張瑜

向量是銜接代數(shù)屬性與幾何圖形的一個(gè)重要紐帶，合理溝通“數(shù)”（代數(shù)）與“形”（幾何）之間的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合的典范之一.而巧妙將向量知識(shí)融入到立體幾何中，動(dòng)靜直觀，數(shù)形結(jié)合，是數(shù)學(xué)知識(shí)交匯、數(shù)學(xué)思維融合、數(shù)學(xué)能力綜合等方面表現(xiàn)突出的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)，倍受命題者青睞.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 （2023年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷·12）已知OA，OB，OC為空間中的三個(gè)單位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB與OC夾角為60°，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn)，且|OP|=1，滿足|OP·OC|≤|OP·OB|≤|OP·OA|，則|OP·OC|的最大值為___________.

本題以空間向量為問(wèn)題背景，結(jié)合空間向量的長(zhǎng)度關(guān)系與位置關(guān)系，以及數(shù)量積的絕對(duì)值的不等關(guān)系進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，有“動(dòng)”的展示、“靜”的確定，動(dòng)靜結(jié)合，數(shù)形直觀，綜合考查學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化情境中的直觀想象、空間想象能力等，以及對(duì)空間向量投影的理解，進(jìn)而選擇相應(yīng)的技巧與方法來(lái)分析與解決問(wèn)題.

作為空間向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，可以從代數(shù)運(yùn)算“數(shù)”的視角切入，結(jié)合坐標(biāo)思維來(lái)處理；也可以從幾何圖形“形”的視角切入，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義或空間圖形的幾何特征等來(lái)處理.由于視角多變，方法多樣，因此在處理過(guò)程中需要耐心、細(xì)心，以及空間想象能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的綜合顯現(xiàn).