尚振玉

(烏魯木齊市第二十三中學(xué) 新疆 烏魯木齊 830000)

1 “合成法”簡述

勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為

(1)

已知平行于某個(gè)平面的勻強(qiáng)電場中3個(gè)點(diǎn)的電勢,利用式(1)求出兩個(gè)不同方向上的分場強(qiáng),再對(duì)這兩個(gè)分場強(qiáng)進(jìn)行矢量合成即可求出勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度[1].

【例1】(2017年高考新課標(biāo)Ⅲ第21題改編)勻強(qiáng)電場的方向平行于xOy平面,平面內(nèi)a、b、c3點(diǎn)的位置如圖1所示,3點(diǎn)的電勢分別為10 V、17 V、26 V.試求該勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度.

圖1 例1題圖

如圖2所示,由式(1)可知,對(duì)c點(diǎn)有:沿ca方向的電場強(qiáng)度

圖2 c點(diǎn)場強(qiáng)分析

沿cb方向的電場強(qiáng)度

利用平行四邊形法則合成,勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度

2 發(fā)現(xiàn)問題

如圖3所示,同理可知,對(duì)a點(diǎn)有:沿ba方向的電場強(qiáng)度Eb a及ca方向的電場強(qiáng)度Ec a,利用平行四邊形法則合成,勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為E2.

圖3 a點(diǎn)場強(qiáng)分析

空間中的勻強(qiáng)電場是唯一的,顯然E1和E2彼此是矛盾的,此時(shí)就會(huì)有教師和學(xué)生產(chǎn)生這樣的想法,平行四邊形法則對(duì)a點(diǎn)失效了[2].文獻(xiàn)[3]認(rèn)為電場強(qiáng)度在同一個(gè)坐標(biāo)系只能分解為兩個(gè)互相垂直的分場強(qiáng),而不能像其他矢量一樣任意分解.為了能夠更好地解釋平行四邊形法則對(duì)a點(diǎn)失效的原因以及電場強(qiáng)度可否像其他矢量一樣任意分解,筆者通過類比的思想,以“關(guān)聯(lián)速度”為切入口探尋平行四邊形法則“失效”的原因[4].

3 問題辨析

【例2】圖4所示為在平靜海面上兩艘拖船A、B拖著駁船C運(yùn)動(dòng)的示意圖.A、B的速度分別沿著纜繩CA、CB方向,A、B、C不在一條直線上.由此可知C的速度方向在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ哪個(gè)區(qū)域?

圖4 例2題圖

船C的速度與兩根繩同時(shí)存在關(guān)聯(lián),對(duì)于這種多關(guān)聯(lián)問題,我們解決的方法是各關(guān)聯(lián)各的.由于纜繩不可伸長,船C沿著繩子靠向船A的同時(shí)還要繞船A轉(zhuǎn)動(dòng),因此C的速度在CA方向的投影與A的速度相等;同理可知船C沿著繩子靠向船B的同時(shí)還要繞船B轉(zhuǎn)動(dòng),因此C的速度在CB方向的投影與B的速度相等,所以船A的速度vA、船B的速度vB以及C船的速度vC三者之間并非合速度與分速度的關(guān)系,而是投影關(guān)系;故而在尋找vC的方向時(shí),若已知vA與vB,并非利用平行四邊形法則求解vC,應(yīng)通過投影關(guān)系求解vC.

解析：由投影關(guān)系可知,過vA作垂線PP′,過vB作垂線QQ′,則vC的末端在PP′和QQ′的交點(diǎn)處.因船A、B的速度大小未知,圖5所示為vA明顯大于vB時(shí)vC的方向.

圖5 vA明顯大于vB時(shí)的分析圖示

圖6所示為vA的大小接近vB的大小時(shí)vC的方向;圖7所示為vA明顯小于vB時(shí)vC的方向,所以例題2的答案是3個(gè)區(qū)域都有可能.

圖6 vA大小接近vB時(shí)的分析圖示

圖7 vA的大小明顯小于vB時(shí)的分析圖示

在勻強(qiáng)電場中使用式(1)求解電場強(qiáng)度時(shí),我們要注意公式對(duì)d的要求是:沿著電場強(qiáng)度方向的距離.在例1中勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)方向是未知的,那么由式(1)得出的場強(qiáng)Ec a、Eb a、Ec b與空間中的勻強(qiáng)電場E之間的關(guān)系就需要辨析清楚.

辨析1:矢量必滿足平行四邊形法則,電場強(qiáng)度是矢量,所以可將電場強(qiáng)度沿著任意兩個(gè)方向進(jìn)行分解,如果兩個(gè)分量的方向是確定的,那么這兩個(gè)分量的大小也是確定的,如圖8所示.

圖8 平行四邊形法則

辨析2:在式(1)中,若d不是沿著電場方向的距離,此時(shí)計(jì)算出的電場強(qiáng)度是空間中勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)在d所在方向上的投影,而非分場強(qiáng),證明如下.

如圖9所示,空間中存在水平向右的勻強(qiáng)電場E,在空間中任取a、b、c3點(diǎn),過b點(diǎn)作電場線的垂線,其中ab1在電場線上,ac方向延長線交bb1于b2,即b、b1、b2在同一個(gè)等勢面上.

圖9 辯析2證明

由式(1)可知,勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度

ab方向的電場強(qiáng)度

ac方向的電場強(qiáng)度

其中

Lab1=La bcosα=Lab2cosβ

可得

Ea b=EcosαEa c=Ecosβ

即Ea b是勻強(qiáng)電場E在ab方向上的投影,Ea c是勻強(qiáng)電場E在ac方向上的投影;再將勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E沿著ab方向和ac方向分解,ab方向的分場強(qiáng)為E1,ac方向的分場強(qiáng)為E2,則

所以勻強(qiáng)電場在ab和ac方向上的投影場強(qiáng)Ea b、Ea c與ab和ac方向上的分場強(qiáng)E1、E2是不一樣的,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)分場強(qiáng)相互垂直時(shí)與投影場強(qiáng)相等,其他角度關(guān)系并不相等.

綜上所述,使用式(1)計(jì)算場強(qiáng),d不是沿著電場方向的距離時(shí),得出的電場強(qiáng)度是勻強(qiáng)電場在d方向上的投影;所以“合成法”中的“合成”二字本質(zhì)理解應(yīng)為投影關(guān)系而非矢量合成關(guān)系.

4 舊題新解

在根據(jù)投影關(guān)系求解勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度有兩個(gè)投影關(guān)系時(shí),可類比速度關(guān)聯(lián)問題中的多關(guān)聯(lián)情境.在例1中,對(duì)于a點(diǎn),已知投影場強(qiáng)Ec a和Eb a兩個(gè)大小及方向,分別作出Ec a和Eb a的垂線,則Ec a和Eb a垂線的交點(diǎn)即為勻強(qiáng)電場的末端,如圖10(a)所示,Eb a與水平方向成37°,設(shè)E與水平方向成α,則有

(a)

(b)圖10 例1新解圖示

解得

E=2.5 V/mα=37°

再對(duì)b點(diǎn),已知投影場強(qiáng)Eb a和Ec b兩個(gè)大小及方向,分別作出Eb a和Ec b的垂線,則Eb a和Ec b垂線的交點(diǎn)即為勻強(qiáng)電場的末端,如圖10(b)所示, 則

解得E=2.5 V/m,α=37°,與由a點(diǎn)求解結(jié)論一致.

5 變式演練

【例3】如圖11所示,a、b、c、d是圓O上的4個(gè)點(diǎn),空間內(nèi)勻強(qiáng)電場的方向與圓所在平面平行,ab=5 cm,cd=8 cm,∠bac=60°,已知a、b、d3點(diǎn)電勢分別為φa=46 V、φb=21 V、φd=10 V,求電場強(qiáng)度.

圖11 例3題圖

解析：由幾何關(guān)系可知圓半徑r=5 cm,ad=6 cm, ∠cad=53°,對(duì)a點(diǎn),勻強(qiáng)電場在ab和ad方向上的投影強(qiáng)度

應(yīng)用投影關(guān)系分別作出投影電場強(qiáng)度Ea b和Ead的垂線,如圖12所示,解得E=10 V/ cm,方向沿直徑由a指向c.

圖12 例3解析圖

6 總結(jié)與反思

(1)電場強(qiáng)度是矢量,矢量必然遵循平行四邊形法則,因此,我們可以使用平行四邊形法則將電場強(qiáng)度按照任意兩個(gè)方向進(jìn)行分解.

(2)勻強(qiáng)電場中使用式(1)計(jì)算電場強(qiáng)度時(shí),d必須是沿著電場方向的距離;若d不是沿著電場方向的距離,此時(shí)得出的電場強(qiáng)度是勻強(qiáng)電場在d方向上的投影.

(3)在勻強(qiáng)電場中,勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度可以向任意方向進(jìn)行投影,即投影電場可以有無數(shù)個(gè),每一個(gè)投影電場的大小僅由這個(gè)方向決定,從式(1)定義上我們可以說投影電場是描述電勢在這個(gè)方向上降低快慢程度的量.如果將勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度分解到兩個(gè)不同的方向上,那么這兩個(gè)方向上的分場僅在相互垂直時(shí)與這兩個(gè)方向上投影電場的電場強(qiáng)度大小相等.

(4)已知兩個(gè)投影電場的電場強(qiáng)度求解勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度時(shí),要利用投影關(guān)系分別作出兩投影電場的垂線,找到交點(diǎn)即為勻強(qiáng)電場的末端,而非將兩投影電場的電場強(qiáng)度進(jìn)行矢量合成;存在巧合,當(dāng)兩投影電場相互垂直時(shí)恰好滿足平行四邊形法則.

(5)本文以速度關(guān)聯(lián)為切入口解決“合成法”求解勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度問題,對(duì)“合成法”就矢量合成這一錯(cuò)誤認(rèn)知進(jìn)行了辨析,為合成法的使用指出了正確的理解思路——找投影關(guān)系.通過本文能夠極大地加深學(xué)生對(duì)于電場強(qiáng)度與電勢差之間關(guān)系的理解,有效提高學(xué)生質(zhì)疑與解析的能力,培養(yǎng)學(xué)生物理核心素養(yǎng).

(6)為避免理解偏差,將“合成法”更名為“投影法”更加利于理解,更名是否合理有待后續(xù)討論.