安徽省合肥市肥東縣城關中學(231600) 王東海

直線與圓錐曲線的位置關系問題一直是高考的熱點和難點,在這類考題的命題中往往都是探求一些特殊結論,這些結論看似特殊,實則往往都具有普遍性. 我們在解答考題后要深入拓展到一般情況,還要注意探尋其它圓錐曲線的對偶性質. 下面以2023 年高考全國甲卷第20 題的圓錐曲線試題的探究為例進行說明.

1 真題呈現

題目 (2023 年甲卷理數第20 題)已知直線x -2y+ 1 = 0 與拋物線C:y2= 2px(p>0)交于A,B兩點,且

(1)求p;

(2) 設C的焦點為F,M,N為C上兩點,面積的最小值.

圖1

易得第(1)問y2= 4x. 第(2)問求面積最值可用點參法、焦半徑公式、極坐標方程解答,得試題平中見奇,內涵豐富,是具有研究性學習價值的好題.

2 一般性探究

細品解題過程,筆者發(fā)現結論值得探究. 能否將試題第(2)問中的特殊拋物線推廣至一般的拋物線? 基于以上思考,可以得到以下一般性結論:

結論1已知C:y2= 2px(p>0)的焦點為F,M,N為C上兩點,則?MNF面積的最小值為

證明以F點為極點, 以x軸正向為極軸方向建立極坐標系, 則y2= 2px極坐標方程為:設故而

將定點F推廣成x軸上其它定點,比如坐標原點,則可得以下結論:

結論2已知C:y2= 2px(p>0), 坐標原點為O,M,N為C上兩點,面積的最小值為4p2.

證明以O點為極點,以x軸正向為極軸方向建立極坐標系,則y2= 2px極坐標方程為:ρ2sin2θ= 2p·ρcosθ,即故而

將?MFN面積推廣成四邊形面積時, 又可得以下結論:

結論3已知C:y2= 2px(p>0)的焦點為F,過焦點作拋物線的兩條互相垂直的弦AB,MN,則四邊形AMBN的面積最小值為8p2.

3 類比推廣

如果將拋物線類比推廣至橢圓及雙曲線,第(2)問可類比成以下一般性的結論:

令sinθ-cosθ=t,則

證明以O點為極點,以x軸正向為極軸方向建立極坐標系,則橢圓C極坐標方程為:設故

結論6已知的左右焦點分別為F1,F2過右(或左)焦點作橢圓的兩條互相垂直的弦AB,MN,則四邊形AMBN的面積最小值為其中p表示焦點到對應準線的距離.

證明以F2點為極點, 以x軸正向為極軸方向建立極坐標系, 則橢圓C的極坐標方程為:

結論9已知雙曲線的左右焦點分別為F1,F2, 過右(或左) 焦點作雙曲線的兩條互相垂直的弦AB,MN則四邊形AMBN的面積最小值為其中p表示焦點到對應準線的距離.

結論7、8、9 證法類似于4、5、6,從略. 結論1,4,7,其實能變成統(tǒng)一結論:

結論10已知圓錐曲線C的焦點為F,M,N為圓錐曲線C上兩點,則?MFN面積的最小值為其中p表示焦點到對應準線的距離.

結論3、6、9 也可以成統(tǒng)一結論:

結論11已知圓錐曲線C的焦點為F,過F點作圓錐曲線的兩條互相垂直的弦AB,MN. 則四邊形AMBN的面積最小值為其中p表示焦點到對應準線的距離.

4 拓展延伸

結論12已知C:的左右焦點分別為F1,F2,過焦點F1,F2作橢圓的兩條互相垂直的弦AB,MN,且AMBN是凸四邊形(AB,MN的交點位于橢圓內部),則四邊形AMBN面積最小值為其中p表示焦點到對應準線的距離.

證明由上知,以F1點為極點,以x軸正向為極軸方向建立極坐標系, 則橢圓C的極坐標方程為:因所以

從而