黃海深，萬秋紅，李 平，周庭艷，吳 波

（遵義師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 遵義)

引言

數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)本科班的專業(yè)必修課程，按照人才培養(yǎng)方案設(shè)計的理念，重點加強對學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握課程中的復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程的基礎(chǔ)知識、基本研究方法和思想，并能夠在今后的學(xué)習(xí)和實踐中加以應(yīng)用。

數(shù)學(xué)物理方法是以研究物理問題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法，對物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型，尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述和詮釋。數(shù)學(xué)物理方法主要包括復(fù)變函數(shù)論、特殊函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程等內(nèi)容，涉及到許多偏微分方程和特殊方程。數(shù)學(xué)物理方法以普通物理和高等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，內(nèi)容具有“繁、雜、難”的特點，加上學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困難，成為學(xué)生眼中的“天書”，造成學(xué)習(xí)主動性不高，學(xué)習(xí)效果較差[1]。

計算科學(xué)的發(fā)展和計算機處理能力的大幅提升，為數(shù)學(xué)物理中的許多問題提供了另一個解決思路，并發(fā)展出了一個新的學(xué)科，即計算物理學(xué)。計算物理學(xué)是以計算機技術(shù)為工具和手段，運用數(shù)學(xué)方法解決復(fù)雜物理問題的一門應(yīng)用科學(xué)，它是計算機科學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)相結(jié)合的學(xué)科。目前計算物理已經(jīng)成為對復(fù)雜體系的物理規(guī)律、物理性質(zhì)進(jìn)行研究的重要手段，是物理學(xué)的重要分支之一，與理論物理和實驗物理有著密切的關(guān)系，對物理學(xué)的發(fā)展起著越來越大的作用。

計算物理首先對復(fù)雜物理問題建立物理模型，然后用數(shù)學(xué)理論導(dǎo)出方程，最后利用數(shù)值計算方法來求解和仿真，可以很直觀地對問題進(jìn)行分析，因此計算物理在數(shù)學(xué)物理方法課程的許多章節(jié)中發(fā)揮作用。本文以一維輸運方程為例，研究有限差分方法在偏微分方程的數(shù)值求解和可視化方面的應(yīng)用，為建立數(shù)學(xué)物理方法課程的數(shù)值求解及可視化資源庫打下基礎(chǔ)。

1 輸運方程的建立

當(dāng)物體的溫度不均勻時，熱量就會從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種熱傳導(dǎo)現(xiàn)象遵從熱傳導(dǎo)定律，即傅里葉定律：

式中：u 為溫度，它是位置r 和時間t 的函數(shù)；?u為溫度的梯度，表示u 的不均勻程度；q 為單位時間內(nèi)流過單位橫截面積的熱量，即熱流密度，比例系數(shù)k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

根據(jù)熱傳導(dǎo)定律及能量守恒定律，可推導(dǎo)出物體的溫度滿足以下偏微分方程[2]：

當(dāng)物質(zhì)的濃度不均勻時，物質(zhì)的擴散現(xiàn)象也遵循與傅里葉定律相似的擴散定律，即斐克定律，因此熱傳導(dǎo)方程和物質(zhì)的擴散方程具有相同的形式：

此類方程即輸運方程。為簡單起見，本文只考慮比較簡單的一維的情況，即：

2 輸運方程的求解

對于齊次輸運方程，如果邊界條件也是齊次的，一般可用分離變量方法進(jìn)行求解。例如對于定解問題：

式(5)化為

關(guān)于x 部分的解已經(jīng)求出，將本征值代入式(11)可得：

此為關(guān)于t 部分的解?？紤]初始條件式(8)后，可求出定解問題的解為[3]：

此題的初始條件是三角函數(shù)，而且正好為式(11)的本征函數(shù)，所以最后求解特解時相對容易些，如果不是本征函數(shù)，則需要采用傅里葉變換求解展開系數(shù)，求解過程則更為復(fù)雜。對于一般的輸運方程，求解過程是非常復(fù)雜的，甚至求不出解析解。因此，接下來我們采用有限差分方法求輸運方程的數(shù)值解并對數(shù)值進(jìn)行可視化。

3 數(shù)值求解及可視化

有限差分方法是求解偏微分方程的一種常用方法，它使用差商代替偏微分方程中的偏導(dǎo)數(shù)，這樣偏微分方程就變成了代數(shù)方程，連續(xù)方程實現(xiàn)了離散化，再聯(lián)合邊界條件和初值條件即可求解出方程的數(shù)值解。

下面是采用有限差分方法對一維輸運方程進(jìn)行數(shù)值求解并進(jìn)行可視化。解為u(x,t)=ex+t輸運方程為：

選用此方程的目的是其解析解已知，方便評估我們的求解方法和過程的可靠性。

則式(20-23)可離散為[4]

至此通過C++或其他語言編程可很方便地求解出數(shù)值解，將數(shù)值導(dǎo)入到作圖軟件中即可畫出函數(shù)圖像，對輸運方程的解進(jìn)行可視化。例如取M=50、N=5000 時，圖像如圖1 所示。由圖1 可以直觀地看出，函數(shù)值隨時間是增加的，其原因是邊界處函數(shù)值是隨時間增加的，相當(dāng)于兩端有兩個熱源不斷地對體系進(jìn)行加熱，所以溫度一直在上升。

圖1 M=50、N=5000 時式(20-23)的圖像

有限差分方法是使用有限大小的間隔對求解區(qū)域時行劃分，并用差商代替偏導(dǎo)數(shù)，因此迭代的次數(shù)越多，誤差越大，即時間越長，誤差越大，如圖2 所示。在本例中，t=1 時最大的誤差在x=0.5 附近，約為3.48×10-5，邊界處的值已知，誤差為0。除了迭代次數(shù)，誤差還與網(wǎng)格大小相關(guān)，網(wǎng)格劃分得越細(xì)，誤差越小。但也不是越細(xì)越好。網(wǎng)格越細(xì)，計算的數(shù)據(jù)越多，處理起來越困難。而且許多作圖軟件能處理的精度有限，過高的精度并不能體現(xiàn)出來。

圖2 M=50、N=5000、t=1 時，采用有限差分方法求解式(20-23)的誤差圖像

對于式(5-8)的定解問題，取D=1，M=90，N=5000，圖像如圖3 所示。由圖3 看出，函數(shù)值隨時間衰減得很快，t=1 時，最大值已經(jīng)衰減到10-11的數(shù)量級。由邊界條件可知邊界的值固定為0，對于熱傳導(dǎo)問題相當(dāng)于兩端有溫度為0 的熱浴，經(jīng)過一段很短的時間，體系的溫度將接近熱浴的溫度，即趨于0。

圖3 M=90、N=5000、D=1 時，式(5-8)的圖像

再看一個齊次方程的例子：

初始條件為0，邊界條件為關(guān)于t 的正弦函數(shù)，兩端的符號相反。此方程的邊界條件是非齊次的，求解非常麻煩，采用有限差分方法求出數(shù)值解，由origin 軟件畫出的函數(shù)圖像如圖4 所示。由圖4 可以看出，兩端都以正弦函數(shù)變化，向中間輸運。因兩端符號相反，造成x＜0.5 時函數(shù)始終大于0，x＞0.5 時函數(shù)始終小于0，而x=0.5 時函數(shù)始終為0。從圖中可以看出，輸運方程與波動方程的圖像有著本質(zhì)區(qū)別，后者的圖像遵循疊加原理，而前者不遵循疊加原理，而會相互抵消。

圖4 M=50、N=5000 時，式(31-34)的圖像

4 結(jié)論

本文首先簡單介紹了一維輸運方程的建立和基于分離變量法的解析解求解方法，然后采用有限差分方法對一維輸運方程進(jìn)行了離散化處理，最后經(jīng)過編程求出了兩個定解問題的數(shù)值解，并進(jìn)行了可視化。該方法一旦編程成功，改變邊界條件和初始條件也可很方便地求解出方程的數(shù)值解并進(jìn)行畫圖。該方法可移植性較高，直觀性較強，可降低學(xué)生學(xué)習(xí)輸運方程的難度，提高其學(xué)習(xí)興趣。