趙繼辰

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院 北京 100044)

我國(guó)的石拱橋具有悠久的歷史,體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧.新版普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)在學(xué)科核心素養(yǎng)模塊中提出了科學(xué)態(tài)度與責(zé)任,在認(rèn)識(shí)科學(xué)、技術(shù)、社會(huì)、環(huán)境關(guān)系的基礎(chǔ)上,逐漸形成探索自然的內(nèi)在動(dòng)力、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真和持之以恒的科學(xué)態(tài)度,以及保護(hù)環(huán)境的責(zé)任感[1].而對(duì)石拱橋模型的靜力學(xué)原理分析,正可詮釋科學(xué)本質(zhì)、科學(xué)態(tài)度、社會(huì)責(zé)任等要素.

1 試題分析

【題目】(2022年高考海南卷物理第8題)我國(guó)的石橋世界聞名,如圖1所示,某橋由六塊形狀完全相同的石塊組成,其中石塊1、6固定,2、5質(zhì)量相同為m,3、4質(zhì)量相同為m′,不計(jì)石塊間的摩擦,則m∶m′為( )

圖1 石拱橋示意圖

解析：根據(jù)圖2所示石塊3的受力分析可知

圖2 石塊3的受力分析圖

N23cos 60°=m′g

根據(jù)圖3所示石塊2的受力分析可知

圖3 石塊2的受力分析圖

N32cos 60°=mgcos 60°

因此m∶m′=2,故選項(xiàng)D正確.

2 變式探討

變式1：如圖4所示,某橋由2N塊形狀完全相同的石塊組成,其中石塊2N-1、2N固定,石塊1、2的質(zhì)量均為m,石塊2n-1、2n(n=2,…,N)質(zhì)量相同,不計(jì)石塊間的摩擦,求石塊2n-1的質(zhì)量.

圖4 2N塊石塊組成的石拱橋

圖5 石塊1的受力分析圖

根據(jù)石塊1的受力分析(圖5)可知

N31sinθ=mg

根據(jù)石塊3的受力分析(圖6)可知

圖6 石塊3的受力分析圖

N13cosθ=N53cos 2θ

解得

根據(jù)石塊5的受力分析(圖7)可知

圖7 石塊5的受力分析圖

N35cos 2θ=N75cos 3θ

解得

對(duì)比石塊5和石塊3的受力分析情況,我們發(fā)現(xiàn)

N75cos 3θ=N35cos 2θ=N13cosθ

由此可以推斷出石塊2n-1的受力情況

N(2n+1)(2n-1)cosnθ=N13cosθ

N(2n-3)(2n-1)sinθ=

解得

3 關(guān)聯(lián)題型

如圖8所示,石拱橋有9塊完全相同的對(duì)稱(chēng)楔形石塊組成,每塊質(zhì)量都為m,重力加速度為g,若接觸面間的摩擦力忽略不計(jì),則石塊4對(duì)石塊3的壓力的大小為( )

圖8 9塊石塊組成的石拱橋

解析：在共點(diǎn)力平衡題型中,當(dāng)題目中有多個(gè)研究對(duì)象且所要求解的問(wèn)題并不涉及所有物體時(shí)要考慮使用整體法來(lái)求解.本題中要求解石塊4對(duì)石塊3的壓力大小,那么就可以將石塊4、5、6看成一個(gè)大石塊,石塊1、2、3以及石塊7、8、9也分別看成一個(gè)大石塊,這樣就將9塊質(zhì)量都為m的小石塊變?yōu)?塊質(zhì)量都為3m的大石塊進(jìn)行分析.受力分析如圖9所示.

圖9 石塊4、5、6的整體受力分析圖

根據(jù)大石塊4、5、6的受力分析(圖9)可知

2N34sin30°=3mg

本題構(gòu)思巧妙,但存在科學(xué)性錯(cuò)誤.石拱橋模型在摩擦力忽略不計(jì)的情況下,各石塊的質(zhì)量不會(huì)全部相同,否則無(wú)法保持平衡[2].我們不妨采用隔離法對(duì)石塊5和4分別進(jìn)行受力分析.

根據(jù)石塊5的受力分析(圖10)可知

圖10 石塊5的受力分析圖

2N45sin 10°=mg

根據(jù)石塊4的受力分析(圖11)可知,在垂直于石塊3、4之間壓力N34的方向上,N54sin 20°>mgsin 60°,因此石塊4無(wú)法保持平衡.

圖11 石塊4的受力分析圖

要想使各石塊保持平衡,那么它們的質(zhì)量須遵從一定的關(guān)系,我們通過(guò)下道例題進(jìn)行具體分析.

變式2：如圖12所示,某橋由2N+1塊形狀完全相同的石塊組成,其中石塊2N+1、2N固定,石塊2n+1、2n(n=1,2,…,N)質(zhì)量相同,石塊1的質(zhì)量為m,不計(jì)石塊間的摩擦,求石塊2n+1的質(zhì)量.

圖12 由2N+1塊石塊組成的石橋

圖13 石塊1的受力分析圖

根據(jù)石塊1的受力分析(圖13)可知

2N31sinθ=mg

根據(jù)石塊3的受力分析(圖14)可知

圖14 石塊3的受力分析圖

N13cosθ=N53cos 3θ

解得

根據(jù)石塊5的受力分析(圖15)可知

圖15 石塊5的受力分析圖

N35cos 3θ=N75cos 5θ

解得

對(duì)比石塊5和石塊3的受力分析情況發(fā)現(xiàn)

N75cos 5θ=N35cos 3θ=N13cosθ

由此可以推斷出石塊2n+1的受力情況

N(2n+3)(2n+1)cos (2nθ+θ)=N13cosθ

N(2n-1)(2n+1)sin2θ=

m(2n+1)gcos (2nθ+θ)

解得

4 教學(xué)啟示

共點(diǎn)力平衡是高考物理力學(xué)題中的典型問(wèn)題,這其中三力平衡在考題中最為常見(jiàn)[3].解決此類(lèi)問(wèn)題一般分為三步:第一步對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,明確已知力和要求解的力;第二步根據(jù)幾何關(guān)系確定各力之間的夾角;第三步將已知力和要求解的力在垂直于無(wú)關(guān)力的方向進(jìn)行分解,然后列寫(xiě)平衡方程進(jìn)行求解.如遇多個(gè)研究對(duì)象,可采用整體法進(jìn)行求解.