婁光路,隨歲寒,2*,孟 華

(1.商丘工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,河南 商丘 476000;2.蘇州聚悅信息科技有限公司,江蘇 蘇州 215100)

功能梯度材料是一種特殊的多相復(fù)合材料,其體積分?jǐn)?shù)在厚度方向上連續(xù)變化,因而具有優(yōu)越的表面性能和機(jī)械性能.研究表明功能梯度材料作為涂層和界面區(qū)材料,可用于改善接觸性能[1-2].功能梯度材料在結(jié)構(gòu)上因其良好的可設(shè)計性,在功能梯度梁和桿等應(yīng)用領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注[3-5].其中,功能梯度納米材料在結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用也日益廣泛,Yao等[4]研究了功能梯度納米梁的自由振動問題,Jin等[5]分析了旋轉(zhuǎn)功能梯度壓電納米桿的動力學(xué)特性.

同時,板作為經(jīng)典的二維結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用更加廣泛,因此研究板類結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能十分必要.近年來有部分學(xué)者研究了圓形功能梯度板的動力問題[6-7],研究圓板通常基于極坐標(biāo)建立系統(tǒng)控制方程.更多文獻(xiàn)是在笛卡爾坐標(biāo)系中研究功能梯度方板的力學(xué)特性[8-12],這些文獻(xiàn)涉及板的自由振動[8-10]、熱彈性阻尼[11]及軸向運動條件下的振動特性[12].現(xiàn)有研究較少關(guān)注到內(nèi)部含孔這一條件,事實上,在工程中為避免結(jié)構(gòu)相互干涉或者用于加強(qiáng)固定等目的常常需要在薄板內(nèi)部開孔,因此需要對帶孔板建立相應(yīng)的力學(xué)模型,進(jìn)而分析其特性.在不包含孔的條件下,板的自由振動問題通?？梢圆捎梦⒎智蠓e法[7]和有限元法[8]來求解.板內(nèi)部含孔后,微分求積法將不能直接用于求解相關(guān)問題.由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為若干單元,分別對各個單元建立單元矩陣,并組裝成整體矩陣,進(jìn)行問題求解.因此有限元法可用于求解含孔功能梯度板的自由振動問題.

假設(shè)材料由陶瓷和鋼做成,材料特性沿著板的厚度方向按照冪指數(shù)形式連續(xù)變化.基于Kirchhoff薄板理論,結(jié)合虛功原理建立含孔功能梯度板的動力學(xué)有限元方程,在四邊固支的邊界條件下,求解得到系統(tǒng)前兩階固有頻率,在純鋼板和純陶瓷板條件下對比本文解和ANSYS解, 證明所建模型的有效性.

1 控制方程

一個長a寬b厚h的功能梯度矩形板結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 含孔功能梯度板與單元劃分結(jié)構(gòu)

孔的長寬分別為c和d,孔距離板邊界的距離分別為e和f.功能梯度板由陶瓷和鋼復(fù)合而成,上表面為陶瓷,下表面為鋼,其材料特性符合冪指數(shù)形式.功能梯度板的彈性模量E和密度ρ可分別表示為:

(1)

其中,k(k≥0)表示梯度指數(shù),下標(biāo)中的c和s分別代表陶瓷和鋼.

采用3節(jié)點三角形單元,每個節(jié)點包含橫向撓度以及x和y兩個方向的轉(zhuǎn)角,單元的廣義坐標(biāo)為:

(2)

采用廣義坐標(biāo)可將單元的橫向位移可表達(dá)為:

w=N0g0smey,

(3)

這里N代表形函數(shù).

根據(jù)Kirchhoff薄板理論,功能梯度板的位移場為:

(4)

其中u、v分別表示板上任意一點在x和y方向的位移,w表示板中面上的橫向位移.慣性力所做虛功為:

(5)

功能梯度板的幾何方程為:

(6)

根據(jù)式(3)將幾何方程整理成矩陣形式為:

ε=[B]yq00mc0,

(7)

功能梯度板的物理方程為:

(8)

其中μ表示功能梯度板的泊松比,通常取值為0.3.

可以將式(8)簡化為:

σ=[D]ε.

(9)

根據(jù)式(7)與式(9),功能梯度板的虛應(yīng)變能表達(dá)式為:

(10)

將式(5)和式(10)代入如下虛功原理表達(dá)式結(jié)果為:

δU=δW.

(11)

可以得到含孔功能梯度板的有限元平衡方程為:

(12)

其中

2 數(shù)值算例

式(12)結(jié)合四邊固支邊界條件可得前兩階固有頻率,為進(jìn)行數(shù)值分析,功能梯度板的材料性能參數(shù)與幾何參數(shù)如表1所列.

表1 物理參數(shù)值

為證明本文所建立有限元模型的有效性,采用ANSYS軟件求解前兩階固有頻率以及對應(yīng)的模態(tài)函數(shù),純鋼板(n=+∞)的前兩階模態(tài)結(jié)構(gòu)如圖2所示,純陶瓷板(n=0)的前兩階模態(tài)如圖3所示.在ANSYS中采用SHELL281單元,該單元為四邊形單元,包含4個角點及4個邊的中點共8個節(jié)點,每個節(jié)點有6個自由度.本文采用圖1所示的單元劃分,所得解與ANSYS解的對比結(jié)果如表2所列,對于純鋼板,本文解誤差為0.17%,純陶瓷板誤差為2.06%,可見本文模型在單元數(shù)量很少的情況下能夠得到比較精確的結(jié)果.

表2 前兩階固有頻率對比

圖2 純鋼板前兩階振動模態(tài)

圖3 純陶瓷板前兩階振動模態(tài)

功能梯度材料的最大優(yōu)勢是材料特性可設(shè)計,體現(xiàn)可設(shè)計的參數(shù)為梯度指數(shù),因此有必要探討梯度指數(shù)對自由振動的影響.由于工程中僅關(guān)注低階固有振動,前兩階固有頻率隨梯度指數(shù)的變化情況如圖4所示.由圖4可見梯度指數(shù)增大過程中,前兩階固有頻率變化有類似規(guī)律,即固有頻率先是大幅降低,而后緩慢降低.由式(1)可知,梯度指數(shù)變化使得材料的彈性模量和密度相應(yīng)變化.梯度指數(shù)n=0表示板為純陶瓷;n=+∞表示板為純鋼.陶瓷彈性模量大、密度小;鋼的彈性模量小,密度大.因此陶瓷板的固有頻率最大,鋼板的固有頻率最小,且梯度指數(shù)越小,其變化對材料屬性的影響越大,從而對固有頻率的影響較大.根據(jù)圖4可以推斷,隨著梯度指數(shù)的進(jìn)一步增大,功能梯度板的前兩階固有頻率收斂于鋼板的前兩階頻率.

圖4 前兩階固有頻率與梯度指數(shù)關(guān)系

3 結(jié)論

應(yīng)用Kirchhoff薄板理論和有限元法研究了含孔功能梯度板的自由振動問題,四邊固支條件下通過與ANSYS軟件結(jié)果對比證明了本文模型的正確性,隨后重點分析了梯度指數(shù)對前兩階固有頻率的影響.結(jié)果證實,隨著梯度指數(shù)增大,前兩階固有頻率先急劇降低,而后緩慢降低,最終收斂于純鋼板的前兩階頻率.