林東方,姚宜斌,鄭敦勇,廖孟光,謝 建

1. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院,湖北 武漢 430079; 2. 湖南科技大學(xué)測繪遙感信息工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南 湘潭 411201; 3. 湖南科技大學(xué)地理空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室,湖南 湘潭 411201

在大地測量參數(shù)反演中,受觀測信息不足或模型過度參數(shù)化的影響,常會(huì)出現(xiàn)模型參數(shù)反演病態(tài)問題,該問題導(dǎo)致模型參數(shù)反演穩(wěn)定性較差,模型參數(shù)估計(jì)對觀測數(shù)據(jù)誤差極度敏感,嚴(yán)重限制了未知模型參數(shù)的估值精度[1-3]。大地測量參數(shù)反演中的GNSS空間測量、InSAR(interferometric synthetic aperture radar)地表形變測量、地球重力場測量等領(lǐng)域受病態(tài)問題的影響最為廣泛[4-10],如何解決病態(tài)問題,提高大地測量參數(shù)反演質(zhì)量,是現(xiàn)代大地測量數(shù)據(jù)處理的重要研究內(nèi)容[1,11]。

隨著衛(wèi)星與傳感器技術(shù)的發(fā)展,大地測量常通過間接觀測反演地球物理參數(shù),并利用物理模型構(gòu)建觀測量與未知物理模型參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。通過非直接觀測信息反演模型參數(shù),受觀測條件限制,參數(shù)反演病態(tài)問題常常難以避免[2,12]。病態(tài)問題處理的關(guān)鍵在于減弱或者消除病態(tài)性對模型參數(shù)估計(jì)的不良影響。文獻(xiàn)[13]提出的正則化方法,是目前大地測量中應(yīng)用最為廣泛的病態(tài)問題解算方法之一。該方法是一種有偏估計(jì)方法,其核心是在最小二乘無偏估計(jì)的基礎(chǔ)上附加穩(wěn)定泛函約束條件,并通過正則化參數(shù)調(diào)節(jié)穩(wěn)定泛函的約束作用。因此,穩(wěn)定泛函與正則化參數(shù)的確定是影響正則化方法解算效果的關(guān)鍵。穩(wěn)定泛函的選擇目前主要包括兩個(gè)方面:一是依據(jù)模型參數(shù)的先驗(yàn)信息構(gòu)建穩(wěn)定泛函[14-15],該方式可利用先驗(yàn)信息補(bǔ)充部分物理參數(shù)觀測信息,從而緩解觀測信息不足引起的模型病態(tài)性,具有較好的可行性和實(shí)用性[16];另一方面在無法獲取先驗(yàn)信息時(shí),穩(wěn)定泛函常選擇為模型參數(shù)的二范約束[17-18],即模型參數(shù)估值的二次修正,該方式無須獲取先驗(yàn)信息,普適性較好,但解算效果過分依賴于正則化參數(shù)的合理性與有效性,須確定合理可靠的正則化參數(shù)以防止模型參數(shù)估值欠正則化或過度正則化。針對正則化參數(shù)確定問題,研究人員從不同角度提出了不同正則化參數(shù)確定方法。文獻(xiàn)[19]從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度給出了正則化參數(shù)的GCV(generalized cross-validation)確定方法,該方法以觀測殘差平方和最小為準(zhǔn)則,通過廣義交叉驗(yàn)證方式來確定正則化參數(shù)。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]分別在計(jì)算方式與計(jì)算效率上對常規(guī)GCV法進(jìn)行了改進(jìn)。然而,受模型病態(tài)性影響,模型參數(shù)的取值空間較大,以觀測值殘差平方和最小確定正則化參數(shù)難以保證能夠得到最優(yōu)的模型參數(shù)估值。文獻(xiàn)[22]以平衡正則化估值的平滑度與擬合度為依據(jù),提出了正則化參數(shù)的L曲線確定方法,通過該方法確定的正則化參數(shù)表現(xiàn)出了較好的穩(wěn)定性,但利用L曲線拐點(diǎn)確定的正則化參數(shù)理論依據(jù)不夠充分,常出現(xiàn)過度平滑問題[3,12]。文獻(xiàn)[23]從有偏估計(jì)角度,提出了以參數(shù)估值均方誤差最小為準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)的方法[24]。文獻(xiàn)[25]則分析了有偏估計(jì)相較于無偏估計(jì)在病態(tài)問題解算中的可行性,驗(yàn)證了正則化方法通過正則化參數(shù)調(diào)節(jié)可在均方誤差(mean square error,MSE)上優(yōu)于最小二乘無偏估計(jì)方法。均方誤差反映了模型參數(shù)估值與真值的離散程度,相比于GCV法與L曲線法,最小MSE法使參數(shù)估值逼近于真值,有助于提升模型參數(shù)的估值精度及可靠性,具有更為充分的理論依據(jù)。然而,均方誤差的準(zhǔn)確計(jì)算需要未知模型參數(shù)的真值,參數(shù)真值在實(shí)際應(yīng)用中無法獲得,常以初步估值代替真值迭代計(jì)算均方誤差[26-27],這導(dǎo)致均方誤差的計(jì)算對模型參數(shù)初值準(zhǔn)確性要求較高,難以得到準(zhǔn)確的均方誤差值,限制了均方誤差意義下確定正則化參數(shù)的有效性和可靠性。

無法獲得先驗(yàn)信息時(shí),模型參數(shù)的二范約束函數(shù)是目前應(yīng)用最為廣泛也是最為通用的穩(wěn)定泛函,其正則化矩陣表達(dá)為單位矩陣形式,在此情況下,正則化參數(shù)的選擇決定了模型參數(shù)的估計(jì)精度。常用正則化參數(shù)確定方法可從不同角度給出有效的正則化參數(shù),但仍難以得到理論最優(yōu)的正則化參數(shù),一定程度限制了正則化方法的病態(tài)問題處理效果[28-29]。盡管均方誤差最小法在均方誤差準(zhǔn)確計(jì)算上存在問題,但以參數(shù)估值均方誤差最小為準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)更直觀高效,可保障參數(shù)估值更接近于真值。鑒于此,本文研究基于均方誤差最小準(zhǔn)則的正則化參數(shù)確定方法。針對模型參數(shù)真值未知,均方誤差難以準(zhǔn)確計(jì)算問題,通過分析不同正則化參數(shù)下的方差相對變化與偏差相對變化規(guī)律,研究利用兩正則化參數(shù)下的方差與偏差相對變化消除模型參數(shù)真值未知影響,綜合方差與偏差相對變化分析均方誤差相對變化趨勢,確定均方誤差最大降幅下的正則化參數(shù),進(jìn)而提升均方誤差意義下正則化參數(shù)確定的可靠性與穩(wěn)定性。最后,通過試驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的可行性與有效性。

1 正則化方法

病態(tài)問題導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)對觀測數(shù)據(jù)誤差過度敏感,常規(guī)解算方法已難以準(zhǔn)確獲得參數(shù)的有效估值。為了改善病態(tài)模型參數(shù)估計(jì)精度,文獻(xiàn)[13]提出了一種解算病態(tài)模型的正則化算法,是目前應(yīng)用最為廣泛的病態(tài)問題解算方法之一。該方法以最小二乘估計(jì)為基礎(chǔ),通過引入正則化參數(shù)與穩(wěn)定泛函來改善模型參數(shù)估計(jì)精度與穩(wěn)定性[2]。在無法獲得先驗(yàn)信息時(shí),穩(wěn)定泛函常表示為未知參數(shù)的二范約束,此時(shí)正則化估計(jì)準(zhǔn)則可表示為

Φ=VTPV+αXTX=min

(1)

式中,V為觀測殘差向量,V=AX-L;A為觀測方程設(shè)計(jì)矩陣;X為未知模型參數(shù)向量;L為觀測值向量;P為權(quán)重矩陣;α表示正則化參數(shù);XTX為穩(wěn)定泛函。該情況下,正則化矩陣設(shè)定為單位矩陣。由此可得,正則化方法的模型參數(shù)估值為

(2)

在采用單位矩陣為正則化矩陣時(shí),正則化參數(shù)則成為影響正則化方法解算效果的關(guān)鍵因素。目前應(yīng)用較為廣泛的L曲線法、GCV法及最小MSE法等正則化參數(shù)確定方法可有效獲得合理可行的正則化參數(shù),但均難以給出穩(wěn)定優(yōu)良的正則化參數(shù)。因此,最優(yōu)正則化參數(shù)確定方法仍需進(jìn)一步研究。

2 考慮均方誤差相對變化的正則化參數(shù)確定方法

2.1 正則化參數(shù)變化對均方誤差的影響

正則化方法是一種有偏估計(jì)方法。相比于無偏估計(jì),正則化法的參數(shù)估值是有偏的,其均方誤差包含方差與偏差兩個(gè)部分。由此正則化法模型參數(shù)估值均方誤差可變換為[23,25]

(3)

(4)

A=USGT

(5)

(6)

式中,U為左奇異向量矩陣;S為奇異值矩陣;G為右奇異向量矩陣;γ為系數(shù)矩陣奇異值,γ1>γ2>…>γn>0。對Cα求跡,可得模型參數(shù)正則化估值方差為

(7)

由式(7)可得,正則化法可有效實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)估值方差的下降,方差下降程度與正則化參數(shù)的數(shù)值大小有關(guān),正則化參數(shù)越大,方差下降程度越大,反之,則下降程度越小。

由式(2)與式(3)可計(jì)算正則化估值偏差為

(8)

(9)

式中,gi為對應(yīng)于奇異值γi的右奇異向量。由式(9)可知,正則化法所引入的偏差同樣與正則化參數(shù)大小有關(guān),但與估值方差的變化相反。正則化參數(shù)越大,引起的偏差就越大,反之,則引起的偏差越小。

綜上,正則化法通過引入偏差降低方差實(shí)現(xiàn)均方誤差的下降,在正則化矩陣確定的情況下,正則化參數(shù)的大小決定了均方誤差的下降程度。因此,在均方誤差意義下,存在一個(gè)最優(yōu)的正則化參數(shù),使方差下降量減去偏差增加量達(dá)到正極值,即均方誤差達(dá)到最小。通過式(3)、式(7)及式(9)可實(shí)現(xiàn)不同正則化參數(shù)下的均方誤差的計(jì)算,進(jìn)而可確定均方誤差達(dá)到最小時(shí)的正則化參數(shù)。但是,由式(9)可以看出,均方誤差中偏差的計(jì)算需要利用模型參數(shù)真值,在實(shí)際情形中,參數(shù)真值是無法獲得的,常規(guī)算法以參數(shù)估值代替真值實(shí)現(xiàn)偏差的計(jì)算,但受模型病態(tài)性影響,模型參數(shù)估值方差較大,準(zhǔn)確性較低,以不準(zhǔn)確參數(shù)估值代替真值計(jì)算偏差,常引起均方誤差計(jì)算有誤,難以給出實(shí)際最小均方誤差下的正則化參數(shù)。

2.2 利用均方誤差相對變化規(guī)律確定正則化參數(shù)

利用均方誤差最小準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)的關(guān)鍵在于確定模型參數(shù)估值的均方誤差。在實(shí)際應(yīng)用中,受到參數(shù)真值未知的影響,難以通過直接計(jì)算得到均方誤差的可靠值,進(jìn)而無法通過直接對比均方誤差得到最小均方誤差下的正則化參數(shù)。

盡管受正則化參數(shù)影響下的正則化估值均方誤差難以直接計(jì)算,但正則化參數(shù)對均方誤差的影響存在明確的規(guī)律性。由式(3)可知,正則化法模型參數(shù)估值均方誤差的確定可分解為方差確定和偏差確定兩個(gè)部分。由式(7)和式(9)可知,隨著正則化參數(shù)的增大,方差呈現(xiàn)負(fù)增長規(guī)律,而偏差呈現(xiàn)正增長規(guī)律,即不同正則化參數(shù)下的方差下降量和偏差增加量各不相同。由均方誤差統(tǒng)計(jì)定義可知,均方誤差主要反映了參數(shù)估值相對于參數(shù)真值的離散程度,而均方根誤差則反映了參數(shù)估值與真值之間的差異。因此,在參數(shù)真值為固定值的情況下,不同正則化參數(shù)下的方差下降量變化與偏差增長量變化必然反映在模型參數(shù)估值的變化上。鑒于此,本文考慮利用不同正則化參數(shù)下的模型參數(shù)估值變化及方差下降量與偏差增長量變化實(shí)現(xiàn)均方誤差的相對變化比較,進(jìn)而確定出最優(yōu)正則化參數(shù)。

2.2.1 兩正則化參數(shù)下的方差相對變化量確定方法

無偏估計(jì)的均方誤差僅包含方差,主要反映了參數(shù)估值相對于真值的離散程度。由式(7)可知,方差的準(zhǔn)確計(jì)算需要利用單位權(quán)方差,單位權(quán)方差則體現(xiàn)了觀測數(shù)據(jù)的觀測精度情況,在所用設(shè)備觀測精度已明確的情況下,可由設(shè)備標(biāo)定精度計(jì)算得到。在設(shè)備觀測精度未知時(shí),則可通過多余觀測信息,采用方差無偏估計(jì)方法計(jì)算得到。

由最小二乘無偏估計(jì)可得包含多余觀測的觀測值殘差向量為[30-31]

V=A(ATPA)-1ATPL-L

(10)

對設(shè)計(jì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解化簡得

(11)

式中,Um由對應(yīng)于設(shè)計(jì)矩陣奇異值的m階左奇異向量組成。單位權(quán)方差估計(jì)公式可表示為

(12)

由式(12)可知,單位權(quán)方差的計(jì)算與多余觀測信息有關(guān),與奇異值的大小無直接關(guān)聯(lián),因此,在可獲得多余觀測的情況下,能夠?qū)崿F(xiàn)單位權(quán)方差的估算,利用估算的單位權(quán)方差結(jié)合式(7)即可得到不同正則化參數(shù)下的方差。設(shè)兩個(gè)相鄰的正則化參數(shù)值分別為αj-1和αj,其對應(yīng)的正則化估值方差分別為

(13)

(14)

無偏估計(jì)的均方根誤差即標(biāo)準(zhǔn)差,反映了模型參數(shù)估值與真值之間的差異。有偏估計(jì)情況下,標(biāo)準(zhǔn)差是均方根誤差的組成部分,因此,采用標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行分析更直觀明了,兩相鄰正則化參數(shù)下的標(biāo)準(zhǔn)差變化可表示為

(15)

2.2.2 兩正則化參數(shù)下的偏差相對變化量確定方法

在模型參數(shù)真值未知的情況下,無法準(zhǔn)確可靠地對偏差進(jìn)行直接計(jì)算。但是,通過計(jì)算兩正則化參數(shù)下的均方根誤差相對變化量,可消除參數(shù)真值未知的影響。由式(3)可得兩正則化參數(shù)下均方根誤差相對變化值向量為

(16)

(17)

由此可得兩正則化參數(shù)下的均方根誤差變化量近似為

(18)

式中,rj為均方根誤差變化量。由式(18)可知,均方根誤差變化量近似等同于參數(shù)估值變化量。因而,正則化參數(shù)變化引起的模型參數(shù)估值變化量應(yīng)受標(biāo)準(zhǔn)差變化與偏差變化的共同影響。設(shè)偏差變化影響量為pj,則參數(shù)估值變化量可表示為

rj=sj+pj

(19)

偏差為0時(shí),參數(shù)估值變化僅受標(biāo)準(zhǔn)差變化影響,則參數(shù)估值變化量近似于標(biāo)準(zhǔn)差變化量,因此,在參數(shù)估值變化量差異于標(biāo)準(zhǔn)差變化量時(shí),均可認(rèn)為受到了偏差影響。則偏差變化影響量可近似計(jì)算為

pj=rj-sj

(20)

2.2.3 正則化參數(shù)確定方法

無偏估計(jì)的參數(shù)估值中不包含偏差,參數(shù)估值方差即均方誤差,標(biāo)準(zhǔn)差即均方根誤差。若正則化法引入的偏差為0,則等價(jià)于無偏估計(jì),參數(shù)估值變化僅受標(biāo)準(zhǔn)差變化影響。因此,在標(biāo)準(zhǔn)差變化量確定的情況下,若模型參數(shù)估值變化量與標(biāo)準(zhǔn)差變化量相近,則正則化參數(shù)變化引起的偏差變化較小;如果參數(shù)估值變化量與標(biāo)準(zhǔn)差變化量差異較大,則正則化參數(shù)變化引起的偏差變化較大。

最優(yōu)正則化參數(shù)可實(shí)現(xiàn)均方誤差的最大降幅。由式(20)可知,兩正則化參數(shù)間的模型參數(shù)估值變化量近似等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)差變化量與偏差變化量之和。即參數(shù)估值的變化受到標(biāo)準(zhǔn)差下降以及偏差增長的綜合影響。正則化模式下,標(biāo)準(zhǔn)差隨著正則化參數(shù)的增大而下降,偏差則隨著正則化參數(shù)的增大而增長。盡管依據(jù)式(20)僅可得到近似的偏差增加量,但在標(biāo)準(zhǔn)差變化量已準(zhǔn)確確定的情況下,如若參數(shù)估值變化量小于2倍的標(biāo)準(zhǔn)差下降量,則標(biāo)準(zhǔn)差下降引起的參數(shù)估值變化要大于偏差增加引起的變化,因此可認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差的下降量大于偏差的增長量,正則化參數(shù)的增大可降低均方誤差。而如果模型參數(shù)估值變化量大于等于2倍的標(biāo)準(zhǔn)差變化量,則標(biāo)準(zhǔn)差下降引起的參數(shù)估值變化要小于偏差增加引起的變化,即標(biāo)準(zhǔn)差的下降量小于偏差的增長量,那么正則化參數(shù)的增大不能降低均方誤差。利用兩正則化參數(shù)下的參數(shù)估值變化與標(biāo)準(zhǔn)差變化,可間接實(shí)現(xiàn)偏差的相對比較分析,進(jìn)而確定出兩正則化參數(shù)中更利于降低均方誤差的正則化參數(shù)。因而可得確定出兩正則化參數(shù)中的較優(yōu)正則化參數(shù)后,通過減小搜索步長,縮小搜索區(qū)間,可迭代計(jì)算得到最優(yōu)的正則化參數(shù)。最優(yōu)正則化參數(shù)確定過程如圖1所示。

圖1 正則化參數(shù)確定流程 Fig.1 Flowchart of regularization parameter determination

(21)

確定正則化參數(shù)的具體步驟如下:

(1) 選取正則化參數(shù)上下限及對比步長(例如0～10,步長為1),在上下限內(nèi)不同正則化下進(jìn)行正則化估計(jì),得到模型參數(shù)正則化估值。

(2) 計(jì)算上下限內(nèi)兩相鄰正則化參數(shù)下的標(biāo)準(zhǔn)差變化量及模型參數(shù)估值變化量,判斷此正則化參數(shù)取值區(qū)間內(nèi)的較優(yōu)正則化參數(shù)。

(3) 以較優(yōu)正則化參數(shù)為中心,以左右步長為上下限縮小搜索區(qū)間,而后降低搜索步長,重復(fù)上述步驟,通過迭代計(jì)算得到最終的最優(yōu)正則化參數(shù)。

由于正則化參數(shù)是一個(gè)連續(xù)變量,兩正則化參數(shù)區(qū)間內(nèi)包含無窮多個(gè)正則化參數(shù),選取一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差變化量ε作為迭代終止條件,即在兩正則化參數(shù)間標(biāo)準(zhǔn)差變化量sj≤ε時(shí)迭代終止。標(biāo)準(zhǔn)差變化量較小時(shí),正則化參數(shù)變化所能降低的均方誤差也較小,對模型參數(shù)估值的影響可忽略,因此,可認(rèn)為確定的正則化參數(shù)已滿足實(shí)際需求。

3 PolInSAR植被高度測量試驗(yàn)

極化干涉合成孔徑雷達(dá)(polarimetric interfero-metric synthetic aperture radar,PolInSAR)通過多極化微波穿透觀測,可有效采集植被覆蓋區(qū)地表散射及植被體散射觀測信息,實(shí)現(xiàn)大范圍植被高參數(shù)及地表參數(shù)的反演,是大地測量中近年來新興的具備穿透測繪能力的熱門測量技術(shù),并已廣泛應(yīng)用于大范圍植被高度及林下地形的測繪[33-34]。然而,基于相干散射模型的PolInSAR模型參數(shù)反演存在病態(tài)問題,導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)穩(wěn)定性較差,嚴(yán)重影響了植被高等參數(shù)的反演精度[7,35]。因此,合理解決參數(shù)反演病態(tài)問題,是提高植被高參數(shù)反演精度與穩(wěn)定性的關(guān)鍵。

3.1 試驗(yàn)一

為了驗(yàn)證本文算法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性與有效性,選取了歐空局AfriSAR2016項(xiàng)目獲取的P波段全極化PolInSAR數(shù)據(jù)進(jìn)行植被高參數(shù)反演試驗(yàn),觀測數(shù)據(jù)信息見表1,項(xiàng)目試驗(yàn)區(qū)位于非洲加蓬的Mabounie地區(qū),該地區(qū)為典型的非洲熱帶森林,森林高度為40～50 m,森林茂密,地形復(fù)雜,常規(guī)測量技術(shù)難以實(shí)現(xiàn)大范圍森林高度與林下地形的測量。

表1 數(shù)據(jù)采集信息

相干散射模型是描述雷達(dá)波信號在植被覆蓋區(qū)散射傳播過程的物理模型,是采用PolInSAR多極化觀測數(shù)據(jù)反演植被高參數(shù)的基礎(chǔ)。其中隨機(jī)地體二層散射(RVoG)模型已廣泛應(yīng)用于不同類型植被高反演中,是目前應(yīng)用效果最優(yōu)的散射模型,該模型合理建立了植被參數(shù)與多極化觀測量之間的函數(shù)關(guān)系[33]。具體表示為

(22)

式中,ω為極化向量,代表了不同極化狀態(tài);γ(ω)表示對應(yīng)于極化向量ω的復(fù)相干觀測,為已知觀測量;φ0代表地表相位,為未知模型參數(shù);μ(ω)表示地體幅度比,同樣為未知模型參數(shù);γv代表純體相干性,其表達(dá)式中包含植被高參數(shù),具體表示為

(23)

式中,σ為消光系數(shù),為未知物理參數(shù);θ代表雷達(dá)入射角,為已知參數(shù);hv表示未知植被高參數(shù);kz為垂直向有效波數(shù),可通過已知參數(shù)計(jì)算得到。極化觀測γ(ω)與純體相干性γv均以復(fù)數(shù)表示。由RVoG模型可構(gòu)建平差函數(shù)模型

γ(ω)=f(φ0,σ,hv,μ(ω))

(24)

為增加多余觀測數(shù),本次試驗(yàn)采用opt1、opt2、opt3、HH、HV、VV、PDHigh、PDLow、HHpVV、HHmVV共10種極化狀態(tài)觀測數(shù)據(jù),進(jìn)行植被高參數(shù)估計(jì)。由函數(shù)模型得到的G-M模型共包含植被高、地體幅度比等13個(gè)未知模型參數(shù),其方程系數(shù)矩陣奇異值情況見表2。

表2 觀測方程系數(shù)矩陣奇異值

由表2可知,觀測方程設(shè)計(jì)矩陣存在嚴(yán)重病態(tài)性,需利用正則化方法進(jìn)行解算以改善參數(shù)估計(jì)質(zhì)量。圖2展示了本文方法確定正則化參數(shù)過程,試驗(yàn)中綜合考慮標(biāo)準(zhǔn)差變化對模型參數(shù)估值變化影響及模型參數(shù)的實(shí)際大小情況選取ε為0.000 5,該條件下標(biāo)準(zhǔn)差繼續(xù)下降,對模型參數(shù)估值精度提升已可忽略。由圖2可知,在虛線處正則化參數(shù)為2×10-5時(shí),參數(shù)估值變化量為0.07,標(biāo)準(zhǔn)差變化量為0.000 4,表明偏差增加引起的參數(shù)估值變化遠(yuǎn)大于方差下降影響,即偏差增加遠(yuǎn)大于方差下降,不利于均方誤差的下降。而正則化參數(shù)為1×10-5時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差下降量遠(yuǎn)大于參數(shù)估值變化量,表明偏差增加量要遠(yuǎn)小于方差下降量,可大幅降低均方誤差,因此,本文方法確定的正則化參數(shù)為1×10-5。為了對比分析,同時(shí)采用GCV法、L曲線法及均方誤差最小法確定正則化參數(shù)并獲得植被高參數(shù)估計(jì)結(jié)果。圖3給出了各方法的植被高參數(shù)反演結(jié)果。

圖2 相鄰正則化參數(shù)間的模型參數(shù)估值變化與標(biāo)準(zhǔn)差變化Fig.2 Parameter estimate changes and standard deviation changes between adjacent regularization parameters

圖3 PolInSAR穿透測量植被高參數(shù)反演結(jié)果Fig.3 Vegetation height inversion results of PolInSAR surveying

LiDAR技術(shù)具有較高的測量精度,其反演的植被高精度要遠(yuǎn)高于PolInSAR。因此,本試驗(yàn)中將LiDAR植被高結(jié)果作為參考值對比分析各方法PolInSAR植被高反演結(jié)果。圖3(f)為NASA實(shí)施的LiDAR植被高測量結(jié)果,由于LiDAR與PoLInSAR飛行軌道不同,導(dǎo)致測量覆蓋區(qū)域存在一些差異,此外,由于LiDAR測量易受云霧與天氣變化影響,部分測量區(qū)域未能成功反演出植被高度,相較于PolInSAR結(jié)果出現(xiàn)部分缺失,但圖中多數(shù)區(qū)域植被高反演結(jié)果可作為參考值進(jìn)行對比分析。由圖3(a)可知,受模型病態(tài)性影響,最小二乘估計(jì)已無法得到參數(shù)的有效估值,參數(shù)估計(jì)結(jié)果與LiDAR反演結(jié)果嚴(yán)重不符。圖3(b)—圖3(e)為采用正則化方法解算后的結(jié)果。對比可見,圖3(c)采用GCV法確定正則化參數(shù),其植被高反演結(jié)果與最小二乘結(jié)果相近,表明CGV法未能有效改善模型病態(tài)性影響。圖3(b)、(d)、(e)植被高反演結(jié)果相比于最小二乘與GCV法有顯著改善,其中圖3(e)本文方法確定正則化參數(shù)的正則化法植被高參數(shù)估計(jì)結(jié)果直觀上更接近于LiDAR反演結(jié)果,圖3(d)均方誤差最小法次之,圖3(b)L曲線法相對較差。由此可知,本文方法確定的正則化參數(shù),可改善正則化法模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

為了量化分析各方法參數(shù)估計(jì)精度,依據(jù)LiDAR植被高反演情況,在圖中均勻選取樣地共1170塊,用于統(tǒng)計(jì)分析植被高參數(shù)的反演精度,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示。

圖4 PolInSAR穿透測量植被高參數(shù)反演誤差Fig.4 Vegetation height parameter inversion errors of PolInSAR

圖4反映了各方法的植被高參數(shù)估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì)情況。其中,圖4(a)反映了用于統(tǒng)計(jì)分析的樣地分布情況,圖中紅色區(qū)域?yàn)樗x樣地,依據(jù)LiDAR植被高反演結(jié)果,避開無數(shù)據(jù)區(qū)域,共均勻選取了1170塊樣地。由圖4(b)與圖4(d)可知,最小二乘估計(jì)與GCV法確定正則化參數(shù)的正則化法植被高反演均方根誤差較大,均未能有效反演出植被高參數(shù)。圖4(c)、(e)、(f)分別為利用L曲線法、均方誤差最小法及本文方法確定正則化參數(shù)的植被高參數(shù)反演結(jié)果,由圖4可知,3種方法均有效抑制了模型病態(tài)性影響,植被高參數(shù)估值均方根誤差得到了顯著降低。其中,圖4(c) L曲線法確定正則化參數(shù)的正則化法植被高反演均方根誤差最大,圖4(e)均方誤差最小法次之,圖4(f)本文方法最小。本文方法相較于L曲線法,植被高反演均方根誤差下降了47%,相較于均方誤差最小法,均方根誤差下降了32%。在相關(guān)系數(shù)R2上,本文方法較前兩者也均有所提高。因此,采用本文方法確定正則化參數(shù),在提高正則化法模型參數(shù)估計(jì)精度方面是可行且有效的。

3.2 試驗(yàn)二

試驗(yàn)二選取了德國宇航中心BioSAR2008項(xiàng)目采集的P波段全極化PolInSAR數(shù)據(jù),觀測數(shù)據(jù)信息見表3,項(xiàng)目試驗(yàn)區(qū)位于瑞典北部Krycklan地區(qū),該地區(qū)植被類型為北方混交森林,地形復(fù)雜,森林高度為20～30 m,與試驗(yàn)一環(huán)境差異較大。

表3 數(shù)據(jù)采集信息

為便于驗(yàn)證分析,采用與試驗(yàn)一相同的反演策略進(jìn)行植被高度反演,G-M模型設(shè)計(jì)矩陣奇異值情況見表4。

表4 觀測方程系數(shù)矩陣奇異值

由表4可知,觀測方程設(shè)計(jì)矩陣存在嚴(yán)重病態(tài)性。圖5展示了本文方法確定正則化參數(shù)的過程。選取ε為0.000 5,即標(biāo)準(zhǔn)差變化量小于0.000 5時(shí),對模型參數(shù)估值的影響已可忽略。由圖5可知,在虛線處正則化參數(shù)為0.033時(shí),參數(shù)估值變化量與標(biāo)準(zhǔn)差變化量分別為0.002 4和0.001 3,可見模型參數(shù)估值變化量略小于兩倍的標(biāo)準(zhǔn)差變化量,即偏差增加量近似于標(biāo)準(zhǔn)差下降量。繼續(xù)增大正則化參數(shù)則不利于均方誤差的下降,因此本文方法確定的正則化參數(shù)為0.033。圖6給出了各方法的植被高參數(shù)反演結(jié)果。

圖6 PolInSAR穿透測量植被高參數(shù)反演結(jié)果Fig.6 Vegetation height inversion results of PolInSAR surveying

由圖6(a)可知,受觀測模型病態(tài)性影響,常規(guī)最小二乘估計(jì)方法已無法得到可靠的模型參數(shù)估值,部分參數(shù)估值嚴(yán)重失真。圖6(b)、(c)、(d)、(e)為采用正則化方法解算后的結(jié)果,對比圖6(f) LiDAR植被高結(jié)果可知,圖6(c)采用GCV法確定正則化參數(shù),其正則化處理未能有效地改善模型病態(tài)性,植被高參數(shù)反演結(jié)果與最小二乘估計(jì)相近。圖6(b)、(d)、(e)分別采用L曲線法、均方誤差最小法及本文方法確定正則化參數(shù),植被高反演結(jié)果有顯著改善,從色差上看,圖6(e)結(jié)果略優(yōu)于圖6(b)和圖6(d)。由此表明本文方法確定正則化參數(shù)時(shí)的正則化法模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果最優(yōu)。為了量化分析各方法參數(shù)估計(jì)質(zhì)量,依據(jù)LiDAR植被高結(jié)果,在圖中均勻選取樣地共1326塊,而后統(tǒng)計(jì)分析各方法植被高參數(shù)反演精度,具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖7所示。

圖7 PolInSAR穿透測量植被高參數(shù)反演誤差Fig.7 Vegetation height parameter inversion errors of PolInSAR

圖7(a)展示了依據(jù)LiDAR植被高結(jié)果所選取的樣地分布情況,1326塊樣地均勻分布于全圖區(qū)域。由圖7(b)與圖7(d)可見,最小二乘估計(jì)與GCV法正則化估計(jì)已無法給出可靠的參數(shù)估值,均方根誤差較大且相關(guān)系數(shù)較低。圖7(c)、(e)、(f)分別為L曲線法、均方誤差最小法及本文方法植被高正則化估計(jì)結(jié)果,三者相比于最小二乘估計(jì),植被高參數(shù)估值均方根誤差得到了顯著降低。其中,圖7(f)本文方法均方根誤差最小且相關(guān)系數(shù)R2最高,相較于L曲線法,植被高反演均方根誤差下降了15%,相較于均方誤差最小法,最高均方根誤差下降了12%。因此,采用本文方法確定正則化參數(shù)可一定程度上提高模型參數(shù)正則化估計(jì)精度。

4 結(jié) 論

病態(tài)問題廣泛存在于地球重力場反演,GNSS空間環(huán)境監(jiān)測、InSAR地表監(jiān)測等大地測量研究領(lǐng)域,嚴(yán)重影響了地球參數(shù)的反演精度與穩(wěn)定性。常用的正則化解算方法可有效減弱病態(tài)性影響,改善物理參數(shù)的反演精度。然而,決定正則化方法參數(shù)反演結(jié)果的正則化參數(shù),目前仍沒有穩(wěn)定最優(yōu)的確定方法,導(dǎo)致選擇不同正則化參數(shù)得到的模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。鑒于此,本文通過分析正則化參數(shù)變化引起的方差與偏差變化規(guī)律,提出了一種均方誤差相對比較方法,得出了以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1) 基于不同正則化參數(shù)下的模型參數(shù)真值保持不變特性,通過計(jì)算不同正則化參數(shù)下的方差與偏差相對變化量,可消去參數(shù)真值,從而消除模型參數(shù)真值無法獲取對偏差計(jì)算的影響。

(2) 利用不同正則化參數(shù)下標(biāo)準(zhǔn)差變化量與偏差變化量對模型參數(shù)估值的影響關(guān)系,可在模型參數(shù)估值變化量中去除標(biāo)準(zhǔn)差變化量影響,從而得到偏差相對變化量估值。

(3) 綜合標(biāo)準(zhǔn)差相對變化量與偏差相對變化量對均方根誤差的影響,可有效確定出均方誤差最大降幅下的正則化參數(shù)。

(4) 通過PolInSAR植被高測量試驗(yàn)對本文方法的有效性與實(shí)用性進(jìn)行了驗(yàn)證。試驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法可有效改善正則化法模型參數(shù)估計(jì)精度。在不同場景PolInSAR植被高測量試驗(yàn)中植被高反演精度均得到了提高,有效驗(yàn)證了本文方法在實(shí)際應(yīng)用中的合理性與可行性。