廣東省湛江市寸金培才學校(524037) 魏 欣

2023 年高考甲卷理科第21 題的命制繼續(xù)聚焦學科主干知識,突出查考關(guān)鍵能力,彰顯數(shù)學學科核心素養(yǎng)的命題導向,必備知識方面主要考查函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、求含參數(shù)不等式恒成立的問題等內(nèi)容,能力層面突出考查學生的運算求解能力和推理論證能力. 下面以2023 年高考甲卷理科第21 題為例,進行深入探究和思考并總結(jié)出相關(guān)的性質(zhì)結(jié)論與推廣,并給出其在歷年高考題中的應用.

一、經(jīng)典試題展示與分析

題目(2023 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數(shù)

(Ⅰ)當a=8 時,討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若f(x)

試題分析本題是三角函數(shù)與導數(shù)的綜合,作為壓軸題,難度很大,彰顯了綜合性要求. 高考數(shù)學試題的綜合性,一方面是數(shù)學學科內(nèi)部各個主題的相互綜合,另一方面是數(shù)學學科和其他學科的綜合. 本題將導數(shù)與三角函數(shù)巧妙地結(jié)合起來,通過對導函數(shù)的分析,考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等相關(guān)問題,通過導數(shù)、函數(shù)不等式等知識,深入考查分類討論的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

二、多角度多種解法探究

解 (Ⅰ)

其中4cos2x+3>0,cos4x>0.

由于問題(Ⅰ)較為簡單,下面主要對問題(Ⅱ)進行多角度多種解法解答與分析.

解法一:構(gòu)造函數(shù)法

設g(x)=f(x)-sin 2x,x ∈[0,+∞),則

g′(x)>0,g(x) 在(0,arctan上單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,f(x)>sin 2x,與已知矛盾.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法二:換元法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法三:半分離參數(shù)法

依題意,ax <

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法四:放縮法

依題意,上恒成立;當時,易知0

下證:當a≤3 時,上恒成立;即證:上恒成立;令恒成立. 由于

故g(x)在上單調(diào)遞增,則g(x)>g(0),故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法五:洛必達法則法

依題意,只需證明:在上恒成立;令

故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法六:端點效應法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

三、解法比較分析與選擇

從上述的解法過程,不難發(fā)現(xiàn),其思路各有側(cè)重.

基本策略解答過程主要適用題型難點分類討論分析參數(shù)對函數(shù)相應性質(zhì)的影響,然后劃分情況進行相應分析.導函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)形式.如何分類.參變分類把參數(shù)和自變量進行分離,分離到等式或不等式的兩邊,把含參問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值、單調(diào)性、零點等問題.可參變分離,且新函數(shù)易處理.新函數(shù)的處理.通過充分性找范圍,再證必要性.通過理想狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a ∈I,再證明當a ∈I 時,原不等式不成立.端點效應.特殊點的選取.邏輯證明通過必要性找范圍,再證充分性.通過特殊狀態(tài),找到參數(shù)范圍:a ∈I,再證明當a ∈I 時,原不等式成立.先猜再證.通過數(shù)形結(jié)合、切線放縮等方法,得到臨界值,再利用運動的思想,得到范圍,最后證明.參數(shù)具有幾何特征,易判斷運動趨勢.臨界狀態(tài).不等式利用不等式找最值.先分離,通過構(gòu)造“定值”選擇不等式.可分離.構(gòu)造定值.

四、性質(zhì)與定理推廣

根據(jù)含參數(shù)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題常常是高考的壓軸題. 這類題目靈活多變,解法多種多樣,一般的解法是利用題目的第I 問或第II 問的結(jié)果對參數(shù)分類討論,通過正、反兩個方面逐步篩選出結(jié)果. 可以引入了二階導數(shù),依然要分類討論;也可以數(shù)形結(jié)合法,但部分題目所涉及函數(shù)的圖像不容易勾畫,有些題目出現(xiàn)了極限的運算,極限是高中課程中僅需“了解”的內(nèi)容,對考生的要求不高;或者采用構(gòu)造函數(shù)法. 下面就近幾年高考試題中四類求參數(shù)取值范圍的問題給出通法. 這種方法是先證明一個與“含參數(shù)不等式恒成立”結(jié)構(gòu)相似的“不含參數(shù)恒成立的不等式”,然后對比這兩個恒成立的不等式,從而確定參數(shù)的范圍. 經(jīng)探究,針對四種類型題目,給出如下四個定理.

題型一對于任意x≥0,都有F(x) ≥ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≥F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≥a, 故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,F′(0)].

定理一若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≥0,則對于任意x≥0,都有F(x) ≥F′(0)x恒成立(當且僅當x=0 時等號成立).

證明設G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≥0,G′(x)單調(diào)遞增,G′(x)≥0,F(x)-F′(0)x≥0(當且僅當x=0 時等號成立). 從而,對于任意x≥0,都有F(x)≥F′(0)x恒成立.

題型二對于任意x≥0,都有F(x) ≤ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≤F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≤a, 故實數(shù)a的取值范圍為[F′(0),+∞).

定理二若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≤0,則對于任意x≥0,都有F(x) ≤F′(0)x恒成立(當且僅當x=0 時等號成立).

證明設G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≤0,G′(x)單調(diào)遞減,G′(x)≤0,F(x)-F′(0)x≤0(當且僅當x=0 時等號成立). 故對于任意x≥0,都有F(x)≤F′(0)x恒成立.

題型三對于任意x≥0,都有F(x) ≥ax2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≥故實數(shù)a的取值范圍為

定理三若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≥ 0, 則 對 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當且僅當x=0 取等號).

證明設則G(0)=0,G′(x)=F′(x)-F′′(0)x,G′(0)=F′(0),G′′(x)=F′′(x)- F′′(0),G′′(0) = 0,G′′′(x) =F′′′(x) ≥0,G′′(x)單調(diào)遞增,G′′(x) ≥0(當且僅當x= 0 取等號),G′(x) 單調(diào)遞增,G(x) ≥0(當且僅當x= 0 取等號), 對于任意的恒成立(當且僅當x=0 取等號).

題型四對于任意x≥0,都有F(x) ≤ax2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≤故實數(shù)a的取值范圍為

定理四若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≤ 0, 則 對 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當且僅當x=0 取等號).

證明設則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)- F′′(0)x,G′(0) =F′(0),G′′(x)=F′′(x)-F′′(0),G′′(0)=0,G′′′(x)=F′′′(x)≤0,G′′(x)單調(diào)遞減,G′′(x) ≤0(當且僅當x=0 取等號),G′(x)單調(diào)遞減,G(x) ≤0(當且僅當x= 0 取等號), 對于任意的恒成立(當且僅當x=0 取等號).

五、定理的應用

縱觀近幾年高考函數(shù)與導數(shù)壓軸題, 都考查此類問題,體現(xiàn)了高考試題“常考常新,推陳出新”的理念,所以我們要對這類問題進行總結(jié),并提出更加簡便的通性通法,對解法的探索是在踐行所學的知識技能和思想方法.

例1(2023 年高考甲卷文科第20 題節(jié)選) 已知函數(shù)若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例2(2019 年高考全國Ⅰ卷文科第20 題節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = 2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數(shù). 若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化和換元可以得到: 對于任意的x ∈[0,π] 時, 都有2 sinx - xcosx - x≥ax恒成立. 設F(x)=2 sinx-xcosx-x(0 ≤x≤π),所以F(0)=0. 所以F′(x) = cosx+xsinx-1(0 ≤x≤π), 所以F′′(x) =xsinx≥0,因為F′(0)=0,而且對于任意的x ∈[0,π],都有2 sinx-xcosx-x≥ax恒成立,由定理一得:a≤0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例3(2016 年高考新課標卷II 文科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = (x+1)lnx-a(x-1),若對于任意的x >1,都有f(x)>0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化和換元可以得到:對于任意的x >0 時,都有(x+2)ln(x+1)>ax恒成立. 設F(x)=(x+1)ln(x+所以因為F′(0) = 2, 以及對于任意的x >0,都有(x+2)ln(x+1)> ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

例4(2014 年高考陜西卷理科節(jié)選) 函數(shù)f(x) =ln(x+1),g(x) =xf′(x),f′(x) 是f(x) 的導函數(shù), 若對于任意x≥0,f(x)≥ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析因為所以通過轉(zhuǎn)化可以得到:對于任意x≥0,都有(x+1)ln(x+1) ≥ax恒成立. 設F(x) = (x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0) = 0,所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以因為F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

例5(2007 年高考全國卷I 理科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) = ex -e-x, 若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≥ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析設F(x) = ex -e-x, 則F(0) = 0,F′(x) =ex+ e-x,F′′(x) = ex -e-x≥0,F′(0) = 2, 因為對于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].

例6(2006 年高考全國卷II 理科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析設F(x)=(x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0)=0, 所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

例7(2017 年高考新課標卷II 文科節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) =(1-x2)ex,對于任意的x≥0,都有f(x) ≤ax+1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析對于任意的x≥0,f(x) ≤ax+1 恒成立?對于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立. 設F(x) =(1-x2)ex-1,則F(0)=0,F′(x)=-2xex+(1-x2)ex,F′′(x) =-(x2+4x+1)ex <0,F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立,由定理二得:1 ≤a,故a的取值范圍是[1,+∞).

例8(2009 年高考陜西卷理科節(jié)選)已知函數(shù)f(x) =若f(x)的最小值為1,求實數(shù)a的取值范圍.

例9(2008 年高考全國卷II 理科節(jié)選) 已知函數(shù)若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≤ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析設因為對于任意的x≥0,都有f(x)≤ax恒成立,由定理二得:故a的取值范圍是

例10(2018 年高考Ⅱ卷理科節(jié)選) 已知f(x) =ex - ax2, 若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≥1 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有ex -1 ≥ax2恒成立. 設F(x) = ex -1, 則F(0) = 0,因為對于任意的x≥0,都有ex -1 ≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例11(2010 年高考新課標卷文科節(jié)選) 已知f(x) =x(ex-1)-ax2,若對于任意的x≥0,都有f(x) ≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化可以得到: 對于任意的x≥ 0, 都有x(ex-1) ≥ax2恒成立. 設F(x) =x(ex-1), 則F(0) = 0,F′(x) = (x+1)ex -1,F′′(x) = (x+2)ex >0,F′′′(x) = (x+3)ex >0,因為對于任意的x≥0,都有x(ex-1) ≥ax2恒成立,由定理三得:1 ≥a,故a的取值范圍是(-∞,1].

例12(2010 年高考新課標理節(jié)選) 已知函數(shù)f(x) =ex -1-x-ax2,若對于任意的x≥0,都有x≥0 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有ex -1- x≥ax2恒成立. 設F(x) = ex -1- x, 則F(0)=0,F′(x)=ex-1,F′′(x)=ex >0,F′′′(x)=ex >0,因為對于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例13(2020 年高考全國Ⅰ卷理科改編)設函數(shù)f(x) =-ex+x2-x,若對于任意的x≥0,都有f(x)≤ax2-1 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有-ex -x+1 ≤(a-1)x2恒成立. 設F(x) =-ex -x+1,則F(0) = 0,F′(x) =-ex -1,F′′(x) =-ex <0,F′′′(x) =-ex <0,因為對于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理四得:故a的取值范圍是

例14(選自2012 年高考天津卷理科) 設函數(shù)f(x) =x-ln(x+1),若對于任意的x≥0,都有f(x)≤kx2恒成立,求實數(shù)k的最小值.

簡析對于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立. 設F(x)=x-ln(x+1),則F(0)=0,F′(x)=因為對于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立,由定理四得:所以實數(shù)k的取值范圍是故實數(shù)k的最小值為

例15(選自2010 年高考湖北卷理科) 已知函數(shù)若對于任意的x≥1,都有f(x)≥lnx恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

簡析通過轉(zhuǎn)化和換元可以得到: 對于任意的x≥0,都有(x+ 1)ln(x+ 1)- x≤ax2恒成立. 設F(x) =(x+ 1)ln(x+ 1)- x, 則F(0) = 0,F′(x) = ln(x+ 1),因為對于任意的x≥0,都有(x+1)ln(x+1)-x≤ax2恒成立,由定理四得:故實數(shù)a的取值范圍是

縱觀近幾年高考導數(shù)壓軸題,求參數(shù)取值范圍的問題常常是高考的壓軸題,通常的解法是分類討論,但是考生在有限的考試時間內(nèi)進行分類討論、等價轉(zhuǎn)化、繁雜運算,是很難正確解答的. 本文就近年高考試題中四類求參數(shù)取值范圍的問題給出通法,是先證明一個與“含參數(shù)不等式恒成立”結(jié)構(gòu)相似的“不含參數(shù)恒成立的不等式”,然后對比這兩個恒成立的不等式,從而確定參數(shù)的范圍. 這樣,我們就可以大大減少運算量,避免分類討論等諸多復雜問題. 從高考真題的研究和反思中掌握高考的變化趨勢和命題規(guī)律,并將學科主干知識和基本思想方法融會貫通,舉一反三,從而明晰復習備考方向,提升備考效率.