構方位特征集的運算規(guī)則,將三支路的末端機構的方位特征集帶入并聯(lián)機構方位特征方程中,得到

(3)

1.2.3 檢驗機構自由度

由于機構的DOF對POC集的運算產(chǎn)生約束,因此需要對并聯(lián)機構的自由度進行檢驗。

通過分析組成該并聯(lián)機構的3條支路的拓撲結構,以及3條支路在動、靜平臺之間的裝配關系,根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的DOF公式:

(4)

式中:F為機構DOF;fi為第i個運動副的自由度的數(shù)目;m為運動副的數(shù)目;v為獨立回路的數(shù)目;ξLj為第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù);Mbi為第i條支路末端POC集;dim.{M}表示方位特征集的維數(shù)。

1) 第1個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL1的計算。

第1個獨立回路由第一、二條支路組成,由式(4),ξL1為

(5)

第一、二條支路組成的子并聯(lián)機構自由度為

(6)

第一、二條支路組成的子并聯(lián)機構的動平臺的POC集為

(7)

2)第二個獨立回路的獨立位移方程數(shù)ξL2的計算。

考慮到P11、P21與P31副為空間任意交叉,則

ξL2=dim.{Mpa(1-2)∪Mb3}=

(8)

第一、二、三條支路的子并聯(lián)機構的DOF為

(9)

所以,機構的自由度為3滿足設計要求。

2 2-SPS/PRR并聯(lián)機構正逆解分析

2.1 并聯(lián)機構的描述及動坐標系、靜坐標系的建立

如圖3所示,2-SPS/PRR并聯(lián)機構由靜平臺、動平臺和位于它們之間的3條支路組成。3條支路中間均為移動副,且以3個移動副作為機構的驅動副,通過驅動裝置推動移動副發(fā)生相對位移,使得3條桿的桿長發(fā)生變化,從而改變動平臺的空間位置和空間姿態(tài)。設定該動、靜平臺均為正三角形,動平臺B1B2B33個點均勻分布在半徑為r的圓周上,靜平臺A1A2A33個點勻分布在半徑為R的圓周上。

圖3 2-SPS/PRR并聯(lián)機構坐標系Fig.3 Coordinate system of 2-SPS/PRR parallel mechanism

分別在動平臺和靜平臺所處圓周的圓心處建立動坐標系{O1uvw}和靜坐標系{Oxyz}。靜平臺x軸平行于A2A3,y軸垂直于A2A3,z軸由右手螺旋定則可知垂直于靜平臺。動平臺u軸平行于B2B3,v軸垂直于B2B3,由根據(jù)右手螺旋定則可確定w軸的方向為垂直于動平臺。

與傳統(tǒng)并聯(lián)機構相比,此并聯(lián)機構各支鏈位置分布方式一致且對稱性好,3條支鏈均布置一個驅動副關節(jié),支鏈結構簡單且相似。因此,該機構具有復雜度低、穩(wěn)定性好、不存在伴隨運動和易于控制的特點。

2.2 機構逆解分析

并聯(lián)機構逆解分析是:通過已知的末端執(zhí)行器的空間位置和空間姿態(tài),求解各個關節(jié)輸入量的取值。

對于此并聯(lián)機構的逆運動學分析是:給定動平臺的空間位置參數(shù)和姿態(tài)轉角參數(shù),即動平臺沿z軸的位移d和關于x軸旋轉的角度γ及關于y軸旋轉的角度β,求出對應3條支鏈的桿長長度L1、L2、L3。

常用的逆運動學求解方法一般有2大類:

封閉解和數(shù)值解,其中封閉解通過不同方法將約束方程中的未知數(shù)消去,得到解析表達式后再解得方程的所有解。而數(shù)值法一般不能求得所有解,因此不適合進行理論上的研究,并且數(shù)值解法比封閉解法更加耗時且復雜。因此本文采用封閉矢量法求解此并聯(lián)機構運動學逆解。

根據(jù)在動平臺位置處建立的動坐標系{O1uvw},確定3條支鏈與動平臺連接處各點的齊次坐標如下:

(10)

根據(jù)在靜平臺位置處建立的靜坐標系{Oxyz},確定3條支鏈與靜平臺連接處各點的齊次坐標如下:

(11)

由2-SPS/PRR并聯(lián)機構的運動特征可知:

動平臺位移與各個支鏈末端位移相等,動平臺存在2個方向的轉動。因此,根據(jù)動平臺與靜平臺的位置關系,動坐標系{O1uvw}相對于定坐標系{Oxyz}的齊次變換矩陣為:

(12)

式中:trans為平移矢量;Rot為旋轉矢量;sβ、sγ分別表示sinβ、sinγ;cβ、cγ分別表示cosβ、cosγ,下同。

(13)

通過機構矢量關系得到各個驅動副的桿長計算公式分別為:

(14)

并聯(lián)結構各支鏈均以移動副作為機構的驅動副,因此只需給定動平臺的位置和姿態(tài)參數(shù),即給定β、γ、d,逆解的求解即可式(14)求得。通過Matlab求得以下5組算例下對應的桿長l1、l2、l3的尺寸,見表1。

表1 逆解算例Tab.1 Example of inverse solution

2.3 基于多種群遺傳算法的正解分析

并聯(lián)機構由于自身結構相對復雜,其位置的正解具有很大的難度。本文運用多種群遺傳算法對并聯(lián)機構進行正運動學分析,多種群遺傳算法通過使用群體搜索技術,將一組問題的解放入各個種群中,并對各個種群實施進行一系列的選擇、交叉和變異等遺傳操作,且各個種群的進化方向不同,使得搜索能力得到大幅增強,并生成新一代的種群,各個不同的種群之間通過移民算子進行相互聯(lián)系,即分別把每個種群的最優(yōu)個體分別引進到其他種群中,通過多個種群共同進化而取得最優(yōu)解。與傳統(tǒng)遺傳算法相比,多種群遺傳算法能有效避免早熟問題,且提高了全局搜索能力,從而減少迭代次數(shù)和時間,提高了求解效率。

以并聯(lián)機構的正解為最優(yōu)搜索目標,引入適應度函數(shù)F,建立并聯(lián)機構正運動學的數(shù)學求解模型。圖4為多種群遺傳算法運算流程圖。

圖4 多種群遺傳算法流程圖Fig.4 Flow chart of multi population genetic algorithm

1)確定優(yōu)化目標函數(shù)。

建立關于z、β、γ的目標函數(shù)如下:

(15)

2)適應度函數(shù)。

適應度函數(shù)根據(jù)求解問題本身的要求而定,因此本算例的適應度函數(shù)構造是將目標函數(shù)直接映射成適應度函數(shù),令F=|f1|+|f2|+|f3|為個體適應度函數(shù),當F<10-7時,終止迭代,其中多種群遺傳算法參數(shù)見表2。

說起天窗，我們并不陌生。那些最初被我們稱為“囪”“通孔”的口子，就是最早期的“天窗”雛形。1941年，世界上第一座真正意義上的天窗在丹麥出現(xiàn)。在人們對建筑光環(huán)境的迫切需求下，建筑天窗應運而生，并深得許多設計師的青睞，開始出現(xiàn)在一些公共建筑及住宅項目中。進入21世紀，隨著科學技術的進步，天窗的設計與功能也變得越來越豐富，甚至一度成為現(xiàn)代建筑設計的潮流。既是窗戶也是天花，天窗的混合性使其能夠成為建筑空間中的關鍵元素。不得不說，利用天窗的形狀和角度加以靈活地布置，任何空間皆可變得獨特而美觀，僅僅是和天空近距離的接觸，就能改變空間給人的第一印象，這大概就是天窗的魅力所在。

表2 遺傳算法參數(shù)Tab.2 Parameters of genetic algorithm

由位置正解的計算結果表3可知,在給定桿長參數(shù)下,通過多種群遺傳算法可以得到動平臺位置和姿態(tài)的數(shù)值解。

表3 正解計算結果Tab.3 Calculation results of positive solution

由圖5可知,5組算例的適應度曲線收斂速度均較快,當?shù)螖?shù)為50次時,5組算例的適應度值均趨近為0。由此可知,多種群遺傳算法可以有效且迅速地得到該并聯(lián)機構的正解,同時也為此并聯(lián)機構工作空間的求解問題提供理論基礎。

進化代數(shù)圖5 多種群遺傳算法適應度曲線Fig.5 Fitness curve of multi population genetic algorithm

3 工作空間分析

并聯(lián)機構的工作空間是指機構動平臺上的參考點在空間內所有可達位置的集合。對于此并聯(lián)機構,通過選取動平臺上參考點所處附近空間的點的集合,判斷并找出滿足3條支鏈桿長參數(shù)約束要求的點集,這些點集共同組成其工作空間,此時通過逆解即可求得其工作空間。

本文使用蒙特卡洛算法,基于數(shù)理統(tǒng)計理論中的概率與統(tǒng)計的思想,對該機構工作空間姿態(tài)進行求解,以逆解方程為約束條件,找出滿足主動構件參數(shù)及運動副約束要求的點集。

建立動平臺關于z軸的位移d、繞x軸的轉角γ、繞y軸的轉角β目標函數(shù)如下:

(16)

蒙特卡洛算法的主要步驟為:

1)設定動平臺所處的外接圓半徑r、靜平臺所處的外接圓半徑R以及驅動裝置推動移動副發(fā)生相對位移的范圍。

3)將得到的末端輸出位姿坐標進行記錄,并利用Matlab軟件將所有的位姿坐標繪制成圖6所示的工作空間。

(a)工作空間三維圖

該機構運動尺寸參數(shù)設定如表4所示。

表4 并聯(lián)機構運動尺寸參數(shù)Tab.4 Motion parameters of parallel mechanism

由圖6可知,在給定的尺寸參數(shù)和運動參數(shù)下,機構動平臺繞x軸旋轉角度β∈[-190°,190°],繞y軸旋轉角度γ∈[-215°,215°],沿z軸移動距離d∈[475,560]。同時可看出,此并聯(lián)機構具有較大的姿態(tài)工作空間,且工作空間形狀較為規(guī)則、邊界清晰,因此其具備優(yōu)良的工作性能和良好的應用前景。

4 并聯(lián)機構的運動仿真

將該并聯(lián)機構三維模型導入Adams軟件,如圖7所示。分別對該機構運動副設置連接及約束,添加三條支鏈中的移動副作為驅動副,桿長變化數(shù)學表達式如式(17)所示。通過對該并聯(lián)機構進行運動學仿真,以觀察各構件運動過程中是否發(fā)生干涉,從而驗證此機構設計的合理性。

圖7 2-SPS/PRR機構虛擬樣機Fig.7 Virtual prototype of 2-SPS/PRR parallel mechanism

(17)

輸出位于動平臺上動坐標系原點的位姿曲線,見圖8所示。

t/s(a) 動平臺沿z軸位移變化曲線

通過運動學仿真曲線可知,在5 s時間內,動平臺旋轉角度α的變化范圍為2°～12°,旋轉角度β的變化范圍為-14°～15°,動平臺在Z方向上的位移變化范圍為398～569 mm,且在Adams仿真運動過程中機構未發(fā)生干涉,運動平穩(wěn)。

5 結論

1)提出了一種2-SPS/PRR并聯(lián)機構,通過機構拓撲學理論得出2-SPS/PRR并聯(lián)機構具有一平移兩轉動3個自由度,并根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的DOF公式,驗證其正確性。

2)通過建立動、靜坐標系,利用封閉矢量法建立運動學逆解模型,并進行算例求解。使用多種群遺傳算法得到復雜正解計算的數(shù)值解,其正逆解算例相互驗證。2種計算方法對并聯(lián)機構的運動學分析具有十分有效的參考意義。

3)基于蒙特卡洛法,用Matlab軟件求解得到其工作空間,從工作空間圖中可以看出其工作空間大且連續(xù)。用Adams軟件建立該機構模型,并對動平臺動力學仿真,可看出其運動性能良好,對機構的實際應用具有重要意義。