盧恩良

(江西省九江市第三中學(xué),江西 九江 332000)

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題備受命題人青睞,其中以橢圓為載體的試題更是屢見不鮮.橢圓中有一類定點(diǎn)、定值問題,因所涉圖形酷似糊蝶,故稱“蝴蝶模型”.本文舉例說(shuō)明“蝴蝶模型”在定點(diǎn)、定值問題中的應(yīng)用.

1 定點(diǎn)問題

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

圖1 2020年全國(guó)Ⅰ卷理科20題

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),

整理,得

3x2y1-9y1=x1y2+3y2.

將x2=ty2+m,x1=ty1+m代入,得

(1)求a的值;

(2)設(shè)AF,BF的延長(zhǎng)線分別交橢圓于D,E兩點(diǎn),當(dāng)k變化時(shí),直線DE是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2 例2解析圖

評(píng)析本題破解關(guān)鍵有三點(diǎn).第一是敢于聯(lián)立直線AF與橢圓方程,不畏繁雜的運(yùn)算;第二是通過(guò)類比代換由點(diǎn)D坐標(biāo)得到點(diǎn)E坐標(biāo);第三是寫出直線DE方程,令y=0,朝著目標(biāo)大膽運(yùn)算下去.

變式題在例2模型的基礎(chǔ)上,將四邊形對(duì)角線所過(guò)定點(diǎn)由特殊的焦點(diǎn)變?yōu)橐话愕狞c(diǎn)N,邊AB不再過(guò)原點(diǎn)O而是一般的點(diǎn)M.下面對(duì)變式問題進(jìn)行解答.

通過(guò)以上兩個(gè)例題和一個(gè)變式題,我們感受了橢圓蝴蝶模型中的定點(diǎn)問題.通過(guò)進(jìn)一步研究,我們可以把橢圓蝴蝶模型中的定點(diǎn)問題作一般化推廣,得到以下兩個(gè)命題.

橢圓中的蝴蝶模型內(nèi)涵豐富,值得深入研究.它不僅涉及直線過(guò)定點(diǎn)問題,還涉及到與斜率有關(guān)的定值問題.下面通過(guò)兩個(gè)例題來(lái)發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律.

2 定值問題

圖3 例3解析圖

設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),

評(píng)析先猜后證是解決定點(diǎn)、定值問題的典型方法,體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的思維過(guò)程,有助于明確解題方向和目標(biāo).

(2)若M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)(異于A,B),連接MF1并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)N,連接MD,ND并分別延長(zhǎng)交C于點(diǎn)P,Q.設(shè)直線MN,PQ的斜率分別為k1,k2,試問是否存在常數(shù)λ使得k1+λk2=0?若存在,求出λ;若不存在,說(shuō)明理由.

下面主要對(duì)第(2)問進(jìn)行解答.

把例3和例4進(jìn)行一般化,我們可以得到下面兩個(gè)命題.

文中通過(guò)幾個(gè)典型例題介紹了橢圓中蝴蝶模型的定點(diǎn)、定值問題的處理辦法.仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn),該模型本質(zhì)上體現(xiàn)了橢圓內(nèi)接四邊形的一些性質(zhì)結(jié)論.文中四個(gè)命題將例題中的蝴蝶模型作了一般化的推廣,僅供同學(xué)們了解,教學(xué)重點(diǎn)依然是通過(guò)常規(guī)方法,訓(xùn)練運(yùn)算能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).