劉岳　歐陽英圖　葉雯

摘 要：加速壽命試驗是利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗技術(shù)。針對在汽車智能化發(fā)展中起著重要作用的汽車電子器件，本文將服從對數(shù)正態(tài)分布的樣本在步進應(yīng)力加速壽命試驗中的統(tǒng)計分析結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計推斷，得出了基于貝葉斯統(tǒng)計的加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法，從而實現(xiàn)了對汽車電子器件的壽命估計。本文通過有機發(fā)光二極管的案例應(yīng)用，驗證了貝葉斯對數(shù)正態(tài)分布加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法的可行性和有效性，對相關(guān)理論研究和工程試驗的開展具有借鑒意義。

關(guān)鍵詞：汽車電子產(chǎn)品 壽命分析 加速壽命試驗 貝葉斯統(tǒng)計推斷

1 緒論

隨著汽車電氣化乃至智能化的發(fā)展，汽車電子器件在車身各關(guān)鍵設(shè)備上的應(yīng)用日漸廣泛[1]。汽車電子器件的工作狀態(tài)、功能、壽命與汽車的正常行駛息息相關(guān)，若出現(xiàn)問題，輕則造成財產(chǎn)損失，重則造成人員傷亡。因此，對汽車電子器件進行壽命分析，具有重大的實際意義。

1.1 加速壽命試驗與加速模型

為了快速地暴露產(chǎn)品的薄弱環(huán)節(jié)，在較高應(yīng)力下以更短的試驗時間推斷正常應(yīng)力下的壽命特征，常采取加速壽命試驗（Life Accelerated Testing，ALT）。即在失效機理不變的基礎(chǔ)上，通過加速模型，利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗技術(shù)。加速壽命試驗方法因其可縮短試驗時間、提高試驗效率、降低試驗成本等優(yōu)勢已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各類工程實際問題之中[2]。

為了能夠利用ALT中搜集到的產(chǎn)品壽命信息外推產(chǎn)品在正常應(yīng)力條件下的壽命特征，必須建立產(chǎn)品壽命特征與加速應(yīng)力水平之間的關(guān)系，即加速模型。常用的加速模型分為物理模型和統(tǒng)計模型，具體有阿倫尼斯模型、艾琳模型、廣義艾琳模型、沖蝕磨損模型、逆冪律模型、Coffin-Manson模型、Norris-Landzberg模型等[3]。

ALT的統(tǒng)計分析是通過估計壽命分布函數(shù)的參數(shù)和確定加速模型的參數(shù)，從而外推評估正常應(yīng)力水平S0下的壽命特征。

1.2 貝葉斯理論

在工程和實際試驗中，對于待估計參數(shù)常常會有一定的現(xiàn)有經(jīng)驗和信息，為了利用好這一部分信息，同時通過新的數(shù)據(jù)對已有信息進行更新，則常用貝葉斯統(tǒng)計方法[4]進行統(tǒng)計推斷。

p（θ|y）稱為后驗密度函數(shù)；p（θ）稱為先驗密度函數(shù)；m（y）是數(shù)據(jù)的邊沿密度函數(shù)；f（y|θ）是數(shù)據(jù)的抽樣密度函數(shù)。

由于汽車為批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，因此其電子器件也具有相當(dāng)多的歷史信息，故采用基于貝葉斯統(tǒng)計ALT分析，能夠更準確地評估汽車電子器件壽命，并對產(chǎn)品已有信息進行更新。

2 基于貝葉斯統(tǒng)計的ALT分析方法

2.1 基本假設(shè)

以對數(shù)正態(tài)分布場合下的步進應(yīng)力加速壽命試驗（Step-Stress Accelerated Life Testing， SSALT）為例，試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析是在以下四個假定下進行的[2]。

假設(shè)1：在正常應(yīng)力水平S0和k個加速應(yīng)力水平S1

式中，?為對數(shù)均值，σ2為對數(shù)方差。

其分布函數(shù)為

假設(shè)2：產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平S1

假設(shè)3：產(chǎn)品的某壽命特征ξ與施加的應(yīng)力水平Si有如下的對數(shù)線性關(guān)系

在對數(shù)正態(tài)分布中我們用中位壽命e?來表征壽命特征，所以常用的加速模型例如阿倫尼斯模型、逆冪律模型、指數(shù)率模型的加速模型表達式為

假設(shè)4：產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于已累積失效的部分和當(dāng)時的應(yīng)力水平，而與累積方式無關(guān)（Nelson累積失效假定）。

2.2 假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是指根據(jù)樣本提供的信息來推斷總體特性的某些假設(shè)是否成立，步驟如下：

1.提出原假設(shè)H0：即需要檢驗的假設(shè)內(nèi)容；

2.引進統(tǒng)計量：根據(jù)H0的內(nèi)容選取合適的統(tǒng)計量；

3.確定統(tǒng)計量的精確分布或漸近分布；

4.根據(jù)觀測到的樣本值算出統(tǒng)計量的值；

5.確定適當(dāng)?shù)娘@著性水平α；

6.根據(jù)統(tǒng)計量分布，由顯著性水平確定臨界點P{統(tǒng)計量計算值>Kα}=α

現(xiàn)針對基本假設(shè)1和2做分布檢驗和參數(shù)檢驗。

2.2.1 壽命分布的假設(shè)檢驗

分布檢驗針對基本假設(shè)1，使用正態(tài)分布偏峰度檢驗[2]進行對數(shù)正態(tài)分布分布檢驗。

偏度描述分布密度函數(shù)的對稱程度，分布密度越對稱，偏度越小；峰度描述分布密度函數(shù)的陡峭程度，分布密度越陡峭，峰度越大。偏度和峰度分別定義為

式中，?3為三階中心矩，?4為四階中心矩，σ2為方差。以正態(tài)分布為例，由于正態(tài)分布N（?，σ2）的偏度為0，峰度為3，因此可以通過樣本偏度和峰度是否接近0和3來判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，具體判斷方法如下：

1）偏度檢驗

檢驗原假設(shè)H0：Cs=0，即原假設(shè)認為分布密度函數(shù)是對稱的，若偏度Cs估計的絕對值超過它的1-α分位數(shù)，則在顯著水平α下拒絕原假設(shè)，檢驗統(tǒng)計量|Cs|的1-α分位數(shù)可查表[5]得到，偏度檢驗適用于樣本量n≥8。

2）峰度檢驗

3）檢驗原假設(shè)H0：Ce=3，即原假設(shè)認為分布密度函數(shù)是對稱的，若Ce大于3，則說明峰度過度，這時備擇假設(shè)H1：Ce>3，若Ce小于3，則說明峰度不足，這時備擇假設(shè)H1：Ce<3，峰度檢驗適用于樣本量n≥8。其中統(tǒng)計量Ce的臨界值可查[5]得到。

2.2.2 形狀參數(shù)相等的假設(shè)檢驗

形狀參數(shù)檢驗?zāi)康氖谴_認加速應(yīng)力是否改變了產(chǎn)品的失效機理，該檢驗針對基本假設(shè)2。

對于對數(shù)正態(tài)分布，可以把形狀參數(shù)的檢驗問題轉(zhuǎn)化成方差一致性的檢驗問題[6]。對于假設(shè)檢驗

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)用最好線性無偏估計（BLUE）計算σi的估計值。構(gòu)造巴特利特檢驗統(tǒng)計量，即

式中，lri，ni為的方差系數(shù)。則在H0成立下，B2/C近似的服從自由度為K-1的χ2分布，給定顯著性水平?，若，拒絕H0；否則接受H0。

2.3 特征數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

2.3.1 數(shù)據(jù)折算

在應(yīng)力水平Si下，產(chǎn)品工作ti時間內(nèi)累積失效的概率Fi（ti）相當(dāng)于此種產(chǎn)品在Sj下工作tj時間內(nèi)累積失效的概率Fj（tj）[2]。由假設(shè)2，可得在應(yīng)力水平Si下的工作時間τi折算到應(yīng)力水平Sj下的折算時間τij為

記a1=0，。則產(chǎn)品在Si下的真實壽命數(shù)據(jù)為

其中b為假設(shè)3中加速方程：中的待估參數(shù)；φ（Si）為已知函數(shù)，記為φi。即在每一個應(yīng)力水平Si下，ri個失效產(chǎn)品的折算壽命為

式中：;，除外，它們都是b的函數(shù)。

2.3.2 貝葉斯統(tǒng)計推斷

聯(lián)立壽命分布和加速模型：

得下式：

可知，待估參數(shù)為a、b、σ。

1）確定先驗分布

進行貝葉斯統(tǒng)計推斷的第一步是為待估參數(shù)確定先驗分布。根據(jù)待估參數(shù)的先驗信息的多少，可分為無信息先驗分布和有信息先驗分布。

a）無信息先驗分布

若試驗前有關(guān)待估參數(shù)a、b、σ的信息相對較少，可以假設(shè)其先驗分布為均勻分布，例如：a～U[x1， y1]，b～U[x2， y2]，σ～U[x3，y3]；xi，yi的取值可由現(xiàn)有信息、經(jīng)驗決定。確定無信息先驗分布的方法還有Jeffrey法則[7]等。

b）有信息先驗分布

若試驗前有比較充足的關(guān)于待估參數(shù)的先驗信息時，可根據(jù)先驗信息確定先驗分布。常見的先驗信息主要來源于：物理/化學(xué)理論、仿真分析、工程試驗和質(zhì)量控制測試結(jié)果、一些通用的可靠性數(shù)據(jù)、相似產(chǎn)品信息以及專家經(jīng)驗。

確定有信息先驗分布的方法[8]主要有：直方圖法、選定先驗密度分布函數(shù)形式再估計其超參數(shù)、變分讀法與定分度法以及多層先驗等。

2）觀測數(shù)據(jù)先驗分布的更新

先驗分布p（θ）代表了試驗前對待估參數(shù)的初始估計。在得到數(shù)據(jù)后，可以利用“新的信息”對先驗分布進行更新，得到后驗分布。根據(jù)貝葉斯定理，后驗分布是由似然函數(shù)和先驗分布相乘得到的。

后驗分布似然函數(shù)×先驗分布

在本文中，似然函數(shù)即

具體計算是由馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法得出[9]：通過模擬的方法直接從后驗分布中生成參數(shù)向量的仿真樣本，基于樣本進行后續(xù)統(tǒng)計推斷。

在本文算例中，具體計算通過WinBUGS軟件實現(xiàn)。在WinBUGS中輸入三個參數(shù)的先驗分布、似然函數(shù)，以及試驗失效數(shù)據(jù)，運行后能夠給出參數(shù)的仿真樣本，即一系列服從對應(yīng)的后驗分布的a、b、σ的值。

3）分位壽命的計算

第三步則是通過估計參數(shù)計算出分位壽命tp=f（a，b，p），可分為點估計和區(qū)間估計。

a）點估計

主要有三種方法：一是極大后驗密度估計（maximum a posteriori estimate， MAP），即后驗密度函數(shù)取極大值處相應(yīng)的待估參數(shù)值；二是取參數(shù)的后驗均值；三是取參數(shù)的后驗中位數(shù)。通過點估計得到a，b的值后，即可計算出分位壽命tp。

b）區(qū)間估計

區(qū)間估計時可以通過a， b的樣本值，兩兩配對各算出一個分位壽命——tp=f（a，b，p）；然后對其取置信區(qū)間即可（例如，取置信度為α的置信區(qū)間，則除去tp取值中前α/2和后α/2的取值，所得的[tpmin， tpmax]即為置信區(qū)間）。

3 案例分析

本文借鑒文獻[10]中的案例和試驗數(shù)據(jù)進行貝葉斯對數(shù)正態(tài)步進ALT統(tǒng)計分析。

試驗對象采用汽車電子器件——有機發(fā)光二極管（Organic Light-Emitting Diode， OLED）。對于OLED，影響其壽命的主要因素是電流，因而選擇電流為加速應(yīng)力進行分析。根據(jù)試驗設(shè)計要求，在對OLED電子產(chǎn)品進行試驗階段，施加的應(yīng)力，即電流，應(yīng)該介于最大應(yīng)力和最小應(yīng)力中，且最大應(yīng)力不應(yīng)該超過極限應(yīng)力，并且所施加的應(yīng)力水平由目前的制造技術(shù)可以達到?？紤]到試驗時長與成本，采用SSALT。此外，隨著電流的增大，不能夠?qū)LED電子產(chǎn)品引發(fā)新的失效機理。OLED電子產(chǎn)品的失效判據(jù)為：當(dāng)OLED的亮度降低到原亮度的50%以下時，認為這個樣本失效，并記錄相應(yīng)的失效時間。

3.1 基本假設(shè)

進行SSALT試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析的基本假設(shè)同2.1節(jié)。其中，在對數(shù)正態(tài)分布中用中位壽命來表征壽命特征，本文中的應(yīng)力為電流，所以選擇逆冪律模型作為加速模型：

3.2 數(shù)據(jù)折算處理

1.原始數(shù)據(jù)

試驗中一共投入了32個樣本進行試驗，假定正常的工作條件中，應(yīng)力I0=3.20mA。在SSALT中選擇了四個應(yīng)力水平，分別為：I1=9.64mA，I2=12.36mA，I3=17.09mA，I4=22.58mA，在每個應(yīng)力水平下收集八個失效數(shù)據(jù)，示意圖如圖1，試驗數(shù)據(jù)記錄如表1。

對數(shù)據(jù)進行折算：

其中，τji為加速因子，且，β=-1.8154，，，。將所有的數(shù)據(jù)折算到應(yīng)力為I1的水平。

3.3 基于貝葉斯的SSALT統(tǒng)計分析

將壽命分布的模型、先驗信息以及折算數(shù)據(jù)導(dǎo)入到winbugs中進行求解，求解的結(jié)果如圖２所示。

通過winbugs的求解，得到參數(shù)a和b的貝葉斯估計，即后驗樣本值，代入到壽命分布函數(shù)中即可計算在正常應(yīng)力下的各種壽命指標的估計。

顯然，0.5分位壽命是參數(shù)a和b的函數(shù)，即t0.5=（a，b）；每一組a，b可以計算一個p=0.5的分位壽命，取均值，得到0.5分位壽命t0.5=24100h。

先對參數(shù)a和b進行點估計，常用的方法有眾數(shù)/平均數(shù)和中位數(shù)。

眾數(shù)：求得a和b的眾數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命，t0.5=20647h，這個結(jié)果和分位壽命均值的結(jié)果有所差異，通過分析a和b的概率密度函數(shù)（如圖3）可知原因為：參數(shù)a和b通過數(shù)據(jù)的迭代會逐漸向著最終的分布形式過渡，但是由于目前的試驗數(shù)據(jù)較少，概率密度函數(shù)都還具有均勻分布和正態(tài)分布的特點，因而處于過渡階段。

平均數(shù)：求得a和b的平均數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16400h；

中位數(shù)：求得a和b的中位數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16200h；

0.5分位點壽命的置信區(qū)間：對于winbugs生成的參數(shù)a和b的后驗樣本，帶入壽命分布函數(shù)中求解一組0.5分位點的壽命值t0.5，對這些t0.5進行分布擬合，可以得到如圖4的概率密度函數(shù)。

相應(yīng)地，根據(jù)置信區(qū)間的計算方法，可以得到置信度為0.9的t0.5的置信區(qū)間為[3639.1041， 76083.1355]。

4 總結(jié)

本文針對汽車電子器件，介紹了基于貝葉斯統(tǒng)計推斷的對數(shù)正態(tài)步進應(yīng)力加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法。利用已有歷史數(shù)據(jù)的信息，同時通過新的數(shù)據(jù)對已有信息進行更新；結(jié)合加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法，對服從對數(shù)正態(tài)的汽車電子器件壽命進行了點估計及區(qū)間估計。通過案例應(yīng)用，驗證了該方法的可行性和有效性。同時，基于貝葉斯統(tǒng)計推斷的對數(shù)正態(tài)步進應(yīng)力加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法也可以進一步推廣應(yīng)用于各類加速壽命試驗統(tǒng)計分析中，對工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

項目資助：

湖南省教育廳科學(xué)研究項目，項目編號21C1659

湖南省自然基金科教聯(lián)合項目，項目編號2022JJ60113。

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