李世林，白國長

(鄭州大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，河南鄭州 450000)

0 前言

球形泵屬于回轉(zhuǎn)式容積泵，其轉(zhuǎn)子的形狀為球形，可實(shí)現(xiàn)超微型化、高可靠性的容積式動力機(jī)械，在壓縮機(jī)和液壓泵領(lǐng)域得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用?；瑝K式球形動力機(jī)械理論體系及知識產(chǎn)權(quán)體系，是由王陸一、李正平[1]原創(chuàng)發(fā)明的、具有顛覆性意義的動力機(jī)械原理的開拓性發(fā)明成果；利用此原理研制出來的球形微型液壓泵結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)行穩(wěn)定、變工況性能好，能實(shí)現(xiàn)超小體積、高壓力，可用于機(jī)器人、工程機(jī)械、機(jī)床工業(yè)、航空航天、VR裝備等產(chǎn)業(yè)。

但是由于滑塊式球形泵的旋轉(zhuǎn)盤做往復(fù)式運(yùn)動，在工作時會產(chǎn)生陀螺力矩，是球形泵機(jī)械振動的主要來源。而且，滑塊式球形泵的容積效率高，一周雙排量的特性，產(chǎn)生較大的流量脈動，必然會造成振動加劇，降低驅(qū)動的平順性，影響泵的性能和使用壽命，對滑塊式球形泵的振動進(jìn)行研究尤為必要。目前國內(nèi)外對球形泵的研究相對較少，西安交通大學(xué)的GUAN等[2]對一種偏置轉(zhuǎn)子式球形泵的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行了深入研究，結(jié)果顯示由于沒有往復(fù)運(yùn)動的部件，球形泵的噪聲只有傳統(tǒng)電磁泵的1/4。南洋理工大學(xué)的CHEN等[3]研究了柱塞泵的動態(tài)振動特性，發(fā)現(xiàn)機(jī)械振動幅值隨著轉(zhuǎn)速和扭矩的增大而增大。康考迪亞大學(xué)的BAHR等[4]建立了一個數(shù)學(xué)模型來研究恒功率調(diào)節(jié)斜盤軸向柱塞泵的振動特性，發(fā)現(xiàn)在橫向力矩的激勵作用下，比例閥芯以與力矩相同的頻率周期性振動。本文作者研究的滑塊式球形泵存在往復(fù)運(yùn)動件，采用雙泵抵消力矩的方法減小機(jī)械振動，并研究雙泵對流量脈動的影響。

1 球形轉(zhuǎn)子泵的振動機(jī)制

球形轉(zhuǎn)子泵的核心是轉(zhuǎn)子機(jī)構(gòu)，主軸上沿徑向有一條滑槽，旋轉(zhuǎn)盤下端的滑塊插入滑槽形成平面副，旋轉(zhuǎn)盤通過銷軸與活塞連接，活塞頂部的軸與缸蓋孔連接，活塞的軸相對于垂直方向有一個角度α，稱之為活塞角。主軸驅(qū)動旋轉(zhuǎn)盤，旋轉(zhuǎn)盤帶動活塞繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)。而旋轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動是兩種運(yùn)動組合的結(jié)果：一個是圍繞著主軸軸線的旋轉(zhuǎn)，另一個是相對滑槽面的往復(fù)擺動，造成機(jī)械振動。

缸蓋、缸體和球形轉(zhuǎn)子形成密封空間，當(dāng)主軸轉(zhuǎn)動時，容積腔體積變化，起到吸排液體的作用[2]。由于球形轉(zhuǎn)子運(yùn)動的非線性，流量并不是均勻的，產(chǎn)生流量脈動。

圖1 球形轉(zhuǎn)子泵

2 球形泵動力學(xué)分析

2.1 動力學(xué)建模

根據(jù)滑塊式球形泵的結(jié)構(gòu)和工作原理，其結(jié)構(gòu)簡化模型見圖2?；钊@軸線2旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動可分解為兩種：(1)繞旋轉(zhuǎn)軸1做角速度為ω的勻速轉(zhuǎn)動，其為絕對運(yùn)動；(2)滑塊在滑槽平面以點(diǎn)O為圓心做往復(fù)鐘擺運(yùn)動，軌跡為A″-A1-A′，其為相對運(yùn)動。建立兩個原點(diǎn)都位于球心點(diǎn)O的空間直角坐標(biāo)系xyz和x′y′z′，x′y′z′坐標(biāo)系是xyz坐標(biāo)系繞x軸旋轉(zhuǎn)角度α得到[2，5]。

A是旋轉(zhuǎn)盤滑塊中心，B是銷軸軸線的外端點(diǎn)，銷軸半徑r，且OA=OB=R，R是球形轉(zhuǎn)子的半徑。假設(shè)滑塊中心在z軸上時為球形泵的參考起始狀態(tài)C-A1-B1-D，驅(qū)動主軸從C-O′-A1轉(zhuǎn)到C-O″-A，在平面xoy上的角位移記為θ，銷軸從O-B1旋轉(zhuǎn)到O-B，在平面x′oy′上角位移記為φ。OB與z軸夾角為σ1，OA與z軸夾角為旋轉(zhuǎn)盤擺角σ2。

圖2 球形轉(zhuǎn)子泵簡化模型

在xyz坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的位置可以表示為

(1)

點(diǎn)B在x′y′z′坐標(biāo)系的位置可以表示為

(2)

將式(2)通過坐標(biāo)變換方法用xyz坐標(biāo)系表示為

(3)

同時zB可以用σ1表示為

zB=-Rcosσ1

(4)

聯(lián)合求解式(3)和式(4)可以得到：

σ1=arccos(sinφsinα)

(5)

又因?yàn)镺B與OA呈90°，所以σ1+σ2=90°，解得擺角σ2為

(6)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)主軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)時，活塞也將以角速度ω1運(yùn)轉(zhuǎn)，且ω1的大小會隨著旋轉(zhuǎn)主軸的轉(zhuǎn)角θ的改變而改變[6]，則有：

(7)

將上式(7)對時間t進(jìn)行求導(dǎo)，且dθ/dt=ω，可以得到活塞的角速度ω1：

(8)

對式(8)的角速度ω1再次求導(dǎo)就是活塞的角加速度ε1：

(9)

將式(7)代入式(6)中，并對σ2關(guān)于時間t求導(dǎo)可以獲取滑塊擺角的角速度ω2和角加速度ε2：

ω2=

(10)

(11)

2.2 轉(zhuǎn)子力矩分析

2.2.1 活塞的慣性力偶矩

周期性變化的角速度ε1的存在，使得活塞需要承受相應(yīng)的慣性力偶矩M2的作用，力矩方向沿活塞軸2，則根據(jù)活塞的運(yùn)動特性，活塞的慣性力偶矩M2[7]可以表示為

(12)

式中：J2是活塞對轉(zhuǎn)軸2的轉(zhuǎn)動慣量。

2.2.2 旋轉(zhuǎn)盤陀螺效應(yīng)分析

當(dāng)高速轉(zhuǎn)動部件的轉(zhuǎn)動軸在空間中改變方位時，轉(zhuǎn)動部件必對約束部件作用一個附加力偶，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這種現(xiàn)象稱為陀螺效應(yīng)，附加力偶的矩稱為陀螺力矩[8-9]。由上一節(jié)的分析可知，旋轉(zhuǎn)盤的運(yùn)動存在陀螺力矩，建立研究其陀螺力矩的動力學(xué)模型，如圖3所示。

圖3 旋轉(zhuǎn)盤陀螺效應(yīng)動力學(xué)模型

旋轉(zhuǎn)盤滑塊的點(diǎn)A繞著其旋轉(zhuǎn)軸3，以角速度ω2做自轉(zhuǎn)運(yùn)動，點(diǎn)A的軌跡為圖3圓弧4上的a0-a1段；旋轉(zhuǎn)軸3繞旋轉(zhuǎn)軸1以角速度ω做勻轉(zhuǎn)速運(yùn)動，此為旋轉(zhuǎn)軸3的公轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸3在過原點(diǎn)O且與軸1垂直的平面5上。旋轉(zhuǎn)盤在運(yùn)動過程中有圖3所示的陀螺力矩M1產(chǎn)生，與軸線1和軸線3垂直。

根據(jù)陀螺力矩的計算公式推導(dǎo)出該球形泵的陀螺力矩M1：

M1=J1×ω×ω2

(13)

式中：J1是旋轉(zhuǎn)盤對旋轉(zhuǎn)軸3的轉(zhuǎn)動慣量。

研究式(13)可知，當(dāng)J1為定值時，旋轉(zhuǎn)盤的陀螺力矩M1由旋轉(zhuǎn)盤滑塊的擺角速度ω2和ω決定，而根據(jù)式(10)，ω2的大小跟ω有關(guān)，所以陀螺力矩M1的大小取決于主軸轉(zhuǎn)速ω的值。將ω和ω2代入，得到陀螺力矩：

M1=J1·

(14)

2.2.3 空間力矩的合成

利用解析法將陀螺力矩M1和慣性轉(zhuǎn)矩M2在xyz坐標(biāo)系上分解[7]：

(15)

(16)

根據(jù)合力矢投影定理：

(17)

則可以得到合力偶矩矢的大小：

(18)

a、b、c分別是合力矩矢M與x、y、z軸的正向夾角，則合力偶矩矢的方向：

(19)

力矩分布曲線如圖4所示，活塞慣性轉(zhuǎn)矩為正弦周期分布。在轉(zhuǎn)角θ為90°和270°時的陀螺力矩M1是最小值為0；在0°和180°時達(dá)到最大值，且M1(0°)=M1(180°)。合成力矩M基本上與陀螺力矩M1曲線重合，說明球形泵整體所受力矩的大小主要取決于旋轉(zhuǎn)盤陀螺力矩M1的值。

圖4 力矩曲線

3 球形泵容積

根據(jù)主軸轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)盤偏角、活塞轉(zhuǎn)角3個參數(shù)，可推導(dǎo)出工作腔(容積腔)張角，進(jìn)而求得工作腔容積的變化規(guī)律[10-12]。該模型工作腔結(jié)構(gòu)比較規(guī)范，工作腔容積與夾角成正比，可以直接通過夾角計算出體積，如式(20)所示：

V=Kβ

(20)

式中：V為工作腔容積，mm3；K為轉(zhuǎn)換系數(shù)，mm3/rad ；β為工作腔張角，rad。

K代表工作腔內(nèi)每單位角度內(nèi)的容積，表征了工作腔的容納能力，大小與球形泵的結(jié)構(gòu)有關(guān)，K可以確定為

K=π/270(R2-r2)3/2

(21)

由空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動、動力分析得工作腔張角：

(22)

4 減振措施

在球形泵工作過程中，慣性力矩和流量脈動是振動產(chǎn)生的主要源頭?？梢酝ㄟ^減小主軸轉(zhuǎn)速ω和活塞角α，縮小球形轉(zhuǎn)子半徑R以降低轉(zhuǎn)動慣量，但會影響泵的容積率，增大加工難度。作者采用成對球形轉(zhuǎn)子泵對稱安裝的措施，來抵消力矩，并研究對流量脈動的影響。轉(zhuǎn)子陀螺力矩M1比活塞慣性轉(zhuǎn)矩M2大得多，優(yōu)先減小陀螺力矩。

如圖5所示，兩泵對稱安裝，分別建立直角坐標(biāo)系x1y1z1和x2y2z2。兩陀螺力矩矢量方向相反，且大小相等，全部抵消。兩慣性轉(zhuǎn)矩大小相同，分別沿O1D1和O2D2方向。經(jīng)空間矢量分解，合成整體力矩。

(23)

圖5 雙泵安裝示意

4.1 ADAMS振動仿真分析

球形轉(zhuǎn)子泵的力矩和運(yùn)動都是周期性的，存在周期變化的激振力，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生受迫振動。ADAMS的Vibration插件可以分析系統(tǒng)在頻域的強(qiáng)迫振動響應(yīng)特性，通過采用虛擬激振器來替代物理實(shí)驗(yàn)裝置。同時，也可以利用ADAMS/View進(jìn)行時域的振動分析[13]。設(shè)置激振力是正弦掃頻信號(文中的轉(zhuǎn)速n=6 000 r/min，頻率f=n/60=100 Hz，周期T=1/f=0.01 s)，然后運(yùn)行分析[13-14]。經(jīng)過后處理，系統(tǒng)主軸質(zhì)心點(diǎn)處的位移、加速度的時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)如圖6所示。

圖6為振動的幅頻和相頻曲線，3個波動區(qū)域即3階固有頻率[12]，工作頻率100 Hz位于2階頻率和3階頻率之間，不會因?yàn)楣舱駧碇卮髶p害，且振動幅值響應(yīng)很小，保證了系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。

圖6 頻域響應(yīng)

圖7(a)、(b)分別為單泵和雙泵振動位移的時域響應(yīng)，周期為0.01 s的正弦曲線。單泵時的振動位移幅值為0.91 mm，雙泵時的振動位移幅值為0.000 7 mm，機(jī)械振動大幅度降低。

圖7 振動位移響應(yīng)曲線

4.2 流量曲線分析

對容積V用插值法取得工作室容積的導(dǎo)數(shù)，即球形泵的流量變化，可以用來分析流量波動的大小[12]。單泵和雙泵合成時的流量曲線如圖8所示。

流量脈動的大小可以用波動率表示，波動率δ=(Q最大流量-Q平均流量)/Q平均流量×100%。由圖8可以得到單泵的流量波動率約45%，相比之下，雙泵組合的波動率只有約 18%，相比降低了60%。

圖8 流量波動曲線

通過仿真分析，對比單泵和雙泵的機(jī)械振動和流量脈動，證明了雙泵對機(jī)械振動和流量脈動的抑制成效顯著。實(shí)際工程項(xiàng)目中的多泵采用這種方式，可以很大程度上減小系統(tǒng)振動，提高工作的穩(wěn)定性。

5 結(jié)論

振動會對球形泵造成損傷，并且?guī)碓肼?，因此研究泵的機(jī)械振動和流量脈動是必須的。對球形泵進(jìn)行動力學(xué)建模，求解旋轉(zhuǎn)盤和活塞的角速度和角加速度，得到活塞的慣性力矩和旋轉(zhuǎn)盤的陀螺力矩。將球形轉(zhuǎn)子的力矩進(jìn)行合成分析可知，球形泵所受慣性力矩的大小主要取決于旋轉(zhuǎn)盤的陀螺力矩。本文作者在不改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的前提下，采用多泵減振的方案，抵消力矩和流量脈動。通過ADAMS對球形轉(zhuǎn)子泵進(jìn)行振動仿真，頻域曲線證明了球形泵在激振條件下受迫振動的穩(wěn)定性。建立球形泵的容積腔變化公式，插值法取得容積變化曲線的導(dǎo)數(shù)即球形泵流量，并使用MATLAB生成單泵和雙泵的流量曲線。對比單泵和雙泵的機(jī)械振動位移和流量波動率，雙泵狀態(tài)的振動位移幅值和流量波動率皆大幅度減小。綜上結(jié)果分析，采用多泵安裝既抵消了大部分力矩，又減小了流量脈動，增加球形泵的工作壽命和平順性。