■韓新正

蘇科版數(shù)學(xué)教材中的“綜合與實(shí)踐”板塊安排在每章的開始、結(jié)束和每?jī)?cè)書的結(jié)尾處。章節(jié)開始時(shí)有“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，即通過“做”數(shù)學(xué)，感悟、理解數(shù)學(xué)知識(shí)；每章結(jié)束后有“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，即運(yùn)用本章知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單問題；每?jī)?cè)書的結(jié)尾處有“課題學(xué)習(xí)”，即綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題。這里的“綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)”，如果我們僅僅理解為數(shù)學(xué)知識(shí)，就顯得比較狹隘了。

STEM 教育作為一種跨學(xué)科教育模式，其目的在于通過探究式、項(xiàng)目式等活動(dòng)去解決真實(shí)問題。運(yùn)用其理念進(jìn)行“綜合與實(shí)踐”的研究，其實(shí)就是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和各種技術(shù)解決實(shí)際問題的過程，也是深度學(xué)習(xí)的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域可采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法。下面，筆者以蘇科版數(shù)學(xué)教材八（上）的課題“關(guān)于勾股定理的研究”為例，談?wù)勅绾雾?xiàng)目化實(shí)施“綜合與實(shí)踐”。

一、教材分析

對(duì)于課題“關(guān)于勾股定理的研究”，教材中提供了三個(gè)研究方向：1.閱讀有關(guān)書籍和查閱有關(guān)資料，了解勾股定理的歷史；2.收集、整理驗(yàn)證勾股定理的各種方法；3.收集生活中應(yīng)用勾股定理的例子。

前兩點(diǎn)主要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行文獻(xiàn)檢索。教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過查閱書籍，登錄知網(wǎng)、北大圖書館等專業(yè)網(wǎng)站來研究，而不是簡(jiǎn)單通過“百度”來泛泛了解。這是借用工具的做法，也是科學(xué)研究的起點(diǎn)，主要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的探究。第三點(diǎn)是為了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，解決生活中的實(shí)際問題，也是“綜合與實(shí)踐”的本意。對(duì)此，筆者嘗試設(shè)計(jì)了一些項(xiàng)目化活動(dòng)，旨在分階段、分層次培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用多種知識(shí)和技能解決實(shí)際問題的能力。

二、項(xiàng)目化活動(dòng)

1.由勾股定理引發(fā)猜想

勾股定理的式結(jié)構(gòu)a2+b2=c2具有數(shù)學(xué)美，教師可以請(qǐng)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行合理猜想。通過猜想，然后驗(yàn)證得出結(jié)論，這是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要方法。

猜想1：結(jié)合“勾股數(shù)”，如3、4、5，5、12、13等，我們能得到一切勾股數(shù)嗎？

猜想2：從“形”的角度看a2+b2=c2，在幾何上相當(dāng)于作一個(gè)矩形，使它的長(zhǎng)、寬、對(duì)角線分別為a、b、c，且a、b、c都是整數(shù)。按照這樣的思路，聯(lián)想到長(zhǎng)方體，會(huì)得到什么結(jié)論？能否作出一個(gè)長(zhǎng)方體，使它的長(zhǎng)、寬、高和對(duì)角線都是整數(shù)？如4、3、12、13。

猜想3：是否可以進(jìn)行“指數(shù)推廣”？如從a2+b2=c2，推廣到a3+b3=c3，甚至an+bn=cn（n≥3）。它們是否有正整數(shù)解（費(fèi)馬大定理）？ 項(xiàng)數(shù)、指數(shù)同時(shí)推廣呢（這是著名的歐拉猜想）？如a2+b2+c2=w2，a3+b3+c3=w3，甚至a4+b4+c4=w4。

2.古代數(shù)學(xué)中的勾股定理

結(jié)合文獻(xiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過感受勾股定理在古代的應(yīng)用，理解這類問題在古代數(shù)學(xué)中是經(jīng)常出現(xiàn)的，其解決方法就是使用勾股定理。

（1）“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長(zhǎng)各幾何？

（2）“折竹”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高幾何？

（3）枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長(zhǎng)幾何？題意是：如圖1 所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20 尺，底面周長(zhǎng)為3 尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是_____尺。

圖1

3.運(yùn)用信息技術(shù)手段，感受數(shù)學(xué)之美

借助計(jì)算機(jī)軟件，利用勾股定理設(shè)計(jì)各種精美圖案，挖掘其文化價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)之美。如利用幾何畫板的動(dòng)畫效果制作勾股樹（畢達(dá)哥拉斯樹），圖略。

4.做中學(xué)，解決實(shí)際問題

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，通過解決生活中的問題，以及各種知識(shí)和技術(shù)的綜合運(yùn)用，感受勾股定理的廣泛應(yīng)用。

問題：已知圖2—圖4，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱表面到點(diǎn)B，求它的最短路程（π取3）。

圖2

教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從最簡(jiǎn)單的紙質(zhì)圓柱形（圖2）開始測(cè)量。有的學(xué)生直接用細(xì)繩連接A、B兩點(diǎn)，并繃緊，然后測(cè)量細(xì)繩的長(zhǎng)度；有的學(xué)生用剪刀剪開紙質(zhì)側(cè)面圖，在平面上測(cè)量或計(jì)算。對(duì)于圖3 這樣的玻璃杯，是不可以剪成平面圖形，通過測(cè)量來解決的；對(duì)于圖4 的高樓，既不可以剪成平面圖形，又無法直接用繩子測(cè)量，這時(shí)就需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)，通過間接測(cè)量，然后計(jì)算得到結(jié)果。圖3、圖4 的測(cè)量要用到三角函數(shù)、相似形等知識(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在九年級(jí)下學(xué)期結(jié)合數(shù)學(xué)活動(dòng)“測(cè)量建筑物的高度”進(jìn)行探究。

圖3

圖4

基于勾股定理的綜合與實(shí)踐活動(dòng)是一個(gè)系統(tǒng)的研究過程，學(xué)生收集資料、小組合作、猜想驗(yàn)證、探究發(fā)現(xiàn)不是一兩節(jié)課就可以解決的，而是需要若干個(gè)課時(shí)進(jìn)行專題研究。當(dāng)然，對(duì)于初中生來講，不一定要研究出成果，關(guān)鍵是通過研究，學(xué)會(huì)研究的方法，養(yǎng)成愛思考的習(xí)慣，培養(yǎng)科學(xué)探究的精神。

三、教學(xué)反思

STEM 理念和“綜合與實(shí)踐”理念在本質(zhì)上是相通的，其育人價(jià)值有共通性。前者是調(diào)動(dòng)科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)的綜合運(yùn)用；“綜合與實(shí)踐”旨在培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)的能力，側(cè)重于數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。以“綜合與實(shí)踐”為抓手，能夠培養(yǎng)學(xué)生的STEM 素養(yǎng)；以STEM 理念為統(tǒng)整，引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)系其他學(xué)科知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)設(shè)計(jì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課程，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》所強(qiáng)調(diào)的跨學(xué)科教學(xué)、主題學(xué)習(xí)以及“做中學(xué)”等項(xiàng)目化學(xué)習(xí)要求。

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)設(shè)計(jì)不僅體現(xiàn)在“動(dòng)手活動(dòng)”上，也體現(xiàn)在“動(dòng)腦活動(dòng)”上。數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)更關(guān)注學(xué)生的活動(dòng)過程，因此,教師可以設(shè)計(jì)更加合理的抽象活動(dòng)，并給予學(xué)生充分的動(dòng)手操作與思考的空間與時(shí)間，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的全過程。一個(gè)好的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，一定是一個(gè)項(xiàng)目化工程。首先，教師要對(duì)工程進(jìn)行系統(tǒng)思考，認(rèn)真設(shè)計(jì)，從不同的角度去開發(fā)讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的資源，不能狹隘地理解為只是學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐。其次，教師要對(duì)工程的實(shí)施做好方案，兼顧可操作性。

堅(jiān)持“教學(xué)評(píng)一體化”，推動(dòng)“綜合與實(shí)踐”教學(xué)落實(shí)到位?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力的重要契機(jī)。事實(shí)上，“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中的薄弱點(diǎn)，筆者希望通過中考命題改革，在考試評(píng)價(jià)中直接或間接地體現(xiàn)對(duì)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)所獲得的素養(yǎng)和能力的考查。例如，通過改變傳統(tǒng)考試題型，加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用題的考查，更多地涉及跨學(xué)科知識(shí)有機(jī)結(jié)合；通過增加開放性問題，考查學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)情境發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力等。筆者希望通過評(píng)價(jià)來引導(dǎo)教學(xué)轉(zhuǎn)變，將學(xué)生經(jīng)歷“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)所發(fā)展的素養(yǎng)在新的評(píng)價(jià)體系中反映出來。