許順龍

(福建省漳州市臺(tái)商投資區(qū)角美中學(xué),福建 漳州 363107)

1 試題分析

本題是一道導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合的綜合性問題,第(1)問是利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式恒成立,考查在三角函數(shù)背景下運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值、零點(diǎn)存在定理等知識(shí);第(2)問是以三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)交匯作為研究的主體,打破了常規(guī),考慮直接用數(shù)形結(jié)合方法很難解答出來(lái),進(jìn)而嘗試求導(dǎo),由于求導(dǎo)會(huì)出現(xiàn)含三角函數(shù)的表達(dá)式,使用常規(guī)方法處理后續(xù)問題變得困難.本題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的隱零點(diǎn)的掌握以及根據(jù)切線放縮、端點(diǎn)效應(yīng)等方式來(lái)解決問題的能力;對(duì)學(xué)生的抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等核心素養(yǎng)能力要求較高;考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想;體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性.

2 試題解析

所以f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增.

又由(1)知,對(duì)于唯一零點(diǎn)x0[2],g′(x0)=0,且當(dāng)x00,g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)0

孟導(dǎo)聽說這些值錢，心情好了不少。老賈則在一旁補(bǔ)充說新疆紅錢之所以叫紅錢，是因?yàn)殍T錢的材料是新疆自產(chǎn)的紅銅。如果紅錢背書滿文，則價(jià)值一般不低。除此之外，‘乾隆通寶’也有背書漢文的，因?yàn)閿?shù)量相對(duì)較少，所以價(jià)格也會(huì)相對(duì)高些。

即f′(x0)≤2.

(ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),

解法3 (1)同解法1、或解法2.

(ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),

令f1(x)=ex-x-1,則f1′(x)=ex-1.

當(dāng)x<0時(shí),f1′(x)<0,f1(x)單調(diào)遞減;

所以f1(x)≥f1(0)=0.

故ex≥x+1.

解法4 (1)同解法1、或解法2.

3 教學(xué)思考

3.1 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合試題的解題策略

近幾年的高考數(shù)學(xué)試題與質(zhì)檢考試題中,導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合的試題逐漸成為趨勢(shì),由于三角函數(shù)的特殊性質(zhì)(周期性、有界性、放縮法等),解題時(shí)不宜盲目求導(dǎo),而是采取構(gòu)造函數(shù)、分類討論等方法,最終找出解題有用的特征,再聯(lián)系三角恒等變換,并結(jié)合其他基本初等函數(shù)的性質(zhì)分析討論,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力起到不可估量的作用[4].

3.2 新高考背景下的課堂教學(xué)思考

通過這樣的好題,我們可以看出新高考對(duì)于學(xué)生的考查不僅僅局限于知識(shí)與技能,而是全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.試卷題目類型靈活,導(dǎo)數(shù)融入三角函數(shù),拓展了高考命題的范圍.這就需要教師突破各種局限,大膽迎接各種挑戰(zhàn),突破傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)題的框架,勇于創(chuàng)新,教會(huì)學(xué)生以“不變的”知識(shí)與技能去應(yīng)對(duì)“萬(wàn)變的”數(shù)學(xué)試題,培養(yǎng)學(xué)生未來(lái)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),適應(yīng)國(guó)家新高考選拔新型人才的要求.