王智勇，賈志國(guó)，王振偉，鄭宏祥，王宜祥，丁明娟，邵光存，汪相如

(1.電子科技大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731；2.濟(jì)寧科力光電產(chǎn)業(yè)有限責(zé)任公司 山東 濟(jì)寧 272113)

近年來(lái)，國(guó)際上興起了關(guān)于結(jié)構(gòu)光場(chǎng)橫自旋的研究熱潮[1-4]，并且與光的自旋霍爾效應(yīng)[5-7]和拓?fù)涔庾訉W(xué)密切關(guān)聯(lián)起來(lái)[8]。人們發(fā)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)光場(chǎng)橫自旋在單向光接口技術(shù)中的潛在應(yīng)用[9-12]。 其中，橫自旋指的是垂直于結(jié)構(gòu)光場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方向的自旋角動(dòng)量。按照標(biāo)準(zhǔn)的量子場(chǎng)論術(shù)語(yǔ)，它對(duì)應(yīng)的是螺旋度為零的自旋狀態(tài)。眾所周知，電磁場(chǎng)作為無(wú)靜止質(zhì)量的矢量場(chǎng)，在自由真空中只有兩個(gè)獨(dú)立的橫極化分量，其中左旋和右旋圓極化光分別描述螺旋度為±1 的兩種橫光子，而螺旋度為零的縱光子和標(biāo)光子可以用電磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的縱極化分量來(lái)描述，對(duì)于輻射場(chǎng)而言它是不存在的(對(duì)于非輻射場(chǎng)而言，縱光子和標(biāo)光子可以以虛光子的形式存在) 。由于這個(gè)原因，從一開(kāi)始人們對(duì)結(jié)構(gòu)光場(chǎng)的橫自旋缺乏一個(gè)嚴(yán)格的物理圖像，甚至對(duì)它有些神秘化，同時(shí)對(duì)它的某些物理性質(zhì)存在一些誤解。文獻(xiàn)[1–2]的研究指出，橫自旋與通常意義上的自旋不同，它不是量子化的。然而本文的研究表明，橫自旋仍然是量子化的。

關(guān)于結(jié)構(gòu)光場(chǎng)的橫自旋研究，既有理論價(jià)值，也有實(shí)用價(jià)值。目前的研究已經(jīng)將它與光子自旋的量子霍爾效應(yīng)、拓?fù)涔庾訉W(xué)等領(lǐng)域密切關(guān)聯(lián)起來(lái)。因此，我們有必要厘清橫自旋的物理起源、弄清楚它的物理性質(zhì)，為相關(guān)的理論與應(yīng)用研究提供一個(gè)可靠的出發(fā)點(diǎn)。本文將以兩種介質(zhì)分界面處的表面波(隱失波)的橫自旋為例，為結(jié)構(gòu)光場(chǎng)橫自旋建立一個(gè)嚴(yán)格的物理模型。

1 表面波的橫自旋

考慮一個(gè)垂直于x軸的平面界面，將兩種線性均勻和各向同性的介質(zhì)分隔開(kāi)來(lái)。界面位于x=0，沿y-z坐標(biāo)平面無(wú)限展寬，它將空間分成x＞0和x＜0 兩 個(gè)部分。其中x＞0的空間為真空(介質(zhì)2)，而x＜0的 空間充滿折射率為 η的介質(zhì)(介質(zhì)1)。在x-z坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)一束入射平面波從介質(zhì)1 接近介質(zhì)2 時(shí)，它將在界面附近激發(fā)出一個(gè)表面波，該表面波在界面附近沿著z 軸方向傳播，而沿x軸從界面x=0指 向x＞0的空間方向上是指數(shù)衰減的(只要入射角 φ 滿 足 η sinφ ＞1)，因而也是隱失波。表面波可以分為兩種基本模式：1) 橫電模 (TE mode) 或者s-極化模式；2) 橫磁模 (TM mode)或者p-極化模式。前者只有單個(gè)的、沿y軸方向極化的電場(chǎng)強(qiáng)度分量Ey，后者只有單個(gè)的、沿y軸方向極化的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量By。 利用復(fù)指數(shù)函數(shù)形式，在x＞0區(qū)域，表面波的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E=(Ex,Ey,Ez)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B=(Bx,By,Bz)其非零分量可分別表達(dá)為[13]：

下面以TM 模表面波為例，按照式(1)對(duì)應(yīng)的實(shí)函數(shù)表達(dá)式，給出t=0時(shí)刻的示意圖，如圖1所示。

圖1 介質(zhì)分界面處TM 模表面波示意圖

按照時(shí)間平均定理，利用式(1)和式(2)可以求得表面波的能量密度為：

其中對(duì)于TM 模有h=ca0， 而對(duì)于TE 模有h=b0(下同)。同理，表面波的動(dòng)量密度為：

表面波沿著z軸的能量速度為：

令A(yù)μ=(φ/c,A) 是 表面波的四維規(guī)范勢(shì)，Cμ=(cφ,C)是與之對(duì)偶的四維規(guī)范勢(shì)，它們分別滿足：

規(guī) 范 條 件 選 為 φ=0 和 ?·A=0 ，或 φ=0和?·C=0 。此時(shí)含時(shí)諧因子 exp(-iωt)的表面波滿足A=-iE/ω和C=-ic2B/ω。 令三維坐標(biāo)矢量r=(x,y,z)，利用式(7)和式(8)可以求出電磁場(chǎng)的總角動(dòng)量[14]：

其中已經(jīng)假定場(chǎng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處(|r|→+∞)具有合理的邊界行為，體積元 dV=dxdydz。式(9)第2 行和第3 行的第1 項(xiàng)，都是描述電磁場(chǎng)的軌道角動(dòng)量；第2 項(xiàng)不顯含空間位置矢量r，描述電磁場(chǎng)的自旋角動(dòng)量(簡(jiǎn)稱自旋)。因此電磁場(chǎng)的自旋密度矢量存在兩種表達(dá)形式：類電形式se=ε0E×A和類磁形式sm=ε0B×C。當(dāng)所有場(chǎng)量采用復(fù)函數(shù)表達(dá)時(shí)，時(shí)間平均的自旋密度矢量可表達(dá)為：

將式(1)和式(2)以及A=-iE/ω和C=-ic2B/ω代入式(10)，可以得到：

1)對(duì)于TM 模，sm=(0,0,0)和se=(0,sey,0)，其中：

式中，h=ca0。

2)對(duì)于TE 模，se=(0,0,0)和sm=(0,,0)，其中：

式中，h=b0。

表面波的自旋密度矢量沿x軸方向指數(shù)衰減，且只有y分量，從而與表面波的運(yùn)動(dòng)方向(z方向)垂直，因此這種自旋屬于橫自旋。式(11)和式(12)表明橫自旋與kz成正比，即表面波的橫自旋方向與表面波的運(yùn)動(dòng)方向之間存在一種鎖定的關(guān)系，這種關(guān)系使得橫自旋在光量子信息技術(shù)中存在潛在的應(yīng)用。

利用式(11)和式(12)可以給出表面波自旋密度矢量分布圖。為了方便，令和κ=1(只需考慮相對(duì)的密度分布)，給出的仿真圖如圖2所示。

圖2 表面波橫自旋密度矢量分布圖

2 橫自旋的量子化

首先從表面波的能量量子化形式出發(fā)(忽略真空能)。利用式(4)可以得到表面波的總能量：

對(duì)于TM 模有h=ca0， 而對(duì)于TE 模有h=b0。式(15) 意味著總的橫自旋其正負(fù)同樣依賴于表面波的傳播方向。利用式(6)和式(13)可得：

式中， tanθ=κ/kz， -π/4 ≤θ ≤π/4。值得注意的是，表面波雖然有橫自旋，在與傳播方向相垂直的橫截面上，表面波是線極化的。但是在與傳播方向相平行的極化面內(nèi)，表面波是橢圓極化的，這正是它有橫自旋的原因。式(16)中的因子e=tanθ正是這個(gè)橢圓極化面的橢圓度，它不為零時(shí)便貢獻(xiàn)了橫自旋，即有：

在圓極化的特例下，總的橫自旋Sy=nhˉ與通常意義上的總自旋形式一樣。但需要注意的是，在這里n=1,2,···是表面波中包含的場(chǎng)量子數(shù)，它描述的不是自旋量子化。同一種場(chǎng)的單個(gè)場(chǎng)量子，其自旋角動(dòng)量的量子化，指的是它在任一個(gè)給定方向上的投影是量子化的。當(dāng)n=1時(shí), 式(16) 描述了表面波中單個(gè)場(chǎng)量子的橫自旋量子化形式，類似于矢量場(chǎng)的通常自旋量子化形式，只是 ±1被替換為描述極化橢圓的橢圓度 tanθ(- π/4 ≤θ ≤π/4)。 由于與橫自旋對(duì)應(yīng)的極化橢圓面平行于傳播方向，因此稱此時(shí)的表面波處于縱向橢圓極化態(tài)。

3 表面波的等效靜止質(zhì)量

然而，在可觀測(cè)的意義上，超光速粒子從未被發(fā)現(xiàn)過(guò)，這說(shuō)明當(dāng)波數(shù)矢量的某一分量變成虛數(shù)時(shí)，不能繼續(xù)生搬硬套傳統(tǒng)公式和定義。事實(shí)上，表面波沿z軸傳播的真實(shí)速度是式(6)給出的能量速度，并非超光速。于是根據(jù)式(4)～式(6)，可以由如下色散關(guān)系給出表面波的等效靜止質(zhì)量密度 ρ0：

利用式(4)、式(5)和式(18)，可以得出：

利用等效靜止質(zhì)量密度 ρ0可以求出表面波總的等效靜止質(zhì)量M0：

利用式(6)、式(13)和式(14)，可以證明：

這正是能量和動(dòng)量的相對(duì)論形式。結(jié)合式(13)、式(14)和式(21)，可以得到單個(gè)場(chǎng)量子的等效靜止質(zhì)量m0：

利用式(13)、式(21)和式(22)可得：

令w=ω,Pz=np(n=1,2,···)，由式(14)可得p=vhˉ ω/c2，利用它和式(23)可以得到表面波中單個(gè)場(chǎng)量子的色散關(guān)系：

式(25)完全等價(jià)于式(24)，同時(shí)ms∝m0。將式(25)稱為表面波場(chǎng)量子的正則色散關(guān)系，此時(shí)ms=hˉκ/c扮演等效靜止質(zhì)量的角色。總之，不能從中表觀地得出表面波場(chǎng)量子具有虛的靜止質(zhì)量ihˉκ/c這種結(jié)論。畢竟表面波的場(chǎng)量子具有實(shí)數(shù)的能量和亞光速，這也符合所有可觀測(cè)量都是實(shí)數(shù)的結(jié)論。由于表面波存在等效靜止質(zhì)量，它的場(chǎng)量子存在橫自旋。進(jìn)一步地分析表明，結(jié)構(gòu)光場(chǎng)的等效靜止質(zhì)量，與結(jié)構(gòu)光場(chǎng)存在縱向分量這一事實(shí)密切相關(guān)，這一點(diǎn)也與標(biāo)準(zhǔn)的量子場(chǎng)論結(jié)論類似。

4 基于自旋矩陣的橫自旋極化態(tài)描述

式中，反對(duì)稱張量Sμν=-Sνμ是用旋量 ψ描述光場(chǎng)時(shí)的四維自旋張量，它的分量為：

式中，l,m,n=1,2,3, εlmn=εlmn表示全反對(duì)稱張量(取ε123=1) ，而矩陣 Σl和 αl分別滿足：

式中， τ=(τ1,τ2,τ3)是光場(chǎng)的三維自旋矩陣矢量，其3 個(gè)矩陣分量分別是：

由于橢圓極化可以表達(dá)為兩種圓極化的線性疊加，為了方便，下面只研究?jī)煞N縱向圓極化情形(這里的“縱向”是指極化面在x-z坐標(biāo)平面)。為了研究橫自旋，需要研究自旋在垂直于表面波的運(yùn)動(dòng)方向上的投影，即沿著橫向的自旋投影。以y軸方向?yàn)槔?，該方向上的基矢?η=(0,1,0)，因此只需研究自旋沿著矢量 η的投影。為此考慮自旋矩陣矢量τ 沿矢量η 的投影算符，設(shè)它的本征方程為：

可以得到自旋投影本征值λ =±1,0，而本征矢為：

式中，e±1(η)是橫自旋所對(duì)應(yīng)的縱向圓極化矢量(極化面在x-z坐標(biāo)面上)，描述橫自旋在橫向矢量 η方向上的兩種投影本征態(tài)，分別對(duì)應(yīng)投影量子數(shù)λ=±1。 與本征值 λ=0對(duì) 應(yīng)的本征態(tài)e0(η)是冗余解，與電磁場(chǎng)通常自旋描述中的冗余解類似，對(duì)于輻射場(chǎng)應(yīng)予以忽略。

5 橫自旋潛在應(yīng)用的初步探討

由于光子沒(méi)有靜止質(zhì)量，在自由真空中它的傳播方向是唯一的特殊方向，只有沿此方向上的自旋投影才是可觀測(cè)量。與此不同的是，如Dirac 電子，作為有靜止質(zhì)量的自旋為1/2 的粒子，它的自旋沿任一給定方向上（如外加磁場(chǎng)方向）的投影都是可觀測(cè)量。這使得人們?cè)谧罱嗄陙?lái)發(fā)展出自旋電子學(xué)這個(gè)前沿?zé)衢T學(xué)科。盡管如此，如上所述，在特定物理環(huán)境中的結(jié)構(gòu)光場(chǎng)，由于存在等效靜止質(zhì)量，從而存在橫自旋，它在非傳播方向上的投影也是可觀測(cè)量。因此我們也有可能發(fā)展出一門新的學(xué)科，可以稱為自旋光子學(xué)或自旋光學(xué)，它是自旋電子學(xué)的光學(xué)類比。事實(shí)上，基于納米結(jié)構(gòu)中自旋-軌道耦合所產(chǎn)生的自旋對(duì)稱破缺，一個(gè)新的光學(xué)分支，即等離子體激元光學(xué)中的自旋光學(xué)，在近年來(lái)已經(jīng)被人提出[17]。

為了給出一個(gè)具體例子，令 σ=(σx,σy,σz) 是泡利矩陣矢量。從表面波中質(zhì)量為m、電荷為e 的Dirac 電子的哈密頓量出發(fā)，可以推導(dǎo)出如下一項(xiàng)相互作用的哈密頓量：

式中，hˉ σ/2是 電子的自旋算符，而se=ε0E×A和sm=ε0B×C是表面波的橫自旋，式(32) 描述了電子自旋與表面波橫自旋之間的耦合。這種耦合作用，既可以讓電子自旋的up 態(tài)和down 態(tài)之間產(chǎn)生能級(jí)分裂，也可以讓表面波光子橫自旋的up 態(tài)與down 態(tài)之間發(fā)生能級(jí)分裂，從而形成一個(gè)二能級(jí)的電子系統(tǒng)或光學(xué)系統(tǒng)，這個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)可以作為基于自旋編碼的量子比特。因此從式(32)出發(fā)，可以研究電子流與光子流之間基于自旋編碼的量子信息的傳輸與轉(zhuǎn)換。

作為另一個(gè)可能的應(yīng)用實(shí)例，我們將為新型激光測(cè)距技術(shù)的探索提供新的原理方案。激光測(cè)距技術(shù)是通過(guò)測(cè)量激光脈沖從測(cè)距儀入射到目標(biāo)物體并且被反射回來(lái)的時(shí)間，來(lái)獲得目標(biāo)物體的距離信息[18]，它在許多領(lǐng)域存在廣泛的技術(shù)應(yīng)用。在過(guò)去的幾十年里雖然取得了巨大進(jìn)展，為了滿足各種越來(lái)越多的特殊要求和測(cè)量精度，人們?cè)噲D尋找實(shí)現(xiàn)激光測(cè)距技術(shù)的新原理新機(jī)理。由式(11)和式(12)可知表面波橫自旋與頻率的三次方成反比；又由電子與光子之間的自旋耦合方程式(32)可知，光子橫自旋的大小分布，會(huì)影響到自旋電子學(xué)器件中電子的自旋排列分布(電子自旋翻轉(zhuǎn)的概率與耦合項(xiàng)的模平方成正比，與光子頻率的六次方成反比)。將激光測(cè)距中的回波信號(hào)光子轉(zhuǎn)換為表面波，再通過(guò)它導(dǎo)致的電子自旋排列分布，得出回波信號(hào)光子的頻譜分布。由于黑體輻射的頻譜是已知的，由此可以探測(cè)當(dāng)被測(cè)目標(biāo)是黑體時(shí)的回波信號(hào)。

以上只是給出橫自旋潛在應(yīng)用的初步設(shè)想，進(jìn)一步的詳細(xì)研究將在我們的下一步工作中出現(xiàn)。本文主要目的是厘清橫自旋的物理起源與性質(zhì)，提供一個(gè)系統(tǒng)的理論框架。

6 結(jié) 束 語(yǔ)

本文為表面波橫自旋提供了一些新的關(guān)鍵洞察，如表面波橫自旋同樣是量子化的。橫自旋與表面波運(yùn)動(dòng)方向之間存在鎖定關(guān)系，這在基于自旋自由度的單向光接口技術(shù)中存在潛在應(yīng)用。在物理上，橫自旋的存在，與表面波存在等效靜止質(zhì)量有關(guān)。這正如存在靜止質(zhì)量的矢量場(chǎng)(Proca 場(chǎng))，它包含與零螺旋度極化態(tài)相對(duì)應(yīng)的橫自旋態(tài)。與通常的自旋一樣，橫自旋也可以用自旋矩陣來(lái)描述。由于等效靜止質(zhì)量的存在，表面波橫自旋在給定方向上的投影是可觀測(cè)量，因此可以類比于自旋電子學(xué)來(lái)發(fā)展一門新的學(xué)科，可稱之為自旋光子學(xué)。從電子與表面波相互作用的哈密頓量中，可以推導(dǎo)出電子自旋和光子橫自旋之間的耦合項(xiàng)。以此為出發(fā)點(diǎn)，可以進(jìn)一步研究電子流與光子流之間基于自旋編碼的量子信息的傳輸與轉(zhuǎn)換。