盧 芳

(南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新一輪課程改革背景下,對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高標(biāo)準(zhǔn)的要求,不僅需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中傳授學(xué)科知識,還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想,掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法,促進(jìn)學(xué)生形成關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).在這種的教學(xué)要求之下,傳統(tǒng)的教學(xué)方式已經(jīng)難以滿足高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展需求,需要教師探索數(shù)學(xué)教學(xué)方法的優(yōu)化之路.“對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的內(nèi)容,在教學(xué)策略的優(yōu)化中教師可以通過類比學(xué)習(xí)、設(shè)計問題串、數(shù)形結(jié)合等途徑,幫助高中生突破數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難關(guān),提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

1 類比學(xué)習(xí),降低教學(xué)難度

數(shù)學(xué)知識之間或多或少都具有一定的聯(lián)系,且在學(xué)習(xí)方法上也會具有一定的通性.這些已經(jīng)存在的聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的有利因素,教師在教學(xué)過程中應(yīng)該努力讓學(xué)生感知到知識之間的相關(guān)性,通過類比學(xué)習(xí)的方法,來引導(dǎo)學(xué)生形成一種比較完整且有效的學(xué)習(xí)思維,這樣也能降低學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的難度,提高課堂教學(xué)效率.

2 設(shè)計問題串,進(jìn)行知識串聯(lián)

設(shè)計問題串這一教學(xué)方法有利于學(xué)生對知識的循序漸進(jìn)地吸收,讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下對知識由淺及深的進(jìn)行認(rèn)識,避免在學(xué)生對知識還不夠熟悉的情況下就跨難度層次去理解知識,這樣學(xué)生會產(chǎn)生畏難心理,對知識也無法有一個更加全面的認(rèn)識[1].同時教師在設(shè)計問題串時要注意問題的銜接與知識之間的聯(lián)系性.

3 數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能

對于涉及到圖像學(xué)習(xí)的知識時,教師要善于聯(lián)系圖像的使用讓學(xué)生在解決問題的過程中訓(xùn)練自身的數(shù)形結(jié)合能力,這既是培養(yǎng)學(xué)生對圖像使用的熟練性,讓學(xué)生能夠借用圖像的輔助來解決問題,同時又是對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高,讓學(xué)生能夠在解題工具的使用中得心應(yīng)手[2].

4 教案設(shè)計

接下來以高中數(shù)學(xué)人教A版必修一“對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)”為例,設(shè)計合理的教學(xué)步驟,體會教學(xué)方法在課堂教學(xué)中的重要性:

教材分析對數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)中較為重要的一類函數(shù),對學(xué)生以后的函數(shù)學(xué)習(xí)能夠起到極大的輔助作用.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)這一節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生在學(xué)習(xí)對數(shù)的概念以及對數(shù)的運算法則之后,能夠進(jìn)一步掌握對數(shù)函數(shù)的圖像、定義以及如何將這些定義性質(zhì)運用到實際問題的解決過程當(dāng)中.同時作為高中階段基本初等函數(shù)中的一類分支,對于對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí),教師也可以設(shè)計出一套適用于其它函數(shù)教學(xué)的教學(xué)方案,通過類比教學(xué)法來將函數(shù)板塊銜接,有利于學(xué)生對函數(shù)整體學(xué)習(xí)的把握.

教學(xué)目標(biāo)【知識與技能目標(biāo)】

(1)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)圖像與性質(zhì)之前要理解對數(shù)函數(shù)的定義,深刻認(rèn)識對數(shù)函數(shù)的本質(zhì);

(2)聯(lián)系前一章節(jié)學(xué)過的指數(shù)函數(shù)內(nèi)容,能夠通過對對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)回顧指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),熟悉這兩個函數(shù)在增長率上的差異,并能夠理解這兩個函數(shù)互為反函數(shù).

【過程與方法目標(biāo)】

(1)在對數(shù)函數(shù)問題進(jìn)行討論的過程中,學(xué)生能夠熟悉函數(shù)問題解答的思路,提高自身在函數(shù)問題學(xué)習(xí)上的學(xué)習(xí)素養(yǎng);

(2)針對問題思考時強(qiáng)化學(xué)生由特殊問題轉(zhuǎn)到一般問題的學(xué)習(xí)思想,充分訓(xùn)練學(xué)生在思考問題時的轉(zhuǎn)化和化歸思想.

【情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)】

(1)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)知識的過程中能夠感受到對數(shù)函數(shù)的魅力,體會到函數(shù)在我們生活中的重要性;

(2)通過感受對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等不同函數(shù)在增長率上的差異體會函數(shù)的多元性.

教學(xué)重難點教學(xué)重點是理解對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì),并能夠?qū)⑵溥\用到實際問題當(dāng)中;教學(xué)難點是讓學(xué)生理解將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來進(jìn)行類比學(xué)習(xí),并理解對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)的關(guān)系.

教學(xué)過程【問題引入,理解定義】

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的圖形以及性質(zhì)之前,教師可以設(shè)計一系列的問題串讓學(xué)生逐步進(jìn)入到對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)情境中來.值得注意的是,對數(shù)函數(shù)前一節(jié)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過關(guān)于指數(shù)函數(shù)的知識,教師應(yīng)該借用學(xué)生對指數(shù)函數(shù)知識的熟悉性,將對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的知識進(jìn)行聯(lián)系,通過對以往知識的掌握來熟悉新的知識.

問題1什么是指數(shù)函數(shù)?指數(shù)函數(shù)在圖像上有什么特點,具有什么樣的性質(zhì)?

結(jié)論1一般來說,形如y=ax的函數(shù)為指數(shù)函數(shù),其定義域為R,值域為(0,+∞);它在圖像上會經(jīng)過y軸的(0,1)點,即當(dāng)自變量x為0時,函數(shù)的值為1;指數(shù)函數(shù)的增減性質(zhì)取決于a的值,當(dāng)a大于1時,指數(shù)函數(shù)在整個定義域上都是增函數(shù);當(dāng)a大于0小于1時,它在定義域上為減函數(shù).

問題2 指數(shù)函數(shù)是函數(shù)的一個分支,那么函數(shù)的本質(zhì)和意義又是什么?

結(jié)論2函數(shù)在一定意義上就是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系,即在一個集合中取一個數(shù),那么在另一個集合中也能找到一個數(shù)與之相對應(yīng),與之對應(yīng)的數(shù)也是唯一的.那么,對于這個對應(yīng)關(guān)系以及這兩個集合,我們就可以用函數(shù)、定義域以及值域來定義.

問題3指數(shù)函數(shù)的形式是y=ax,此時y是關(guān)于x的函數(shù),那么反過來,x能成為y的函數(shù)嗎?

結(jié)論3通過對圖像的分析可知,指數(shù)函數(shù)中每一個x都有一個唯一y值與之相對應(yīng),每一個y值也有唯一的x值相對應(yīng),那么x與y之間的對應(yīng)關(guān)系不只有y=ax,還有x=logay.在通常的函數(shù)中,我們將x作為比變量,y作為函數(shù)值,那么這個形式也可以變?yōu)閥=logax,這就是所謂的對數(shù)函數(shù).

設(shè)計意圖:通過學(xué)生學(xué)過的指數(shù)函數(shù)定義與圖像性質(zhì),讓學(xué)生以類比反推的形式理解對數(shù)函數(shù),并掌握對數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì).這樣有利于加深學(xué)生對于函數(shù)本身定義的理解,同時也有助于學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)形成一個系統(tǒng)完整的思維,這樣學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中也能夠以此類推,掌握到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的本質(zhì).

【探究差異,發(fā)現(xiàn)性質(zhì)】對數(shù)函數(shù)的計算有點復(fù)雜,高中階段只需要學(xué)生記住幾個基礎(chǔ)對數(shù)函數(shù)的值即可,但是學(xué)生仍然應(yīng)該掌握關(guān)于對數(shù)函數(shù)大小的比較,通過比較大小得出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).教師可以設(shè)計對數(shù)大小的比較,比如log0.54與log0.58的大小比較;log24和log28的大小比較;除了查表、計算器等解答方法,學(xué)生是否還能找到其它方法來解決?

【圖像法】針對上述問題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用繪制對數(shù)函數(shù)的圖像來進(jìn)行解答.在解決問題的過程中,學(xué)生應(yīng)該考慮到第一組對數(shù)和第二組對數(shù)的a值是相同的,但是第一組的a值小于1,第二組的a值大于1,因此教師可以先引導(dǎo)學(xué)生將a取不同值是的對數(shù)函數(shù)圖像畫出來,然后聯(lián)系圖形來比較大小:

圖1 對數(shù)函數(shù)

由圖像可知,當(dāng)a大于0小于1時,對數(shù)函數(shù)在整個定義域內(nèi)為減函數(shù),也就是說這個條件下x的值越大,y的值越小;而當(dāng)a大于1時,情況恰恰相反,因此對于上述兩組對數(shù)大小的比較,其結(jié)果是:log0.54>log0.58;log24

設(shè)計意圖:這一環(huán)節(jié)利用對數(shù)大小的比較來引導(dǎo)學(xué)生探究解決問題的方法,通過圖像法的應(yīng)用不但讓學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的圖像有了一個比較基本的認(rèn)識,同時還訓(xùn)練了學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.且在這個過程中,學(xué)生會思考不同的a值對對數(shù)函數(shù)值的影響,教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考指數(shù)函數(shù)a值不同時不同自變量對應(yīng)的函數(shù)值大小,讓學(xué)生以類似的方法去劃分a值,探究a值不同時對數(shù)函數(shù)值的大小.

【鞏固知識,靈活應(yīng)用】在學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的圖像以及性質(zhì)有了一定的了解之后,教師要趁熱打鐵,通過一系列的實際問題來鞏固學(xué)生對這些性質(zhì)的掌握程度.在設(shè)計問題時,教師要盡可能考慮到不同的性質(zhì),比如對數(shù)函數(shù)的判斷題,這一類題型可以考查學(xué)生對于對數(shù)函數(shù)公式以及基本定義的掌握;再比如采用x值不同、a值也不同的幾組對數(shù)讓學(xué)生來比較大小,考驗學(xué)生是否能夠通過不同a值對數(shù)之間的轉(zhuǎn)化,將其轉(zhuǎn)化為a值相同的情況下再來比較大小的能力,或者也可以讓學(xué)生引用圖像法給出一個大致的值域區(qū)間,通過比較區(qū)間的大小來進(jìn)行對數(shù)值的比較.

設(shè)計意圖:這一環(huán)節(jié)主要是針對學(xué)生所學(xué)知識的考查,讓學(xué)生能夠在不同的題型當(dāng)中體會到其中暗含的對數(shù)性質(zhì)[3].這樣學(xué)生不僅可以熟悉題型,積累自己的解題經(jīng)驗,還能夠?qū)⒆陨韺π再|(zhì)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為實際的解題能力,提高自身的數(shù)學(xué)技能.

總的來說,如何把握基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)并運用這些性質(zhì)解決復(fù)合函數(shù)問題作為學(xué)生在高中階段應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)能力,教師必須在實際教學(xué)環(huán)境中抓住各個知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系,不斷優(yōu)化課堂,以便尋求到更適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方案和思路.