林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué),廣東 佛山 528315)

每年都有不少的優(yōu)質(zhì)高考試題,這些試題是命題專家精心設(shè)計(jì)的杰作,凝聚了命題人的集體智慧,具有權(quán)威性、示范性與借鑒性.這當(dāng)中出現(xiàn)了很多立意深遠(yuǎn)、思路靈活的題目,值得我們?nèi)ヌ骄?

1 題目呈現(xiàn)

本題是2022年高考全國(guó)乙卷文理科的第23題,屬于選做題,是一道三元不等式的證明題.題目結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,知識(shí)方面主要考查不等式的基本性質(zhì),不等式的證明等;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證等方面的能力,試題的思維過(guò)程和證明過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的命題思想,較好地體現(xiàn)了不等式中的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

2 證法探究

2.1 問(wèn)題(1)的證明

證法1因?yàn)閍>0,b>0,c>0,則

由三元均值不等式,得

證法2 因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

由三元均值不等式,得

證法3因?yàn)閍>0,b>0,c>0,

由三元均值不等式,得

由冪平均不等式[1],得

從而證lna+lnb+lnc≤-2ln3.

即y=3x-1-ln3.

令g(x)=f(x)-y=lnx-(3x-1-ln3),

從而g(x)=f(x)-y≤0.

即f(x)=lnx≤y=3x-1-ln3.

從而證lna+lnb+lnc≤-2ln3.

所以f(x)是上凸函數(shù).

2.2 問(wèn)題(2)的證明

評(píng)注①試題的兩個(gè)問(wèn)題都可以利用均值不等式證明,均值不等式在證明不等式中應(yīng)用廣泛,也是高中數(shù)學(xué)的常見(jiàn)方法.②問(wèn)題(1)的證法4與證法5是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的一種重要且巧妙的方法,其關(guān)鍵是通過(guò)發(fā)掘待證不等式的結(jié)構(gòu)特征,合理變形,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),再通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、最值等性質(zhì)使不等式得以證明,證明過(guò)程常用導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的工具.

3 試題的命題背景與題根

3.1 試題的命題背景

Nesbitt不等式設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),則

①

因?yàn)閤>0,y>0,z>0,則

②

由不等式②,得

③

由不等式②,得

④

可見(jiàn),Nesbitt不等式正是2022年高考試題的命題背景.Nesbitt不等式形式優(yōu)美,內(nèi)涵極其豐富,由此能演繹出一系列的不等式,可謂花團(tuán)錦簇、精彩紛呈,因而經(jīng)典問(wèn)題也是高考真題的生長(zhǎng)點(diǎn).

3.2 試題的題根

(人教(B版)選修4-5“不等式選講”第43頁(yè)第7題)設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:

顯然,2022年考題的“題根”來(lái)源于教材的上述習(xí)題(即Nesbitt不等式),只是將習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?立足教材,選編教材的原題,生成教材的變題,是高考命題的一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí),這體現(xiàn)了高考命題的公平性和基礎(chǔ)性原則.所以教師要善于鉆研教材,用“慧眼”去發(fā)現(xiàn)有典型性、可拓展性的例習(xí)題,善于作解后反思,方法的歸類(lèi),規(guī)律的總結(jié)與技巧的揣摩,再進(jìn)一步對(duì)例習(xí)題進(jìn)行挖掘、拓展、引申,擴(kuò)大其輻射面,以此提高復(fù)習(xí)的效率.

4 試題的推廣

由均值不等式,得

(2)因?yàn)閍i>0,n≥3,由均值不等式,得

評(píng)注顯然在推廣試題中,當(dāng)n=3時(shí),就是高考題的情形.

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考慮,是知識(shí)、能力和思想方法的載體,是命題思想、命題理念的程序化展現(xiàn),具有典型性、示范性和權(quán)威性.高考試題在命制時(shí)充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個(gè)體差異,大多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一的,給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過(guò)方法的選擇、解題時(shí)間的長(zhǎng)短,甄別出考生能力的差異,達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.也說(shuō)明高考要突出考查知識(shí)主干,貼切教學(xué)實(shí)際,扎實(shí)基礎(chǔ),重視數(shù)學(xué)的基本能力與思想方法,所以要在平時(shí)的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識(shí)的儲(chǔ)備和方法的積累,才有可能縮短思維的長(zhǎng)度,達(dá)到事半功倍的效果.

高考試題除了具有測(cè)試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,對(duì)中學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向性,要了解高考動(dòng)向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑.因此要充分認(rèn)識(shí)高考題所蘊(yùn)含的價(jià)值,對(duì)典型高考題要深入挖掘,探求試題背后的思想方法,并注重一題多解,力求對(duì)所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通,從而實(shí)現(xiàn)高考題的教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.