江鎮(zhèn)宇,于海龍,何 斌,靳 展

(南京理工大學(xué) 發(fā)射動力學(xué)研究所,江蘇 南京 210094)

電磁軌道炮發(fā)射過程中,伴隨著電樞的高速運(yùn)動,復(fù)雜環(huán)境載荷將會對裝備造成多場耦合、超強(qiáng)瞬態(tài)、幅值巨大的沖擊作用[1-2]。為了設(shè)計(jì)出既能保證樞軌間有足夠的接觸力,又能保證不會因溫度過高、受力過大而導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)破壞,研究發(fā)射狀態(tài)下的導(dǎo)軌身管發(fā)射裝置動力學(xué)非常必要。

多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(multibody system transfer matrix method,MSTMM)是近二十多年來提出并不斷完善的一種多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法。利用MSTMM對多體系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時無需建立系統(tǒng)總體動力學(xué)方程,所涉及的矩陣階次與系統(tǒng)的自由度數(shù)無關(guān),可顯著提高多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值計(jì)算效率,為復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)的快速數(shù)值分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)帶來了方便[3]。本文采用MSTMM求解電磁軌道炮系統(tǒng)導(dǎo)軌身管的振動特性及動態(tài)響應(yīng)。

為了保證電磁軌道炮的射擊精度,發(fā)射過程中軌道的位移要控制在一定范圍內(nèi)。目前,研究人員對于電磁炮系統(tǒng)建模與數(shù)值仿真主要聚焦于電磁炮的發(fā)射機(jī)理,因此主要仿真分析電樞軌道或者電樞線圈系統(tǒng)。TZENG等[4]將軌道建模為彈性地基上的歐拉梁模型;劉文等[5]利用分離變量法和計(jì)入阻力的拉格朗日方程,推導(dǎo)出軌道受任意指數(shù)函數(shù)磁壓力的控制方程的解析解;文獻(xiàn)[6]給出了軌道的機(jī)電耦合動力學(xué)方程,分析了軌道對運(yùn)行電磁力的強(qiáng)迫響應(yīng);LEE等[7]利用彈性基礎(chǔ)上的Timoshenko梁模型分析了電磁炮軌道在移動電樞和電磁力作用下的動態(tài)響應(yīng);田振國[8]得到發(fā)射狀態(tài)下復(fù)合導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng),分析發(fā)現(xiàn)電樞壓力對軌道變形的影響遠(yuǎn)大于軌道間斥力的影響;CHE等[9]建立了電磁炮軌道在不同約束條件和預(yù)緊力作用下的三維有限元模型,討論了不同約束和預(yù)緊力對固有頻率、振形函數(shù)的影響;XU等[10-11]建立了軌道炮系統(tǒng)機(jī)電耦合參數(shù)振動方程,發(fā)現(xiàn)隨著動態(tài)電流幅值和電樞與炮口距離的增大,系統(tǒng)振動的不穩(wěn)定區(qū)域增大;蔡喜元[12]將軌道炮發(fā)射身管簡化為彈性基礎(chǔ)上雙層歐拉梁模型,分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料性能對身管振動特性的影響機(jī)理;DU等[13-14]基于彈性基礎(chǔ)上的歐拉梁理論提出了考慮彈丸運(yùn)動的軌道振動模型,給出了樞軌動態(tài)電磁接觸力的解析模型;ZHANG[15-16]利用非線性有限元模型研究電磁軌道炮導(dǎo)軌的動態(tài)特性,詳細(xì)分析了脈沖電源參數(shù)和軌道尺寸對電磁軌道炮性能的影響;LU[17]分析了連續(xù)放電和連續(xù)發(fā)射條件下導(dǎo)軌的內(nèi)彈道性能,確定了軌道的動態(tài)響應(yīng)不受上一次發(fā)射的影響的發(fā)射間隔為1 s;何威等[18]求解了懸臂式雙層彈性基礎(chǔ)梁模型在電磁力和電樞力作用下的位移和應(yīng)力的解析解,并用ANSYS數(shù)值分析結(jié)果驗(yàn)證了解析解的正確性;沈劍[19-20]基于Timoshenko梁建立了電磁炮發(fā)射過程的彈炮剛?cè)狁詈隙囿w動力學(xué)模型,獲得了在考慮身管和導(dǎo)軌柔性變形時超高速彈丸膛內(nèi)的基本動力學(xué)特性。

目前建立的電磁軌道炮導(dǎo)軌身管模型大多忽略了上下導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)實(shí)際情況中的非對稱性,同時將導(dǎo)軌外支撐身管簡化為邊界條件,與實(shí)際情況有一定差異。本文考慮上下導(dǎo)軌彈性支撐參數(shù)、空間位置及力學(xué)參數(shù)非對稱性的影響,將上下兩根導(dǎo)軌視為平面橫向振動的梁,導(dǎo)軌至軌道炮外層的其余部分視為兩彈性支撐作用下的橫向振動梁,三梁之間通過分布彈性作用耦合;電路電源提供的脈沖電流在樞軌求解域內(nèi)傳導(dǎo)并感應(yīng)出磁場,利用畢奧-薩伐爾定律獲得域內(nèi)電磁規(guī)律,進(jìn)而得到導(dǎo)軌-導(dǎo)軌及導(dǎo)軌-電樞間的電磁力;利用MSTMM,以電磁力為激勵源,推導(dǎo)三梁模型系統(tǒng)的動力學(xué)方程,利用模態(tài)疊加法求解導(dǎo)軌身管系統(tǒng)在重力及時變電磁力作用下的動態(tài)響應(yīng)。

1 導(dǎo)軌身管振動特性

1.1 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)振動模型

典型電磁軌道炮身管橫截面如圖1所示。電磁軌道炮炮身一般由上下導(dǎo)軌、封裝、支撐體、填充體和復(fù)合材料組成。將外層復(fù)合材料、封裝、填充體和支撐體合稱為身管。為了便于分析,做如下基本假設(shè):

圖1 某型電磁軌道炮炮身橫截面示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cross-section of a certain type of electromagnetic railgun barrel

①由于通常導(dǎo)軌和身管的長細(xì)比較大(長度與特征寬度之比大于150),假設(shè)將其建模為Euler-Bernoulli梁,忽略橫向剪切變形的影響;

②由于封裝的緊密支撐,忽略導(dǎo)軌身管的軸向位移;

③將導(dǎo)軌與身管間的彈性相互作用視為分布彈簧;

④考慮實(shí)際系統(tǒng)上下導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)的非對稱性。

將導(dǎo)軌身管系統(tǒng)按照連接狀態(tài)分為五部分,以一體化發(fā)射單元的運(yùn)動方向作為系統(tǒng)各部分之間的傳遞方向,根據(jù)多體系統(tǒng)傳遞矩陣法“體”和“鉸”統(tǒng)一編號的原則,地面邊界編號為0,系統(tǒng)各部分依次從1到5進(jìn)行編號。上下導(dǎo)軌與身管間的支撐體看作是分布彈簧,將地面支撐視為作用在身管特定位置處的彈性支撐力,建立電磁軌道炮導(dǎo)軌身管三梁發(fā)射動力學(xué)模型,如圖2所示。圖中,m1,m2,m3分別為上導(dǎo)軌、身管、下導(dǎo)軌的線質(zhì)量;E1I1,E2I2,E3I3分別為上導(dǎo)軌、身管、下導(dǎo)軌的橫截面抗彎剛度;L1,L2,L3分別為系統(tǒng)第一部分、第二部分、第三部分的長度;y1(x,t),y2(x,t),y3(x,t)分別為上導(dǎo)軌、身管、下導(dǎo)軌的撓度;k1為上導(dǎo)軌與身管間彈性剛度;k2為下導(dǎo)軌與身管間彈性剛度;k3為身管與地面間支撐剛度。

圖2 某型電磁軌道炮導(dǎo)軌身管三梁發(fā)射動力學(xué)模型Fig.2 Launch dynamics model of a certain type of electromagnetic railgun rail barrel

1.2 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)傳遞矩陣

選取模型中每根梁物理坐標(biāo)下的狀態(tài)矢量為(yθzmzqy)T。y為橫向位移在慣性系中的坐標(biāo),θz為軸線繞z軸的角位移,mz為橫截面所受彎矩,qy為橫截面所受剪力。無阻尼自由振動導(dǎo)軌身管系統(tǒng)的響應(yīng)可由模態(tài)疊加求解,若某階模態(tài)下系統(tǒng)固有頻率為ω,則對應(yīng)狀態(tài)矢量可表示為

(1)

式中:Y,Θz,Mz,Qz為模態(tài)坐標(biāo)下的狀態(tài)矢量,分別對應(yīng)物理坐標(biāo)下的狀態(tài)矢量;下標(biāo)j=1,2,3,分別代表上導(dǎo)軌、身管和下導(dǎo)軌。則導(dǎo)軌身管系統(tǒng)對應(yīng)模態(tài)坐標(biāo)下的全部狀態(tài)矢量可定義為

Z=(Y1Θz1Mz1Qy1Y2Θz2Mz2
Qy2Y3Θz3Mz3Qy3)T

(2)

系統(tǒng)1,3,5部分導(dǎo)軌身管橫向自由振動微分方程為

(3)

由材料力學(xué)關(guān)系,可得:

(4)

將式(3)和式(4)整理成矩陣形式:

(5)

矩陣A的表達(dá)式為

根據(jù)式(5)的解,輸入端狀態(tài)矢量ZI與輸出端狀態(tài)矢量ZO之間的傳遞方程,可寫為

ZO=eAxZI=UZI

則系統(tǒng)1,3,5部分的傳遞矩陣為

U1=U3=U5=U=eAx

(6)

系統(tǒng)2,4部分對應(yīng)的虛擬元件僅與身管發(fā)生相互作用,其彈性點(diǎn)支撐的傳遞矩陣可寫為

(7)

導(dǎo)軌身管系統(tǒng)總傳遞矩陣可通過系統(tǒng)各部分的傳遞矩陣按照傳遞方向依次連乘得到,系統(tǒng)輸入端狀態(tài)矢量ZI1,系統(tǒng)輸出端狀態(tài)矢量ZO5,由總傳遞矩陣可得系統(tǒng)總傳遞方程為

ZO5=U5U4U3U2U1ZI1=UallZI1

(8)

導(dǎo)軌身管系統(tǒng)自由端邊界條件為

(9)

將三梁系統(tǒng)兩端邊界條件(9)代入系統(tǒng)總傳遞方程(8),求得系統(tǒng)在兩端自由狀態(tài)時的固有頻率,進(jìn)而得到各階頻率下輸入端完整的狀態(tài)矢量,利用系統(tǒng)各部分的傳遞矩陣,便可求得在對應(yīng)頻率下系統(tǒng)任意位置的狀態(tài)矢量。

2 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

在電磁發(fā)射過程中,導(dǎo)軌受到時變電磁載荷和電樞移動載荷作用,本節(jié)將采用增廣特征矢量和系統(tǒng)的固有振動特性,建立導(dǎo)軌身管系統(tǒng)在外界激勵下的動力學(xué)方程,研究系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

2.1 模態(tài)疊加法

電磁軌道炮導(dǎo)軌身管系統(tǒng)體動力學(xué)方程為

Mvtt+Kv=F

(10)

式中:M=diag(M1,M2,M3);K=diag(K1,K2,K3),v=(v1v2v3)T,F=(F1F2F3)T。M,K為增廣算子;v為導(dǎo)軌身管系統(tǒng)位移坐標(biāo)列陣;F為導(dǎo)軌身管系統(tǒng)所受外力列陣;Mi,Ki,vi,Fj(j=1,2,3)分別為上導(dǎo)軌、身管、下導(dǎo)軌的質(zhì)量參數(shù)矩陣、剛度參數(shù)矩陣、位移列陣、外力(含外力矩)列陣。

定義導(dǎo)軌身管系統(tǒng)的增廣特征矢量為系統(tǒng)線位移列陣所對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)列陣,即增廣特征矢量V為

(11)

式中:上標(biāo)k為模態(tài)階數(shù)。

由于導(dǎo)軌身管系統(tǒng)三梁動力學(xué)模型是由連續(xù)體元件構(gòu)成,所以對應(yīng)的增廣特征矢量Vk的元素應(yīng)包含系統(tǒng)各階固有頻率所對應(yīng)的模態(tài)。利用增廣特征矢量Vk,導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動力響應(yīng)可表示為

(12)

式中:qk(t)為k階模態(tài)下的廣義坐標(biāo)。

將式(12)代入系統(tǒng)體動力學(xué)方程(10),得:

(13)

同時計(jì)算上式兩邊和第p階增廣特征矢量Vp的內(nèi)積,根據(jù)增廣特征矢量的正交性條件:

〈MVk,Vp〉=δk,pMp, 〈KVk,Vp〉=δk,pKp

式中:δk,p為Kronecker函數(shù)。可得:

(14)

式(14)即為廣義主坐標(biāo)下的導(dǎo)軌身管系統(tǒng)強(qiáng)迫振動的運(yùn)動微分方程,逐個求解可得t時刻對應(yīng)的廣義坐標(biāo)qp(t),將所求結(jié)果代入式(12)即可得到導(dǎo)軌身管系統(tǒng)在指定外力作用下的動態(tài)響應(yīng)。

2.2 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)靜位移

在重力的作用下,發(fā)射前導(dǎo)軌身管在鉛垂平面內(nèi)已經(jīng)彎曲,其靜變形將會影響一體化發(fā)射單元在膛內(nèi)的運(yùn)動。在研究計(jì)算一體化發(fā)射單元的起始擾動時,需要計(jì)算重力引起的導(dǎo)軌身管的靜變形。

M=diag(m1,m2,m3)

(15)

模態(tài)質(zhì)量Mp與廣義力Fp表達(dá)式分別為

(16)

(17)

解算出各階模態(tài)下對應(yīng)的廣義坐標(biāo)qp(t),代入式(12),利用模態(tài)疊加法即可求得導(dǎo)軌身管三梁系統(tǒng)在重力作用下的靜位移。

2.3 導(dǎo)軌所受電磁力

要在短時間內(nèi)使電樞獲得較高初速,需要在電樞上作用很大的電磁力,而其大小正比于導(dǎo)軌中電流的平方。目前工程中獲得一定持續(xù)時間的大電流時,最常見的方法是將多個脈沖電流合成得到較寬的電流寬度,合成的電流可簡化為如圖3所示。

圖3 多脈沖合成電流示意圖Fig.3 Schematic diagram of multi-pulse synthetic current

合成電流第一階段可視為按正弦規(guī)律增大,第二階段可視為恒定,第三階段可視為按指數(shù)規(guī)律衰減,整個電流過程用函數(shù)表示為[21]

(18)

本文考慮電流在導(dǎo)軌與電樞中的分布情況,假設(shè)導(dǎo)軌和電樞中電流分布為線電流模型,將上下導(dǎo)軌及電樞分別看成一根載流直導(dǎo)線,忽略電流的趨膚效應(yīng),如圖4所示。

圖4 某型電磁軌道炮導(dǎo)軌電流示意圖Fig.5 Schematic diagram of rail current of a certain type of electromagnetic railgun

空間中一根載流直導(dǎo)線在距離其為r的任意點(diǎn)(x,y)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(19)

流經(jīng)上導(dǎo)軌的電流在下導(dǎo)軌位置處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(20)

流經(jīng)電樞的電流在下導(dǎo)軌位置處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(21)

對于平面運(yùn)動模型,只考慮導(dǎo)軌間y方向的電磁載荷:

(22)

導(dǎo)軌受到電樞電流產(chǎn)生磁場引起的y方向電磁載荷為

(23)

因此,下導(dǎo)軌上受到的總電磁載荷為

Fr=Frr+Far=(Krr+Kar)I2=KrI2

(24)

2.4 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

系統(tǒng)動力響應(yīng)物理坐標(biāo)、第p階增廣特征矢量及對應(yīng)的增廣算子M與求解導(dǎo)軌身管系統(tǒng)靜位移時一致,系統(tǒng)對應(yīng)外力列陣更新為F=(Fr+m1gm2g-Fr+m3g)T,對應(yīng)的廣義力為

(25)

將式(16)、式(25)代入式(14),求解導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動力學(xué)微分方程,解得廣義坐標(biāo)qp(t),經(jīng)過模態(tài)疊加得到導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng),電磁軌道炮導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動力學(xué)分析流程如圖5所示。

圖5 電磁軌道炮導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動力學(xué)分析流程圖Fig.5 Flow chart for dynamic analysis of rail barrel system of electromagnetic railgun

3 仿真計(jì)算

3.1 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)振動特性

本文以某型電磁軌道炮為例,導(dǎo)軌與身管的間距h=0.1 m,系統(tǒng)其他相關(guān)的計(jì)算參數(shù)見表1。利用商業(yè)有限元軟件Comsol對導(dǎo)軌身管系統(tǒng)振動特性進(jìn)行仿真驗(yàn)證,建立導(dǎo)軌身管系統(tǒng)有限元模型,如圖6所示,身管與上下導(dǎo)軌間的聯(lián)接條件設(shè)置為彈性薄層,在身管特定位置處設(shè)置兩個彈性基礎(chǔ)模擬地面支撐,采用三角形單元劃分網(wǎng)格,共劃分5 108個單元。計(jì)算導(dǎo)軌身管系統(tǒng)前8階固有頻率,計(jì)算結(jié)果見表2。

表1 電磁軌道炮導(dǎo)軌身管系統(tǒng)主要參數(shù)Table 1 Main parameters of electromagnetic rail gun rail barrel system

圖6 電磁軌道炮導(dǎo)軌身管系統(tǒng)有限元模型Fig.6 FEM model of guideway barrel system of electromagnetic railgun

表2 導(dǎo)軌身管三梁系統(tǒng)固有頻率Table 2 Natural frequency of three-beam system of guide rail tube

由表2中數(shù)據(jù)可以看出,兩種方法計(jì)算結(jié)果高度一致,驗(yàn)證了MSTMM求解導(dǎo)軌身管系統(tǒng)固有振動特性的精確性,且MSTMM的計(jì)算時間為1.315 s,有限元方法的計(jì)算時間為8.931 s,利用MSTMM可以大幅提高計(jì)算速度。本文給出導(dǎo)軌身管系統(tǒng)前六階模態(tài)振型,如圖7所示。

圖7 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)前六階模態(tài)振型Fig.7 The first six modes of guide rail tube system

3.2 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)靜位移

導(dǎo)軌身管三梁系統(tǒng)在重力作用下的靜位移計(jì)算結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出,上導(dǎo)軌、身管和下導(dǎo)軌靜位移趨勢一致,均為炮尾處的靜位移達(dá)到最大值,炮口處靜位移略微上翹,且由于實(shí)際結(jié)構(gòu)材料與裝配過程中的誤差,上下導(dǎo)軌與身管間的接觸剛度存在差異,導(dǎo)致上下導(dǎo)軌在重力作用下的靜位移略有不同。MSTMM計(jì)算結(jié)果與有限元比較最大相對誤差為0.84%。

圖8 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)重力作用下的靜位移Fig.8 Static displacement of guide rail barrel system under gravity

3.3 系統(tǒng)所受電磁載荷

當(dāng)電樞在炮口位置時,系統(tǒng)導(dǎo)軌所受電磁力分布計(jì)算結(jié)果如圖9所示。由圖可知,導(dǎo)軌間的電磁載荷在靠近炮尾的一段距離處迅速增大,然后基本保持不變,最后在靠近電樞的一段距離處迅速減小,且增大和減小的區(qū)域成對稱分布;電樞對導(dǎo)軌的電磁載荷在遠(yuǎn)離電樞處很小,接近電樞位置時迅速增大?？紤]到電磁載荷在導(dǎo)軌中間位置變化很小,只在炮尾和電樞附近有顯著變化,因此,可將導(dǎo)軌受到的電磁載荷簡化為均布載荷q和集中力F的組合。

圖9 導(dǎo)軌所受電磁力作用系數(shù)Fig.9 Distribution of electromagnetic force on guide rail

3.4 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

導(dǎo)軌身管系統(tǒng)在重力及時變電磁力作用下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖10和圖11所示。由圖可以看出,在電流上升初期,電磁力與重力相比對系統(tǒng)影響較小,系統(tǒng)橫向位移均在炮尾處達(dá)到最大值,當(dāng)電流處于峰值平臺期間,上下導(dǎo)軌受樞軌間電磁力作用,動態(tài)響應(yīng)幅值逐漸達(dá)到峰值,同一時刻,上下導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)幅值并不相同,系統(tǒng)橫向位移最大值出現(xiàn)在系統(tǒng)兩端(炮口或炮尾);身管在通電過程中波動范圍變化不大,橫向位移幅值小于上下導(dǎo)軌橫向位移幅值,受地面固定位置彈性支撐作用影響,身管炮尾處橫向位移變化量大于炮口位置處。

圖10 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)Fig.10 Dynamic response of guide rail barrel system

圖11 導(dǎo)軌身管系統(tǒng)炮口處位移-時間曲線Fig.11 Displacement-time curve at the muzzle of guide rail barrel system

在炮口位置處,上下導(dǎo)軌位移-時間曲線與身管位移-時間曲線的變化趨勢保持一致,由于彈性支撐參數(shù)等非對稱性因素的影響,上導(dǎo)軌炮口點(diǎn)變形量更大;在系統(tǒng)初始階段,由于流經(jīng)軌道的電流較小,上下導(dǎo)軌及身管炮口點(diǎn)均以靜變形位置為平衡位置上下波動,隨著電流到達(dá)峰值平臺,導(dǎo)軌間的電磁斥力逐漸變大,在身管結(jié)構(gòu)支撐的共同作用下,上下導(dǎo)軌炮口處間距在“擴(kuò)張-收縮”的過程中反復(fù)震蕩,當(dāng)軌道電流處于指數(shù)衰減階段時,導(dǎo)軌間的電磁斥力迅速減小,上下導(dǎo)軌及身管炮口點(diǎn)在靜變形位置附近上下振動。

4 結(jié)束語

本文以電磁軌道炮導(dǎo)軌身管發(fā)射裝置為研究對象,對導(dǎo)軌身管系統(tǒng)的動力學(xué)模型、振動特性、動態(tài)響應(yīng)等問題進(jìn)行了探究,利用MSTMM建立導(dǎo)軌身管系統(tǒng)三梁動力學(xué)模型,以電磁場計(jì)算出的電磁力為激勵源,利用模態(tài)疊加法求解導(dǎo)軌身管系統(tǒng)在重力及時變電磁力作用下的動態(tài)響應(yīng),探究了上下導(dǎo)軌非對稱性對系統(tǒng)靜變形及動態(tài)響應(yīng)的影響,并通過有限元法驗(yàn)證了MSTMM的正確性和快速性。下一步將討論考慮一體化發(fā)射彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程和時變電磁載荷的彈軌耦合發(fā)射動力學(xué)模型。