鄧 欣 楊 益 鄢 然 李瀅瀅 黃欣琦 王 彪

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 重慶 400715)

1 引言

通過每層3個(gè)網(wǎng)球、頂部1個(gè)網(wǎng)球的方式來堆疊建造一座塔,研究這種塔的結(jié)構(gòu)限制和穩(wěn)定性.當(dāng)每層使用3個(gè)以上的球并且在頂層使用合適數(shù)量的球時(shí),情況如何變化?這個(gè)問題來源于2022年IYPT(國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽).

2019年5月23日格魯吉亞物理學(xué)家安德里亞在不使用任何膠帶、膠水和其他黏合劑的情況下,僅利用網(wǎng)球表面的摩擦力成功搭建了一座9層小塔,刊登于PhysicsWorld雜志上.

網(wǎng)球塔搭建結(jié)構(gòu)豐富多變,不同搭建結(jié)構(gòu)下,網(wǎng)球塔的受力情況、穩(wěn)定性和結(jié)構(gòu)限制都將發(fā)生變化.網(wǎng)球塔搭建背后的理論依據(jù)涉及摩擦學(xué)、靜力學(xué)、彈性力學(xué)等多個(gè)學(xué)類,該研究在工程、建筑方面有著廣泛的運(yùn)用,具有重要的研究?jī)r(jià)值.構(gòu)建其理論模型將有助于相關(guān)建筑結(jié)構(gòu)的研究.

2 3n+1網(wǎng)球塔結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的條件分析

根據(jù)受力情況的不同,將3n+1網(wǎng)球塔結(jié)構(gòu)整體分為3個(gè)部分,分別分析頂層球與次頂層球間的摩擦因數(shù)臨界值、遞推層之間的摩擦因數(shù)臨界值、球與地面的摩擦因數(shù)要求.

在此處設(shè)定網(wǎng)球塔搭建為理想情況,具體是指將網(wǎng)球看成剛性小球,并且按照順序致密排列,因此認(rèn)為同層球之間不存在作用.本文中網(wǎng)球塔的層數(shù)用n來表示(不包括最頂層的網(wǎng)球),從上到下數(shù)層數(shù),默認(rèn)頂層的網(wǎng)球?yàn)榈诹銓?

2.1 頂層次頂層球間摩擦因數(shù)的分析

2.1.1 角度分析

對(duì)于從頂部開始的3層球畫出俯視圖如圖1所示,其中G為頂層球球心位置,A、B、C分別為次頂層3個(gè)球的球心位置,D、E、F分別為次頂球下方一層球的3個(gè)球的球心,其中K為A網(wǎng)球和B網(wǎng)球的接觸點(diǎn).角度分析幾何示意圖如圖2所示.

圖1 網(wǎng)球塔幾何分析示意圖

圖2 角度分析幾何示意圖

假設(shè)θ角是該研究球的球心與上層球接觸點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角,根據(jù)幾何關(guān)系可以知道

2.1.2 受力分析

由于網(wǎng)球塔結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性,取次頂層中一個(gè)球進(jìn)行受力分析,如圖3所示.該球受到自身的重力G、頂層球擠壓的力N0以及頂層球的摩擦力f0,假設(shè)該球與頂層球的接觸點(diǎn)與球心的連線和豎直方向的夾角為θ;下層球與其接觸點(diǎn)為A點(diǎn),A點(diǎn)與球心連線與豎直方向的夾角為φ.

圖3 次頂層某一球受力分析圖

此時(shí)根據(jù)平衡條件有

N0dsin (θ+φ)+mgdsinφ=

f0[r+dcos (θ+φ)]

2.2 遞推層間摩擦因數(shù)的分析

2.2.1 角度分析

如圖4所示,假設(shè)φ角是該研究球的球心與上層兩球接觸點(diǎn)的連線中點(diǎn)與豎直方向的夾角,其中K為A網(wǎng)球和B網(wǎng)球的接觸點(diǎn).

圖4 角度分析示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系可以知道

2.2.2 受力分析

對(duì)于遞推層可以根據(jù)圖5所示的受力分析圖進(jìn)行問題簡(jiǎn)化.根據(jù)上下層的對(duì)稱關(guān)系,此時(shí)θ角的大小與φ角的大小相同.尋找通項(xiàng)公式(其中n表示當(dāng)前網(wǎng)球?qū)訑?shù),不包含最頂端的球,n∈N+,n>2).

圖5 遞推層某一球受力分析圖

圖5所顯示的是網(wǎng)球在豎直平面上的投影,B點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)軸(網(wǎng)球與下一層兩球接觸點(diǎn)的連線)的投影點(diǎn).為方便對(duì)單個(gè)球的情況進(jìn)行分析,我們?cè)O(shè)水平方向受到兩個(gè)球?qū)υ撉虻淖饔昧?Fny,同理豎直方向上的力為2Fnz,繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸,由力矩平衡方程可得

mgdsinφ+2Fnz·0=2Fny·2dcosφ

解得

再將Fny與Fnz分解在接觸點(diǎn)支持力N的方向,以及分解在摩擦力f的方向上,即對(duì)于這個(gè)平面,有

Nnl=Fnzcosφ-Fnysinφ

fnl=Fnzsinφ+Fnycosφ

為分析三維受力,可以作出等效力投影分析示意圖,如圖6所示,其中yn、yn+1是選取的坐標(biāo)軸,為兩球心連線的方向.對(duì)實(shí)際球心位置進(jìn)行分析,兩個(gè)坐標(biāo)軸間的夾角α為60°.

圖6 等效力投影分析示意圖

推薦理由:本書專門研究和論述戰(zhàn)略思維。戰(zhàn)略思維能力，就是高瞻遠(yuǎn)矚、統(tǒng)攬全局，善于把握事物發(fā)展總體趨勢(shì)和方向的能力。馬克思主義為我們正確認(rèn)識(shí)和妥善處理中國特色社會(huì)主義事業(yè)中諸多重大關(guān)系，樹立全局眼光、提高統(tǒng)籌能力提供了思想武器。

F(n+1)y=-cosαFny+sinαFnx

可以解得

如圖7所示,對(duì)第n層其中一個(gè)網(wǎng)球進(jìn)行受力分析,這個(gè)網(wǎng)球會(huì)受到4個(gè)網(wǎng)球的作用力.以該球球心為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.

圖7 中間層坐標(biāo)系示意圖

取球半徑為R,由致密結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系可得4個(gè)接觸點(diǎn)坐標(biāo)

選取原點(diǎn)為參考點(diǎn)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性,即同層球?qū)υ撉蛟谕较蛏系姆至Υ笮∠嗟?且支持力必沿兩球球心可將關(guān)于力的平衡和力矩的平衡的6個(gè)方程簡(jiǎn)化為以下3個(gè)獨(dú)立方程

∑Fy:f(n+1)y+f(n-1)y+N(n+1)y+N(n-1)y=0

∑Fz:2f(n+1)z+2f(n-1)z+

2N(n+1)z+2N(n-1)z=mg

其中f為摩擦力,N為支持力,下標(biāo)(n+1)表示下層球?qū)υ撉虻淖饔昧?下標(biāo)(n-1)為上層球?qū)υ撉虻淖饔昧?

由摩擦力與壓力方向正交,可得以下2個(gè)獨(dú)立方程

f(n+1)xN(n+1)x+f(n+1)yN(n+1)y+

f(n+1)zN(n+1)z=0

f(n-1)xN(n-1)x+f(n-1)yN(n-1)y+

f(n-1)zN(n-1)z=0

在x、z方向上整體受力有

又支持力必沿兩球球心連線,故

則下層球與該球之間的靜摩擦因數(shù)通過摩擦力與壓力作比得到

243[96n(3n+1)-9]·[1024(3n+1)2+

摩擦因數(shù)與層數(shù)關(guān)系如圖8所示.

圖8 摩擦因數(shù)與層數(shù)關(guān)系圖

2.3 底層球與地面間摩擦因數(shù)的分析

球與地面間摩擦受力分析如圖9、圖10所示.

圖9 地面摩擦受力分析示意圖(1)

圖10 地面摩擦受力分析示意圖(2)

以底層球與地面接觸點(diǎn)D為平衡點(diǎn),由力矩平衡方程可以得到

Fxl1=Fzl2

其中

可以解得

以底層球質(zhì)心Q為平衡點(diǎn),有

Fxl3+f1r=Fzl4

解得

由μ1N1≥f1,可以解得地面的摩擦因數(shù)

由此可以求出球與地面間的摩擦因數(shù)臨界值.

3 一層多球的摩擦因數(shù)條件

圖11 一層多球幾何分析示意圖(1)

圖12 一層多球幾何分析示意圖(2)

頂層和次頂層球間的受力關(guān)系如圖13所示.

圖13 次頂層球受力分析圖

由圖13分析可得滿足平衡條件

次頂層球繞接觸點(diǎn)連線的軸由力矩平衡可得

N0dsin (θ+φ)+mgdsinφ=

f[r+dcos (θ+φ)]

對(duì)于正四邊形,由圖14所示的幾何分析圖可以得出角度關(guān)系

圖14 一層4球幾何分析圖

代入計(jì)算可得此時(shí)頂層和次頂層間的摩擦因數(shù)應(yīng)該滿足條件

μ≥ 1.538 59

對(duì)于正五邊形,由圖15所示的幾何分析圖可以得出角度關(guān)系

圖15 一層5球幾何分析圖

代入計(jì)算可得此時(shí)頂層和次頂層間的摩擦因數(shù)應(yīng)該滿足條件μ≥2,由此可知,一層4球和一層5球的情況下,要想搭建成功需要的摩擦因數(shù)大于3n+1結(jié)構(gòu)所需的摩擦因數(shù).

4 總結(jié)

綜上所述,可以得到以下結(jié)論:

(1)mn+1結(jié)構(gòu)搭建的網(wǎng)球塔,越低的層級(jí)所需的摩擦因數(shù)越小,最高一層網(wǎng)球需要的靜摩擦因數(shù)最大.

(3)一層4球和一層5球的情況下,要想搭建成功需要的摩擦因數(shù)應(yīng)大于3n+1結(jié)構(gòu)所需的摩擦因數(shù).