張矩銘

(龍泉師一中學 ,四川 成都 610100)

“雙新”背景下,新高考注重對數(shù)學本質的考查[1],而直線、圓和圓錐曲線的方程正是不同軌跡方程的具體體現(xiàn).

1 用直譯法求動點軌跡方程

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線

解析設AB=2a(a>0),以AB中點為坐標原點,以線段AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系,則A(-a,0),B(a,0).

結合題意可得(x+a)(x-a)+y2=1.

整理,得x2+y2=a2+1.

化簡,得點M的軌跡方程為

2 用定義法求動點軌跡方程

因為c=2,所以b2=a2-c2=6.

3 用相關點法求動點軌跡方程

例5在圓x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,點D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么?

即點P的軌跡方程為x2+y2=2.

4 用參數(shù)方程法求動點軌跡方程

(1)求α的取值范圍;

(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．

(2)由已知,直線l的參數(shù)方程為

所以點P的軌跡的參數(shù)方程是

(1)將C的極坐標方程化為直角坐標方程;

解析(1)曲線C的直角坐標方程為

故P的軌跡C1的參數(shù)方程為

故曲線C與C1沒有公共點.

5 在極坐標系中求動點軌跡方程

例10 在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程.

解析設點P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),點M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0),

因為|OM|·|OP|=16,

所以C2的極坐標方程為ρ=4cosθ(ρ>0).

所以C2的直角坐標方程為

(x-2)2+y2=4(x≠0).

以上就是五種關于求動點軌跡類型的梳理,只有理解了解題突破口,明確了最后答案的呈現(xiàn)形式,有計劃、有準備地按照縝密的邏輯推理,問題自然迎刃而解[2].

教師在日常教學中,應注重培養(yǎng)學生學習知識的系統(tǒng)性、完整性.引導學生經歷完整的研究過程,發(fā)現(xiàn)動點軌跡的本質,理解曲線的方程和方程的曲線之間的邏輯聯(lián)系.在恰當?shù)奈恢媒⒆鴺讼?將圖形特點和規(guī)律反應到代數(shù)式中,實現(xiàn)曲線和方程的統(tǒng)一,這正是解析幾何的魅力所在.同時,能夠在具體情景中培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).