王芬玲

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

二重網(wǎng)格方法通常被認(rèn)為是求解非線性方程的一種有效的離散化技術(shù).關(guān)鍵是采用二重網(wǎng)格格式對(duì)方程中的非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化處理.該方法的基本思想是先在粗網(wǎng)格H上求解非線性或非對(duì)稱不定問(wèn)題,然后在細(xì)網(wǎng)格h(h?H)上用牛頓迭代法求解線性問(wèn)題.[1]對(duì)于半線性拋物方程提出了向后歐拉全離散二重網(wǎng)格方法,并討論了該格式的超收斂性.[2]建立了一種用擴(kuò)展混合有限元法離散非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程(含非線性壓縮系數(shù))的雙網(wǎng)格算法,然后詳細(xì)分析了擴(kuò)展混合有限元解的誤差估計(jì).此外,[3]提出了一種求解二維時(shí)變Navier-Stokes問(wèn)題的全離散二重網(wǎng)格有限元方法,并推導(dǎo)了該方法離散解最優(yōu)階的誤差估計(jì).

Sine-Gordon方程是一個(gè)正弦函數(shù),用于波傳播、經(jīng)典晶格動(dòng)力學(xué)、生物膜擴(kuò)展、晶體缺陷擴(kuò)展、相對(duì)論場(chǎng)論等領(lǐng)域. Sine-Gordon方程也可用于解釋一系列實(shí)驗(yàn)地震數(shù)據(jù)、應(yīng)變波建模、與斷層動(dòng)力學(xué)和俯沖板塊相關(guān)的結(jié)構(gòu),以及慢震、間歇性震顫、慢滑(ETS)事件和震顫遷移模式.[4]采用不同的分析方法來(lái)求解Sine-Gordon, 在此基礎(chǔ)上用三維和二維圖解的方式對(duì)所得結(jié)果的動(dòng)力學(xué)屬性進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)和描述.[5]利用擴(kuò)展的tanh函數(shù)方法進(jìn)一步求出時(shí)空分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的一般行波解,即時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性Sine-Gordon方程和Klein-Gordon方程.對(duì)描述光脈沖在光纖波導(dǎo)中傳輸?shù)鸟詈蟂ine-Gordon方程進(jìn)行分析研究.[6]利用擴(kuò)展的G′/G-展開法構(gòu)造了雙曲型和三角型函數(shù)的解,然后利用擴(kuò)展的Jacobi橢圓型函數(shù)展開法導(dǎo)出了Jacobi橢圓型、雙曲型和三角型函數(shù)的解.

考慮如下Sine-Gordon方程

(1)

其中,Ω 是有界凸多邊形區(qū)域,X=(x,y),α,β,γ是常數(shù),f(X,t)是已知給定的充分光滑函數(shù).

1 單元的構(gòu)造和性質(zhì)及問(wèn)題的變分形式

利用文[7]和[8]中的結(jié)論可得下面的性質(zhì).

(2)

2 全離散逼近格式和超逼近分析

接下來(lái),引入以下算子記號(hào):

考慮方程(2)的全離散逼近格式:求unh∈Vh,使得對(duì)于2≤n≤N,滿足

(3)

接下來(lái),給出全離散格式的超逼近分析．

證明令t=tn-1和t=tn+1,有

(4)

(5)

(6)

根據(jù)內(nèi)積的定義,得到如下等式

(7)

(8)

(9)

現(xiàn)在估計(jì)式(6)右邊的三項(xiàng).根據(jù)插值理論,Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式, 可以得到以下估計(jì)式

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

最后,根據(jù)引理1和Young不等式,可知A6的估計(jì)式

(15)

將式 (7)-(15) 代入式 (6), 得

(16)

更進(jìn)一步,式 (16) 等號(hào)兩邊同時(shí)乘以2τ,則

(17)

將式 (17)中的n替換為i,然后對(duì)i從1,…,n求和,得

(18)

根據(jù)式 (18), 得到

那么,以下不等式成立

(19)

將式 (19)代入式 (18),并對(duì)其結(jié)果應(yīng)用離散的Gr?nwall不等式,存在τ1≥0,

當(dāng)τ≤τ1時(shí),得

(20)

從而,定理1得證.

3 二重網(wǎng)格的算法及超逼近和超收斂分析

(21)

(22)

(23)

(24)

證明：通過(guò)定理1可知(23)式是顯然成立的,接下來(lái)要證明(24)式成立.

通過(guò)Taylor展開可得

其中u*=θUH+(1-θ)UH.根據(jù)方程(1)和(22),對(duì)于任意vh∈Vh,得誤差方程

(25)

(26)

根據(jù)插值理論,Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式可得

(27)

根據(jù)引理1可知

B3=0.

(28)

根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式可得

通過(guò)嵌入定理和(23)式可得

(29)

根據(jù)引理1可得

(30)

將(26)-(30)式代入到(25)式可得

(31)

更進(jìn)一步,式 (31) 等號(hào)兩邊同時(shí)乘以2τ,則

(32)

將式 (27)中的n替換為i,然后對(duì)i從1,…,n求和,得

(33)

(34)

定理2證畢.

類似于文獻(xiàn)[7]定義插值后處理算子Π2h,得超收斂結(jié)果為